作业一：误差 - 实验

1.3 病态问题

实验目的：算法有 “优” 与 “劣” 之分，问题也有 “好” 与 “坏” 之别。对数值方法的研究而言，所谓坏问题就是问题本身对扰动敏感者，反之属于好问题。通过本实验可获得一个初步体会。

问题提出：考虑一个高次的代数多项式

$$\begin{array}{}\text{(1.1)}& p(x)=(x-1)(x-2)\cdots (x-20)=\prod _{k=1}^{20}(x-k)\end{array}$$

显然，该多项式的全部根为 $1,2,\cdots ,20$ 共计 20 个，且每个根都是单重的。现考虑该多项式的一个扰动

$$\begin{array}{}\text{(1.2)}& p(x)+\epsilon x^{19}=0\end{array}$$

其中 $\epsilon$ 是一个非常小的数。这相当于是对原多项式中 $x^{19}$ 的系数作一个小的扰动。我们希望比较新多项式 $(1.2)$ 和原多项式 $(1.1)$ 的根的差别，从而分析原方程 $(1.1)$ 的解对扰动的敏感性。

(1)

发现：如果使用实际解与预期解之差的模作为偏差标准，发现随着解数值的增大，偏差非线性增长。数值越大的解的相对偏差显著大于数值小的解。

例如 $\delta x_{20}={\displaystyle \frac{1.08}{20}}=5.4\mathrm{\%}$，而 $\delta x_8={\displaystyle \frac{0.0061}{8}}=0.8\mathrm{\%}$。

(2)

发现：随着扰动项的次数变低，解中偏差峰值所对应的解随之变小。

附：代码

ess = 1e-9
ve = zeros(1,21)
ve(2) = ess
results = roots(poly(1:20)+ve)