PID

PID，是一种常见的控制器，即使用比例积分微分对误差进行控制的一种算法。

适用系统：二阶以内线性系统，齐次性，叠加性的系统。

数学公式

若 $err(t)$ 为误差， $target(t)$ 为目标值， $feedback(t)$ 为反馈值，则有 $err(t)=target(t)-feedback(t)$

记 $u(t)$ 为控制信号，则 PID 可以表示为如下形式

$$\begin{array}{r}u(t)=K_{p}err(t)+K_i\int err(t)\mathrm{d}t+K_d\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}err(t)\end{array}$$

将以上公式进行拉普拉斯变换后可得（拉普拉斯变换我也没学，等后面学了再补充吧）

$$\begin{gathered} u(s)=K_{p}err(s)+K_i\frac{1}{s}err(s)+K_{d}s\cdot err(s) \\ u(s)=(K_p+K_i\frac{1}{s}+K_{d}s)err(s) \end{gathered}$$

故可得 PID 传递函数

$$C(s)=(K_p+K_i\frac{1}{s}+K_{d}s)$$

参数解释

$K_p$ ：比例控制，与 $err$ 成一次函数关系，即误差大时，增量大，误差小时，增量减小。

$K_i$ ：积分控制，消除稳态误差，使输出值缓慢调整至目标值附近。

$K_d$ ：微分控制，可理解为阻尼作用，使受控对象迅速趋近目标值，减少振荡频率和幅度。但需要注意的是 $K_d$ 项对高频噪声敏感，会放大高频噪声，一般不单独使用，如果 $K_d$ 值调试不当，会使受控对象出现高频振动。

代码实现

/*增量式*/
pid->now = get_motor->speed;
pid->target = target_speed;
pid->err = pid->target - pid->now;
pid->output = pid->kp * (pid->err - pid->last_err) + pid->ki * pid->err +
              pid->kd * (pid->err - pid->last_err * 2 + pid->previous_err);
pid->previous_err = pid->last_err;
pid->last_err = pid->err;

串级 PID 控制

angle->speed

角度环作为内环，速度环作为外环，角度换的输出值作为速度环的目标值，双重 PID 控制，达到更精确的控制效果。

current->speed

同上述控制方式，读者可以自行思考。

不止如上双环 pid 的控制方式，还可以使用三环四环进行控制。

带前馈的 PID 控制器

为了更精确地控制运动，我们还可以在 PID 的基础上加上一个前馈控制，即 FPID，对目标值进行预测提前调整。由于笔者还未使用过该类型控制器，暂时不写。