1.1 线性回归

假设我们有一个有关 47 间房子的居住面积和价格的数据集：

居住面积（平方英尺）	价格（1000 $）
2104	400
1600	330
2400	369
1416	232
3000	540
$⋮$	$⋮$

将其可视化如下：

我们的目标是：给定这样的数据集，我们应该如何预测其他房子的价格，也就是说，我们应该给出怎样的预测函数？

以下列举一些记号和术语，方便之后的讨论：

• 我们使用上标来表示训练数据，其中 $x^{(i)}$ 表示第 $i$ 个输入数据或输入特征 (input features)，$y^{(i)}$ 表示第 $i$ 个输出数据或目标变量 (target variables)；

• 一对 $(x^{(i)},y^{(i)})$ 称为一个训练样本，而训练样本构成的数据集 $\{(x^{(i)},y^{(i)})\mid i=1,2,\cdots ,n\}$ 被称为训练集；

• 一般用 $\mathcal{X}$ 表示输入数据的集合 $\mathcal{X}=\{x^{(i)}\mid i=1,2,\cdots ,n\}$，一般用 $\mathcal{Y}$ 表示输出数据的集合 $\mathcal{Y}=\{y^{(i)}\mid i=1,2,\cdots ,n\}$.

  在上例中，$\mathcal{X}=\mathcal{Y}=\mathbb{R}$.

• 利用上面的术语，我们可以给有监督学习一个更加正式的表述：给定训练集，我们需要学习获得一个函数 $h:\mathcal{X}\mapsto \mathcal{Y}$，使得 $h(x)$ 是 $y$ 的良好预测。由于历史原因，这个函数 $h$ 被称为假设函数 (hypothesis)。上面讲述的过程可以用如下的流程图表示：

• 如果我们想要预测的目标变量是一个连续随机变量，我们就把这类学习问题称作回归问题 (regression problem)；若目标变量是离散随机变量，则称这类学习问题为 (classification problem)。

线性回归

为了让我们的学习问题更加有趣，我们引入更加丰富的训练集：

Living area (feet${}^2$)	bedrooms	Price (1000$s)
2104	3	400
1600	3	330
2400	3	369
1416	2	232
3000	4	540
$⋮$	$⋮$	$⋮$

在这里，$x$ 是 ${\mathbb{R}}^2$ 中的二维向量：$x_1^{(i)}$ 表示第 $i$ 个训练样本的第一个分量（房子的面积），$x_2^{(i)}$ 表示第 $i$ 个训练样本的第二个分量（卧室数）。事实上，我们完全可以自由地选择使用什么输入特征进行学习，而特征的选取也是一个相当重要的话题，不过在此我们假设输入特征是给定的，以便于接下来的讨论。

为实施有监督学习，我们需要一个假设函数 $h$，在此处我们选择线性函数作为假设函数：

$$h_{\theta }(x)={\theta }_0+{\theta }_1{x}_1+{\theta }_2{x}_2.$$

在此处，${\theta }_i$ 被称为参数或权值 (parameters / weights)。如无歧义，我们可以丢弃下标 $\theta$，简记为 $h(x)$. 为简化我们的表达式，我们引入 $x_0=1$，因此从向量内积的角度看，上式可重写为

$$h(x)=\sum _{i=0}^d{\theta }_i{x}_i={\theta }^{\text{T}}x,$$

其中右端的 $\theta$ 是参数向量 / 权值向量，$x$ 是输入向量，$d$ 是输入特征数（不包含 $x_0$）。

现在，我们所需要做的就是找到 $\theta$ 的表达式，使得我们的假设函数 $h(x)$ 尽可能地接近 $y$. 为量化表示 “接近” 这一概念，我们定义代价函数 (cost function)：

$$J(\theta )=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2.$$

我们的目标就是找到一个 $\theta$，使得 $J(\theta )$ 取得最小值。然后，取这个 $\theta$ 作为我们假设函数的参数向量。

LMS 算法

我们可以使用一种算法，它从某个初始猜测值 $\theta$ 出发，然后不断地改变 $\theta$，使得 $J(\theta )$ 不断减小，直到 $\theta$ 能够收敛到某个确定的 ${\theta }_{\star }$. 我们可以考虑梯度下降算法 (gradient descent algorithm)，这个算法秉承着上面的思路，对 $\theta$ 不断进行更新：

$${\theta }_j:={\theta }_j-\alpha \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta ).$$

