2 离散型随机变量

伯努利试验

一次试验，只有发生和不发生，发生记为 $1$，不发生记为 $0$，称为伯努利实验。对应 0-1 分布。

独立重复进行伯努利试验，称为 $n$ 重伯努利试验，对应二项分布。

离散型随机变量

定义 若一个变量所有可能值为有限个或者是可列多个，称该变量为离散型随机变量。

分布律：所有可能取值以及取到每一个可能取值对应的概率。

离散型随机变量的数学期望

定义数学期望：

$$E(X)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}{x}_i{p}_i$$

数学期望要求级数绝对收敛。即要求 $\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}|x_i|p_i$ 收敛。否则称随机变量 $X$ 的数学期望不存在。

离散型随机变量的方差

定义方差：

$$\mathrm{Var}(X)=E(X-E(x){)}^2$$

有

$$\mathrm{Var}(x)=\sum _{i=1}^{\mathrm{\infty }}[x_i-E(x){]}^2{p}_i=E(X^2)-[E(X){]}^2$$

并记 $\sigma (X)=\sqrt{\mathrm{Var}(\mathrm{X})}$，称为标准差。

中心化与标准化

定义中心化随机变量：$\tilde{X}=X-E(X)$

定义标准化随机变量：$X^{\ast }={\displaystyle \frac{X-E(X)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}}}$

常用离散分布

二项分布

• 符号：$X\sim B(n,p)$
• 概率：$P(X=k)={\mathrm{C}}_n^k{p}^k(1-p{)}^{n-k}$
• 期望：$E(X)=np$
• 方差：$\mathrm{Var}(X)=np(1-p)$

泊松分布

• 符号：$X\sim P(\lambda )$
• 概率：$P(X=k)={\displaystyle \frac{{\lambda }^k}{k!}}{e}^{-\lambda }$，$k=0,1,2,\cdots$
• 期望：$E(X)=\lambda$
• 方差：$\mathrm{Var}(X)=\lambda$

二项分布的泊松近似：若二项分布的 $n$ 充分大且 $p$ 充分小，$B(n,p)$ 可近似为 $P(np)$。

泊松分布的可加性：若有 $X,Y$ 相互独立且 $X\sim P({\lambda }_1)$，$Y\sim P({\lambda }_2)$，则有 $X+Y\sim P({\lambda }_1+{\lambda }_2)$。

几何分布 $Ge$、超几何分布 $h$ 相关式子建议直接现推。考试也不会直接问。