2.3 多类分类

在二元分类中，目标变量 $y$ 的可能取值只有 $\{0,1\}$；现在我们将二元分类进行拓展，让 $y$ 取 $\{1,2,\cdots ,k\}$：即更多的类。我们该如何建模呢？

在这种情况下，$p(y\mid x;\theta )$ 是多项分布。多项分布包含了 $k$ 个参数 ${\varphi }_1,{\varphi }_2,\cdots ,{\varphi }_k$，它们表示了出现各个结果的概率，并满足 ${\sum }_{i=1}^k{\varphi }_k=1$。我们将会构造一个模型，使得输出的 ${\varphi }_1,\cdots ,{\varphi }_k$ 满足上述条件。

我们引入 $k$ 组参数 ${\theta }_1,\cdots ,{\theta }_k$，每一个都是 ${\mathbb{R}}^d$ 中的向量。依照我们先前的经验，我们会使用 ${\theta }_1^{\text{T}}x,\cdots ,{\theta }_k^{\text{T}}x$ 来表示 ${\varphi }_1,\cdots ,{\varphi }_k$，但这种方法有两种问题：一是 ${\theta }_j^{\text{T}}x$ 不一定落在区间 $[0,1]$ 内部；二是 ${\sum }_{j=1}^n{\theta }_j^{\text{T}}x$ 不一定为 $1$。因此，我们不能使用这种简单的方法。一种解决思路是使用 $\text{softmax}$ 函数将 $({\theta }_1^{\text{T}}x,\cdots ,{\theta }_k^{\text{T}}x)$ 转化为概率向量，使得每一个分量都非负且总和为 $1$。

定义函数 $\text{softmax}:{\mathbb{R}}^k\to {\mathbb{R}}^k$ 如下

$$\text{softmax}(t_1,\cdots ,t_k)=\left[\begin{array}{c}\frac{\exp (t_1)}{{\sum }_{j=1}^k\exp (t_j)}\\ ⋮\\ \frac{\exp (t_k)}{{\sum }_{j=1}^k\exp (t_j)}\end{array}\right].$$

其中，输入项向量 $t$ 常常被称作逻辑特 (logits)。

下面，我们令 $(t_1,\cdots ,t_k)=({\theta }_1^{\text{T}}x,\cdots ,{\theta }_k^{\text{T}}x)$，这样我们就能够利用 $\text{softmax}$ 函数，将线性向量转变为合法的概率向量。我们不妨将输出的概率向量作为条件概率 $P(y=1\mid x;\theta ),\cdots ,P(y=k\mid x;\theta )$，然后我们就得到了下面的概率模型

$$\left[\begin{array}{c}P(y=1\mid x;\theta )\\ ⋮\\ P(y=k\mid x;\theta )\end{array}\right]=\text{softmax}(t_1,\cdots ,t_k)=\left[\begin{array}{c}\frac{\exp ({\theta }_1^{\text{T}}x)}{{\sum }_{j=1}^k\exp ({\theta }_j^{\text{T}}x)}\\ ⋮\\ \frac{\exp ({\theta }_k^{\text{T}}x)}{{\sum }_{j=1}^k\exp ({\theta }_j^{\text{T}}x)}\end{array}\right].$$

为了记号的简洁，我们令 ${\varphi }_i=\frac{\exp ({\theta }_i^{\text{T}}x)}{{\sum }_{j=1}^k\exp ({\theta }_j^{\text{T}}x)}$，于是有

$$P(y=i\mid x;\theta )={\varphi }_i.$$

接下来我们对单个训练样本 $(x,y)$ 计算负对数似然函数：

$$-\log p(y\mid x,\theta )=-\log \left(\frac{\exp (t_y)}{{\sum }_{j=1}^k\exp (t_j)}\right)=-\log \left(\frac{\exp ({\theta }_y^{\text{T}}x)}{{\sum }_{j=1}^k\exp ({\theta }_j^{\text{T}}x)}\right).$$

损失函数，即整个训练集的负对数似然函数为

$$l(\theta )=\sum _{i=1}^n-\log \left(\frac{\exp ({\theta }_{y^{(i)}}^{\text{T}}{x}^{(i)})}{{\sum }_{j=1}^k\exp ({\theta }_j^{\text{T}}{x}^{(i)})}\right).$$

我们定义交叉熵损失函数 $l_{\text{ce}}:{\mathbb{R}}^k\times \{1,\cdots ,k\}\to {\mathbb{R}}_{\ge 0}$ 为

$$l_{\text{ce}}((t_1,\cdots ,t_k),y)=-\log \left(\frac{\exp ({\theta }_y^{\text{T}}x)}{{\sum }_{j=1}^k\exp ({\theta }_j^{\text{T}}x)}\right).$$

使用这个记号，我们可以把 $l(\theta )$ 改写为

$$l(\theta )=\sum _{i=1}^n{l}_{\text{ce}}(({\theta }_1^{\text{T}}{x}^{(i)},\cdots ,{\theta }_k^{\text{T}}{x}^{(i)}),y^{(i)}).$$

交叉熵损失函数的梯度表达式极其简洁。如果令 $t=(t_1,\cdots ,t_k)$，结合 ${\varphi }_i=\frac{\exp (t_i)}{{\sum }_{j=1}^k\exp (t_j)}$，可推导出

$$\frac{\partial }{\partial t_i}{l}_{\text{ce}}(t,y)={\varphi }_i-I\{y=i\},$$

其中 $I\{\cdot \}$ 为指示函数，即

$$I\{y=i\}=\{\begin{array}{ll}1& \text{if }y=i,\\ 0& \text{otherwise}.\end{array}$$

若将上面的梯度写成向量形式，则有

$$\frac{\partial }{\partial t}{l}_{\text{ce}}(t,y)=\varphi -e_y,$$

其中 $e_y\in {\mathbb{R}}^k$ 是第 $y$ 个自然基向量。由链式法则，我们有

$$\frac{\partial }{\partial {\theta }_i}{l}_{\text{ce}}(({\theta }_1^{\text{T}}x,\cdots ,{\theta }_k^{\text{T}}x),y)=\sum _{j=1}^n({\varphi }_i^{(j)}-I\{y^{(i)}=i\})\cdot x^{(j)},$$

其中 ${\varphi }_i^{(j)}=\frac{\exp ({\theta }_i^{\text{T}}{x}^{(j)})}{{\sum }_{s=1}^k\exp ({\theta }_s^{\text{T}}{x}^{(j)})}$ 是模型预测 $x^{(i)}$ 样本的输出为 $i$ 的概率。

在计算出上面梯度的基础上，我们可以利用梯度下降法，使得损失函数 $l(\theta )$ 最小化。