4 随机向量

二维随机变量也称二维随机向量。

联合分布函数与联合密度函数

定义二维随机变量的联合分布函数 $F (x, y)$ ：

F (x, y) = P (X \leq x, Y \leq y)

其有如下性质：

$0 \leq F (x, y) \leq 1$
$F (x, y)$ 对于其中任一自变量单调不减
$F (x, y)$ 对于其中任一自变量右连续
$lim_{\begin{matrix} x \to + \infty \\ y \to + \infty \end{matrix}} F (x, y) = 1$ ， $lim_{x \to - \infty} F (x, y) = 1$ ， $lim_{y \to - \infty} F (x, y) = 1$ ，

IMPORTANT

注意 $F (x, y) = 1$ 的要求是 $x, y$ 均很大， $F (x, y) = 0$ 的条件是 $x, y$ 任意一个很小。

这是因为分布函数的定义是两个随机变量都小于给定值的概率。因此只需任意一个给定值小，就很难达成（ $P \to 0$ ）；反过来如果要必然达成（ $P \to 1$ ），两个给定制都得很大才能做到。

若要求 $X, Y$ 各自落在某区间内的概率，有

P (a \leq X \leq b, c \leq Y \leq d) = F (b, d) - F (b, c) - F (a, d) + F (a, c)

画个图会很明白， $(a, c)$ 被减了两遍所以要补回来。

定义联合密度函数 $f (x, y)$ 满足

\begin{matrix} F (x, y) = \int_{- \infty}^{x} \int_{- \infty}^{y} f (u, v) d u d v \end{matrix}

对于 $F (x, y)$ 连续处有

f (x, y) = \frac{\partial^{2} F (x, y)}{\partial x \partial y}

联合密度函数有以下两个性质：

\begin{matrix} f (x, y) \geq 0 \\ \iint_{R^{2}} f (x, y) = 1 \end{matrix}

对于任意平面区域 $D$ 有

P ((X, Y) \in D) = \iint_{D} f (x, y) d x d y

定义协方差：

Cov (X, Y) = E {[X - E (X)] [Y - E (Y)]}

对于 $(X, Y) \sim N (μ_{1}, μ_{2}, σ_{1}^{2}, σ_{2}^{2}, ρ)$ ，有

f (x, y) = \frac{1}{2 π σ_{1} σ_{2} \sqrt{1 - ρ^{2}}} \exp {- \frac{1}{2 (1 - ρ^{2})} [\frac{(x - μ_{1})^{2}}{σ_{1}^{2}} - \frac{2 ρ (x - μ_{1}) (y - μ_{2})}{σ_{1} σ_{2}} + \frac{(y - μ_{2})^{2}}{σ_{2}^{2}}]}

其中 $ρ$ 表示两个随机变量 $X, Y$ 的相关系数。下方的可交互图像中可以直观感受这一点（建议全屏）。