1 误差基础知识

有效数字

设某数 $x$ 的近似值有如下标准形式

$$\bar{x}=\pm 10^m\times \overline{0.x_1{x}_2\cdots x_n\cdots x_p}$$

若有

$$|x-\bar{x}|\le \frac{1}{2}\times 10^{m-n}$$

则称 $\bar{x}$ 为 $x$ 的具有 $n$ 位有效数字的近似值。$p=n$ 时称 $\bar{x}$ 为有效数。

浮点误差的控制

避免相近的数相减

常见处理：

$$\begin{array}{rl}\sqrt{x+1}-\sqrt{x}& =\frac{1}{\sqrt{x+1}+\sqrt{x}}\\ \frac{1}{x}-\frac{1}{x+1}& =\frac{1}{x(x+1)}\\ \ln (x+1)-\ln x& =\ln \frac{x+1}{x}\\ \ln (x-\sqrt{x^2-1})& =-\ln (x+\sqrt{x^2-1})\\ \sin (x+\epsilon )-\sin x& =2\cos \left(x+\frac{\epsilon }{2}\right)\sin \frac{\epsilon }{2}\\ \arctan (n+1)-\arctan n& =\arctan \frac{1}{n^2+n+1}\end{array}$$

避免数量级相差太大的数相除

可能导致指数溢出。

避免数量级相差太大的两数相加减

也称「大数吃小数」。

常见处理：例如累加求和时从较小的一端开始，而不是从更大的一端开始。