4 随机向量

二维随机变量也称二维随机向量。

联合分布函数与联合密度函数

联合分布函数

定义二维随机变量的联合分布函数 $F(x,y)$：

$$F(x,y)=P(X\le x,Y\le y)$$

其有如下性质：

• $0\le F(x,y)\le 1$
• $F(x,y)$ 对于其中任一自变量单调不减
• $F(x,y)$ 对于其中任一自变量右连续
• $\underset{\begin{array}{c}x\to +\infty \\ y\to +\infty \end{array}}{\lim }F(x,y)=1$，$\underset{x\to -\infty }{\lim }F(x,y)=1$，$\underset{y\to -\infty }{\lim }F(x,y)=1$，

IMPORTANT

注意 $F(x,y)=1$ 的要求是 $x,y$ 均很大，$F(x,y)=0$ 的条件是 $x,y$ 任意一个很小。

这是因为分布函数的定义是两个随机变量都小于给定值的概率。因此只需任意一个给定值小，就很难达成（$P\to 0$）；反过来如果要必然达成（$P\to 1$），两个给定制都得很大才能做到。

若要求 $X,Y$ 各自落在某区间内的概率，有

$$P(a\le X\le b,c\le Y\le d)=F(b,d)-F(b,c)-F(a,d)+F(a,c)$$

画个图会很明白，$(a,c)$ 被减了两遍所以要补回来。

联合密度函数

定义联合密度函数 $f(x,y)$ 满足

$$\begin{array}{c}F(x,y)={\int }_{-\infty }^x{\int }_{-\infty }^{y}f(u,v)\mathrm{d}u\mathrm{d}v\end{array}$$

对于 $F(x,y)$ 连续处有

$$f(x,y)=\frac{{\partial }^{2}F(x,y)}{\partial x\partial y}$$

联合密度函数有以下两个性质：

$$\begin{array}{c}f(x,y)\ge 0\\ {\iint }_{{\mathbb{R}}^2}f(x,y)=1\end{array}$$

对于任意平面区域 $D$ 有

$$P((X,Y)\in D)={\iint }_{D}f(x,y)\mathrm{d}x\mathrm{d}y$$

边缘分布

协方差与相关系数

协方差

定义协方差：

$$\mathrm{Cov}(X,Y)=E\{[X-E(X)][Y-E(Y)]\}$$

相关的常用公式：

$$\begin{array}{c}\mathrm{Cov}(X,Y)=E(XY)-E(X)E(Y)\\ \mathrm{Cov}(X,X)=\mathrm{Var}(X)\\ \mathrm{Cov}(kX,lY)=kl\mathrm{Cov}(X,Y)\\ \mathrm{Var}(X\pm Y)=\mathrm{Var}(X)+\mathrm{Var}(Y)\pm 2\mathrm{Cov}(X,Y)\\ \mathrm{Cov}\left(\sum _{i=1}^m{X}_i,\sum _{j=1}^n{Y}_j\right)=\sum _{i=1}^m\sum _{j=1}^n\mathrm{Cov}(X_i,Y_j)\\ \mathrm{Cov}(X,Y)=\mathrm{Cov}(Y,X)\end{array}$$

当 $X,Y$ 相互独立，有 $\mathrm{Cov}(X,Y)=0$

相关系数

定义相关系数

$$\mathrm{Corr}(X,Y)=\frac{\mathrm{Cov}(X,Y)}{\sqrt{\mathrm{Var}(X)}\sqrt{\mathrm{Var}(Y)}}$$

相关系数表征两个随机变量的线性相关性，有 $-1\le \mathrm{Corr}(X,Y)\le 1$。

若 $Y=aX+b$，则 $a>0$ 时 $\mathrm{Corr}(X,Y)=1$，$a<0$ 时 $\mathrm{Corr}(X,Y)=-1$。

当 $\mathrm{Corr}(X,Y)=0$ 时称 $X,Y$ 不相关。

二维正态

对于 $(X,Y)\sim N({\mu }_1,{\mu }_2,{\sigma }_1^2,{\sigma }_2^2,\rho )$，有

$$f(x,y)=\frac{1}{2\pi {\sigma }_1{\sigma }_2\sqrt{1-{\rho }^2}}\exp \left\{-\frac{1}{2(1-{\rho }^2)}\left[\frac{(x-{\mu }_1{)}^2}{{\sigma }_1^2}-\frac{2\rho (x-{\mu }_1)(y-{\mu }_2)}{{\sigma }_1{\sigma }_2}+\frac{(y-{\mu }_2{)}^2}{{\sigma }_2^2}\right]\right\}$$

其中 $\rho$ 表示两个随机变量 $X,Y$ 的相关系数。下方的可交互图像中可以直观感受这一点（建议全屏）。