3 连续型随机变量

分布函数与密度函数

对于随机变量 $X$，定义分布函数 $F(x)$ 和（连续型变量的）密度函数 $f(x)$：

$$\begin{array}{rl}F(x)& =P(X\le x)\\ f(x)& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}x}F(x)\end{array}$$

则有

$$P(a<X<b)=F(b)-F(a)={\int }_a^{b}f(x)\mathrm{d}x$$

TIP

这里 $a<X<b$ 处，是否取等号无所谓。反正连续型变量端点处取到的概率都是 $0$。

分布函数的性质

• 定义域为 $\mathbb{R}$
• $0\le F(x)\le 1$
• $\underset{x\to -\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=0$
• $\underset{x\to +\mathrm{\infty }}{lim}F(x)=1$
• 单调不减
• 右连续：$F(x)=\underset{\delta \to 0^{+}}{lim}F(x+\delta )$

TIP

一般地对于这里的小量 $\delta$，也可以用 $x+0$ 表示 $x$ 加一个小量，用 $x-0$ 表示 $x$ 减一个小量。

那么右连续可表示为 $F(x)=F(x+0)$

且有 $P(X=k)=F(k)-F(k-0)$

密度函数的性质

• 定义域为 $\mathbb{R}$
• $f(x)\ge 0$
• ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}f(x)=1$

连续型随机变量

存在 $f(x)$ 的随机变量称为连续型随机变量。即要求 $F(x)$ 处处可导，因此连续型随机变量取到任意常数值的概率均为 $0$。

NOTE

回顾离散型随机变量：所有可能值为有限个或者是可列多个。

剩下的就叫「既非离散也非连续」的随机变量。

连续型随机变量的数学期望

定义数学期望 $E(X)$：

$$E(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}xf(x)\mathrm{d}x$$

类似离散型，也要求 ${\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}|x|f(x)\mathrm{d}x$ 存在。否则称数学期望不存在。

连续型随机变量的方差

定义方差 $\mathrm{Var}(X)$：

$$\mathrm{Var}(X)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^{+\mathrm{\infty }}[x-E(x){]}^{2}f(x)\mathrm{d}x$$

同样满足类似离散型随机变量的 $\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2$。

并记 $\sigma (X)=\sqrt{\mathrm{Var}(\mathrm{X})}$，称为标准差。

常用连续分布

均匀分布

• 符号：$X\sim U(a,b)$
• $f(x)=\{\begin{array}{ll}{\displaystyle \frac{1}{b-a}},& a<x<b\\ \\ 0,& \mathrm{其}\mathrm{他}\end{array}$
• $E(X)={\displaystyle \frac{a+b}{2}}$
• $E(X^2)={\displaystyle \frac{a^2+ab+b^2}{3}}$
• $\mathrm{Var}(X)=E(X^2)-[E(X){]}^2={\displaystyle \frac{(b-a{)}^2}{12}}$

正态分布

符号：$X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，表示期望为 $\mu$、方差为 ${\sigma }^2$ 的正态分布。其密度函数为：

$$f(x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }\sigma }}{e}^{-\frac{(x-\mu {)}^2}{2{\sigma }^2}}$$

分布函数不是初等函数。

IMPORTANT

正态分布的密度函数需要记忆。尽管看上去没法拿这个式子直接算什么东西，没法积分，但是其导函数是可求的，意味着含 $\phi (x)$ 的函数是可以通过求导来找极值点的，尽管极值未必能求得出来。而求导函数的前提是你记得 $\phi (x)$ 的式子。

标准正态分布

正态分布通常标准化后处理。若有 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，则可构造 $Y={\displaystyle \frac{X-\mu }{\sigma }}$ 使得 $Y\sim N(0,1)$。

$N(0,1)$ 称标准正态分布。有密度函数

$$\phi (x)={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2\pi }}}{e}^{-\frac{x^2}{2}}$$

对应标准正态分布函数

$$\Phi (x)={\int }_{-\mathrm{\infty }}^x\phi (t)\mathrm{d}t$$

因此对于 $X\sim N(\mu ,{\sigma }^2)$，有

$$P(a<X<b)=\Phi \left(\frac{b-\mu }{\sigma }\right)-\Phi \left(\frac{a-\mu }{\sigma }\right)$$

正态分布的对称性、正负号大于小于处理技巧等，高中讲过，此处不再赘述。

另有标准正态的 $k$ 阶原点矩公式：

$$E(X^k)=\{\begin{array}{ll}0& k\mathrm{为}\mathrm{奇}\mathrm{数}\\ (k-1)!!& k\mathrm{为}\mathrm{偶}\mathrm{数}\end{array}$$

正态分布的可加性

设随机变量 $X$ 与 $Y$ 相互独立，且 $X\sim N({\mu }_1,{\sigma }_1^2)$，$X_2\sim N({\mu }_2,{\sigma }_2^2)$，则有

$$X+Y\sim N({\mu }_1+{\mu }_2,{\sigma }_1^2+{\sigma }_2^2)$$

指数分布

• 符号：$X\sim E(\lambda )$
• $f(x)=\{\begin{array}{ll}\lambda e^{-\lambda x},& x>0\\ 0,& \mathrm{其}\mathrm{他}\end{array}$
• $F(x)=\{\begin{array}{ll}1-e^{-\lambda x},& x\ge 0\\ 0,& \mathrm{其}\mathrm{他}\end{array}$
• $E(X)={\displaystyle \frac{1}{\lambda }}$
• $\mathrm{Var}(X)={\displaystyle \frac{1}{{\lambda }^2}}$

指数分布具有无记忆性。即 $P(X>s+t|X>s)=P(X>t)$。

$E(2)$ 的密度和分布函数如图：