2.4 逻辑回归

回到逻辑回归。在逻辑回归中，我们需要最大化对数似然函数 $l(\theta )$。之前我们采用的是梯度上升法。接下来介绍另一种方法：牛顿迭代法。

牛顿迭代法的原理在高中学过，不再赘述。它可以帮助我们找到函数的零点。现在我们的目标是找到函数 $l(\theta )$ 的极大值点，这对应着它的导函数 $l^{\prime }(\theta )$ 的零点，所以算法如下：

$$\theta :=\theta -\frac{l^{\prime }(\theta )}{l^{″}(\theta )}.$$

由于在逻辑回归中 $\theta$ 是向量，我们需要将上式拓展到向量形式：

$$\theta :=\theta -H^{-1}{\mathrm{\nabla }}_{\theta }l(\theta ).$$

其中 $H$ 是 Hessian 阵，第 $i$ 行 $j$ 列的表达式如下：

$$H_{ij}=\frac{{\partial }^{2}l(\theta )}{\partial {\theta }_i\partial {\theta }_j}.$$

牛顿迭代法的收敛速度明显快于梯度法，但每一步迭代都需要更多的计算开销（计算 Hessian 阵及其逆矩阵）。但如果输入特征的维数 $d$ 不太大的话，总体而言牛顿迭代法还是有着极大的运算优势的。这里我们运用牛顿迭代法最大化对数似然函数的方法，又被称作费希尔评分法 (Fisher scoring)。