数据处理

有效数字及其运算规则

在物理实验中，涉及到的都是有单位的数据，由若干位的可信数字与末尾一位的可疑数字组成。

$$\begin{array}{rl}& 2.32\underset{―}{7}\text{ kg }\mathrm{有}4\mathrm{位}\mathrm{有}\mathrm{效}\mathrm{数}\mathrm{字}，\mathrm{其}\mathrm{中}\underset{―}{7}\mathrm{是}\mathrm{可}\mathrm{疑}\mathrm{数}\mathrm{字};\\ & 22\underset{―}{0}\text{ V }\mathrm{有}3\mathrm{位}\mathrm{有}\mathrm{效}\mathrm{数}\mathrm{字}，\mathrm{其}\mathrm{中}\underset{―}{0}\mathrm{是}\mathrm{可}\mathrm{疑}\mathrm{数}\mathrm{字}.\end{array}$$

加减法（尾数对齐）

与不确定度最大项的末位有效数字对齐。

$$57.3\underset{―}{1}+0.015\underset{―}{6}-2.2434\underset{―}{2}=55.0\underset{―}{8}218=55.08$$

解释：57.31 的可疑数字在百分位，0.0156 的可疑数字在万分位，2.24342 的可疑数字在十万分位，57.31 的可疑数字位数最高，因此结果位数与 57.31 相同。

乘除法（位数对齐）

与最少个数的有效数字相同。

$$57.3\underset{―}{1}\times 0.015\underset{―}{6}÷2.2434\underset{―}{2}=0.39\underset{―}{8}51=0.399.$$

解释：57.31 的有效数字为 4 位，0.0156 的有效数字为 3 位，2.24342 的有效数字为 6 位，0.0156 的有效数字位数最少，因此结果位数与 0.0156 相同。

TIP

• 计算时至少多保留一位；
• 即使是用计算机计算，也要对计算结果运用修约规则。

修约规则

NOTE

4 舍 6 入 5 成双

末位数字小于 5 或大于 5 都遵循四舍五入原则；等于 5，则前一位数字变成大于等于它的最小偶数。

不确定度

• 构建：待测量的测量模型；
• 分析模型中每一个输入量的标准不确定度；
  • A 类 / B 类
• 获得待测量的合成标准不确定度；

例如，用秒表测量单摆的周期：

$$T=T_0+T_1+T_2$$

其中 $T_0$ 是秒表的示值，$T_1$ 是秒表的仪器误差，$T_2$ 是人的反应时间。

• 多次测量数据之间的差异 —— 用统计方法分析（A 类）；
• 秒表的仪器误差 —— 根据经验推算（B 类）；
• 人的反应时间 —— 根据经验推算。

A 类标准不确定度

$$u_A(\overline{x})=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2}{n(n-1)}},\mathrm{其}\mathrm{中}\mathrm{平}\mathrm{均}\mathrm{值}\overline{x}=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i}{n}.$$

测量一个球的直径 $D$，测量了十次，结果如下表，求该球的直径及其标准不确定度。

$D/\text{mm}$	$12.337$	$12.349$	$12.333$	$12.353$	$12.339$	$12.352$	$12.345$	$12.348$	$12.356$	$12.340$

解：平均值：

$$\overline{D}=\frac{1}{10}\sum _{i=1}^{10}{D}_i=12.3452\text{ mm.}$$

标准不确定度：

$$u_A(\overline{D})=\sqrt{\frac{\sum _{i=1}^{10}(D_i-D{)}^2}{10\times 9}}=0.0024\text{ mm}.$$

WARNING

此时尚未完成 $D$ 的所有不确定度评定！计算作为中间过程，都多保留了一位小数。

B 类标准不确定度

$$\boxed{{\displaystyle \mathrm{标}\mathrm{准}\mathrm{不}\mathrm{确}\mathrm{定}\mathrm{度}{u}_B(x)=\frac{a}{c}.}}$$

$a$: 仪器最大允许误差；

$c$: 与概率相关的置信因子。

本课程均采用矩形分布假定，因此 $c=\sqrt{3}$，上面的公式可化为

$$u_B(x)=\frac{a}{\sqrt{3}}.$$

获得待测量的合成标准不确定度

直接测量量

假设测量模型为 $L=L_0(\mathrm{仪}\mathrm{器}\mathrm{示}\mathrm{值})+L_1(\mathrm{仪}\mathrm{器}\mathrm{偏}\mathrm{差})$，则经过多次测量后，其合成标准不确定度为

$$\boxed{{\displaystyle u(L)=\sqrt{u_A(L_0{)}^2+u_B(L_1{)}^2}}}$$

间接测量量

设间接测量量 $y$ 由直接测量量 $\mathit{x}$ 合成，且满足 $y=f(\mathit{x})$，则 $y$ 的标准不确定度 $u_C(y)$ 为

$$u_C(y)=\sqrt{\sum _{i=1}^n(\frac{\partial f}{\partial x_i}{)}^2{u}^2(x_i)}.$$

NOTE

在高维微积分中，我们常常使用上标表示分量；上面的公式中为避免混乱，我们统一使用上标表示幂次，下标表示分量。

下面的公式中，在不引起争议的情况下，我们按照高维微积分的规定使用上标表示分量；像上面的公式一样，上标的含义不同，容易引起误会的情况下，我们使用上标表示幂次，下标表示分量。

灵敏系数指：$\frac{\partial f}{\partial x^i}.$

几个常见的合成公式

• 加减：$y=x_1\pm x_2$

  $$u_C^2(y)=u^2(x_1)+u^2(x_2).$$
  Details

  $$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f}{\partial x_1}=1,\\ & \frac{\partial f}{\partial x_2}=\pm 1.\end{array}$$

  因此 $u_C^2(y)=u^2(x_1)+u^2(x_2).◻$

• 乘除：$y=x_1{x}_2$ 或 $y=\frac{x_1}{x_2}.$

  $$(\frac{u_C(y)}{y}{)}^2=(\frac{u(x_1)}{x_1}{)}^2+(\frac{u(x_2)}{x_2}{)}^2.$$
  Details

  $$\begin{array}{rl}& \frac{\partial f}{\partial x_1}=x_2,\\ & \frac{\partial f}{\partial x_2}=x_1.\end{array}$$

  因此有

  $$u_C^2(y)=x_2^2{u}^2(x_1)+x_1^2{u}^2(x_2).$$

  整理即得原式。$◻$

• 乘方：$y=x^n.$

  $$(\frac{u_C(y)}{y}{)}^2=(n\frac{u(x)}{x}{)}^2.$$
  Details

  $$\frac{\text{d}y}{\text{d}x}=n{x}^{n-1}.$$

  因此有

  $$u_C^2(y)=n^2{x}^{2n-2}{u}^2(x).$$

  稍作变形即得原式。$◻$

作图

最小二乘法

$$s(k,b)=\sum _{i=1}^n(y_i-k{x}_i-b{)}^2\to min\Rightarrow \{\begin{array}{l}\frac{\partial s}{\partial k}=0\\ \frac{\partial s}{\partial b}=0\end{array}$$

因此有

$$\begin{array}{rl}& k=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-n\overline{x}\overline{y}}{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\overline{x}}^2}\\ & b=\overline{y}-k\overline{x}.\end{array}$$

相关系数

$$r=\frac{\sum _{i=1}^n{x}_i{y}_i-n\overline{x}\overline{y}}{\sqrt{\sum _{i=1}^n{x}_i^2-n{\overline{x}}^2}\sqrt{\sum _{i=1}^n{y}_i^2-n{\overline{y}}^2}}.$$