作业一：误差 - 习题

习题 1. 古代数学家祖冲之曾以 $\frac{355}{113}$ 作为圆周率的近似值，问此近似值具有多少位有效数字？

解：

$$\begin{array}{rl}\bar{\pi }=\frac{355}{113}& =10^1\times 0.31415929203\cdots \\ \pi & =10^1\times 0.31415926535\cdots \\ |\bar{\pi }-\pi |& =10^{-6}\times 0.266\cdots \le \frac{1}{2}\times 10^{1-7}\Rightarrow n=7\end{array}$$

故近似值 $\frac{355}{113}$ 具有 7 位有效数字。

习题 3. 按四舍五入原则，将下列各数舍成 5 位有效数字.

1. $816.8567$

   解：化为标准形式为 $10^3\times 0.8168567$

   五入，得 $10^3\times 0.81686$

2. $6.000015$

   解：化为标准形式为 $10^1\times 0.6000015$

   四舍，得 $10^1\times 0.60000$

3. $17.32250$

   解：化为标准形式为 $10^2\times 0.1732250$

   五入，得 $10^2\times 0.17323$

4. $1.235651$

   解：化为标准形式为 $10^1\times 0.1235651$

   五入，得 $10^1\times 0.12357$

5. $93.18213$

   解：化为标准形式为 $10^2\times 0.9318213$

   四舍，得 $10^2\times 0.93182$

6. $0.01523623$

   解：化为标准形式为 $10^{-1}\times 0.1523623$

   四舍，得 $10^{-1}\times 0.15236$

习题 5. 改变下列各式，使计算结果比较准确.

• (1) $\ln x_1-\ln x_2,x_1\approx x_2$

  解：$I=\ln \frac{x_1}{x_2}$.

• (3) $\sqrt{x+\frac{1}{x}}-\sqrt{x-\frac{1}{x}},1\ll x$

  解：

  $$\begin{array}{rl}I& =\sqrt{x}\left(\sqrt{x^2+1}-\sqrt{x^2-1}\right)\\ & =\frac{2\sqrt{x}}{\sqrt{x^2+1}+\sqrt{x^2-1}}\end{array}$$

• (6) ${\int }_n^{n+1}\frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x$，$n$ 充分大

  解：$\int \frac{1}{1+x^2}\mathrm{d}x=\arctan x+C$，故有

  $$\begin{array}{rl}I& =\arctan x{|}_n^{n+1}\\ & =\arctan (n+1)-\arctan n\\ & =\arctan \frac{(n+1)-n}{1+n(n+1)}\\ & =\arctan \frac{1}{n^2+n+1}\end{array}$$

习题 6. 设 $x$ 的相对误差为 $2\%$，求 $x^n$ 的相对误差。

解：

$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{d}x}& =n{x}^{n-1}\\ \Delta (x^n)& =\frac{\mathrm{d}{x}^n}{\mathrm{d}x}\cdot \Delta x=n{x}^{n-1}\Delta x\\ \delta (x^n)& =\frac{\Delta (x^n)}{x^n}=\frac{n{x}^{n-1}\Delta x}{x^n}=n\cdot \delta x=2n\%\end{array}$$