WARNING

• 在接下来的所有语境中，我们用 $a:=b$ 表示把 $b$ 赋值给 $a$，而用 $a=b$ 表示 $a$ 和 $b$ 相等。这是符合数学传统规定的。
• 上式同时对所有 $j=0,\cdots ,d$ 执行。
• $\alpha$ 称为学习率。

现在，我们只需计算 $J(\theta )$ 的各阶偏导数即可。由于 $J(\theta )$ 中有求和项，为了讨论的便利，我们先假设 $n=1$，即我们只有一个训练样本，这样我们就可以忽略其中的求和符号：

$$\begin{array}{rl}\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}J(\theta )& =\frac{\partial }{\partial {\theta }_j}\frac{1}{2}(h_{\theta }(x)-y{)}^2\\ & =2\cdot \frac{1}{2}(h_{\theta }(x)-y)\cdot \frac{\partial }{\partial {\theta }_j}(h_{\theta }(x)-y)\\ & =(h_{\theta }(x)-y)x_j.\end{array}$$

因此对单个训练数据，我们的更新方法是：

$${\theta }_j:={\theta }_j+\alpha (y-h_{\theta }(x))x_j$$

这一法则称为 LMS 更新法则 (least mean squares)，也被称为 Widrow-Hoff 学习法则。我们可以发现，这一更新公式与误差项成比例：误差越大，需要更新的越多；反之越少。

对上面这个公式，如果我们将其写成向量的形式，可有：

$$\theta :=\theta +\alpha (y-h_{\theta }(x))x.$$

而对于由多个训练样本组成的训练集，我们有两种方式处理：

方式一：批量梯度下降

利用

$$\theta =\theta +\alpha \sum _{i=1}^n(y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)}))x^{(i)}.$$

一次性处理训练集中的所有训练样本。这种方法的正确性是显然的：对于有限个训练样本，求和和求偏导显然是可以交换次序的（当然，无限项就需要斟酌是否能够交换次序了，一般来说和级数的一致收敛性相关）。这种方法被称为批量梯度下降法 (batch gradient descent)。

NOTE

批量梯度下降法的优缺点如下：

• 优点：收敛稳定；
• 缺点：计算开销大，在完成所有样本的计算之后才能更新参数。

方式二：随机梯度下降

算法如下：

$$\begin{array}{rl}& \text{Loop}\{\\ & \text{for }i=1\text{ to }n,\{\\ & {\theta }_j:={\theta }_j+\alpha (y^{(i)}-h_{\theta }(x^{(i)}))x_j^{(i)},\text{ for every}j\\ & \}\\ & \}\end{array}$$

这种算法被称为随机梯度下降。

NOTE

随机梯度下降的优缺点如下：

• 优点：相比于批量梯度下降，随机梯度下降的计算开销较小，能够更快地 “靠近” 极值点；
• 缺点：但是随机梯度下降的收敛是震荡的，有时候并不会收敛到极值点。

尽管如此，那些在极值点附近的震荡值是极值点的良好近似！所以在实际运用中，随机梯度下降的应用是更加广泛的。

正规方程

矩阵函数微积分

对函数 $f:{\mathbb{R}}^{n\times d}\mapsto \mathbb{R}$，我们定义它的导数如下：

$${\mathrm{\nabla }}_{A}f(A)=\left[\begin{array}{ccc}\frac{\partial f}{\partial A_{11}}& \cdots & \frac{\partial f}{\partial A_{1d}}\\ ⋮& & ⋮\\ \frac{\partial f}{\partial A_{n1}}& \cdots & \frac{\partial f}{\partial A_{nd}}\end{array}\right].$$

假设 $A=\left[\begin{array}{cc}{A}_{11}& A_{12}\\ A_{21}& A_{22}\end{array}\right]$ 是一个 $2\times 2$ 矩阵，函数 $f:{\mathbb{R}}^{2\times 2}\mapsto \mathbb{R}$ 定义为

$$f(A)=\frac{3}{2}{A}_{11}+5A_{12}^2+A_{21}{A}_{22}.$$

则其导数为

$${\mathrm{\nabla }}_{A}f(A)=\left[\begin{array}{cc}\frac{3}{2}& 10A_{12}\\ A_{22}& A_{21}\end{array}\right].$$

最小二乘

接下来我们尝试找出 $\theta$ 的准确收敛值。给定一个训练集，我们定义一个 $n\times (d+1)$ 矩阵 $X$，包含所有的输入特征：

$$X=\left[\begin{array}{c}(x^{(1)}{)}^{\text{T}}\\ (x^{(2)}{)}^{\text{T}}\\ ⋮\\ (x^{(n)}{)}^{\text{T}}\end{array}\right].$$

定义 $\overrightarrow{y}$ 为 $n$ 维向量，包含所有的目标变量：

$$\overrightarrow{y}=\left[\begin{array}{c}{y}^{(1)}\\ ⋮\\ y^{(n)}\end{array}\right].$$

因为 $h_{\theta }(x^{(i)})=(x^{(i)}{)}^{\text{T}}\theta$，我们可以发现：

$$X\theta -\overrightarrow{y}=\left[\begin{array}{c}(x^{(1)}{)}^{\text{T}}\theta -y^{(1)}\\ ⋮\\ (x^{(n)}{)}^{\text{T}}\theta -y^{(n)}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{h}_{\theta }(x^{(1)})-y^{(1)}\\ ⋮\\ h_{\theta }(x^{(n)})-y^{(n)}\end{array}\right].$$

根据二次型相关知识，我们有

$$\frac{1}{2}(X\theta -\overrightarrow{y}{)}^{\text{T}}(X\theta -\overrightarrow{y})=\frac{1}{2}\sum _{i=1}^n(h_{\theta }(x^{(i)})-y^{(i)}{)}^2=J(\theta ).$$

微积分观点

因此，为找到使 $J(\theta )$ 取到最小值的 $\theta$，对左式，我们只需要对 $\theta$ 求导即可。

$$\begin{array}{rl}{\mathrm{\nabla }}_{\theta }J(\theta )& =\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}_{\theta }(X\theta -\overrightarrow{y}{)}^{\text{T}}(X\theta -\overrightarrow{y})\\ & =\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}_{\theta }((X\theta {)}^{\text{T}}X\theta -(X\theta {)}^{\text{T}}\overrightarrow{y}-{\overrightarrow{y}}^{\text{T}}(X\theta )+{\overrightarrow{y}}^{\text{T}}\overrightarrow{y})\\ & =\frac{1}{2}{\mathrm{\nabla }}_{\theta }({\theta }^{\text{T}}(X^{\text{T}}X)\theta -2(X^{\text{T}}\overrightarrow{y}{)}^{\text{T}}\theta )\\ & =\frac{1}{2}(2X^{\text{T}}X\theta -2X^{\text{T}}y)\\ & =X^{\text{T}}X\theta -X^{\text{T}}y.\end{array}$$

倒数第二个等号利用了恒等式 ${\mathrm{\nabla }}_x{b}^{\text{T}}x=b$ 和 ${\mathrm{\nabla }}_x{x}^{\text{T}}Ax=2Ax$，其中 $A$ 为对称阵。

因此，令 ${\mathrm{\nabla }}_{\theta }J(\theta )=0$，我们得到了正规方程：

$$X^{\text{T}}X\theta =X^{\text{T}}\overrightarrow{y}.$$

因此有

$$\theta =(X^{\text{T}}X{)}^{-1}{X}^{\text{T}}\overrightarrow{y}.$$

线性代数观点

事实上，更简洁的理解方式是线性代数的理解方式。如果我们将 $X\theta$ 理解为 $X$ 的每一个列向量的线性组合，对于任意的 $\theta \in {\mathbb{R}}^{d+1}$，$X\theta$ 张成了一个线性空间。一般而言，$\overrightarrow{y}$ 不在这一线性空间中，对应线性方程组 $X\theta =\overrightarrow{y}$ 无解；但如果我们将 $\overrightarrow{y}$ 投影到该线性空间中，以投影向量替代原线性方程组的右端常数项，那么我们就一定可以找到一组解，且这组解一定会使得 $J(\theta )$ 取到最小值。

不妨设 $\overrightarrow{y}$ 在这一线性空间的投影为 $X\theta$，那么 $\overrightarrow{y}-X\theta$ 就一定垂直于这个线性空间，也就是 $\overrightarrow{y}-X\theta$ 与 $X$ 的所有列向量的点积为零，即

$$X^{\text{T}}(\overrightarrow{y}-X\theta )=O\in {\mathbb{R}}^{d+1}.$$

解得

$$\theta =(X^{\text{T}}X{)}^{-1}{X}^{\text{T}}\overrightarrow{y}.$$

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正规方程提供了线性回归的精确数学解，是理解最小二乘本质的基础，但在大数据场景下梯度下降更实用。