1.2 电路元件

基本理想电路元件

• 电阻元件：消耗电能的元件
• 电感元件：产生磁场，储存磁场能量的元件
• 电容元件：产生电场，储存电场能量的元件
• 电压源和电流源：将其它形式的能量转变成电能的元件

电阻元件

电阻

• 符号：$R$
• 公式：$R\triangleq {\displaystyle \frac{U}{I}}$
• 单位：欧姆 $\mathrm{\Omega }$
• 耗能元件，吸收功率

短路与开路

• 短路：当 $R=0$（$G=\mathrm{\infty }$）时，$u=0$，$i$ 由外电路决定
• 开路：当 $R=\mathrm{\infty }$（$G=0$）时，$i=0$，$u$ 由外电路决定

电容元件

自第 5 版起，电容与电感元件的介绍移动到第 6 章。本套笔记所参考的视频课使用的是第 4 版教材，且笔者认为有必要在开头介绍一下电容与电感元件，因此将这部分保留在第一章。

电容

• 符号：$C$
• 定义：$C\triangleq {\displaystyle \frac{q}{U}}$
• 单位：法拉 $\mathrm{F}$
• 电容器：两块相互靠近的金属板，中间夹着一层绝缘介质，能够储存电荷和电能。

电容器

• 一般电容：

• 可调电容：

• 电解电容：

根据前面的定义式可以推出：

$$\begin{array}{}\text{(1)}& \mathrm{d}u(t)=\frac{1}{C}\mathrm{d}q(t)=\frac{1}{C}i(t)\mathrm{d}t\end{array}$$

可以得到电容电压的计算公式：${\displaystyle u(t)=u(t_0)+\frac{1}{C}{\int }_{t_0}^{t}i(t)\mathrm{d}t}$

由 $(1)$ 继续推导，若 $C$ 上 $u,i$ 为关联参考方向，设 $W_C$ 为电容器上储存的电能，则有

$$p=u(t)\cdot i(t)=u\cdot \frac{C\mathrm{d}u}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{1}{2}C{u}^2=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}{W}_C$$

得电容的电能计算公式：$W_C={\displaystyle \frac{1}{2}}C{u}^2$。因此：

• 若 $|u|\uparrow$，$|W_C|\uparrow$，$P>0$，$C$ 吸收功率（储能）
• 若 $|u|\downarrow$，$|W_C|\downarrow$，$P<0$，$C$ 发出功率（放能）

因此，$C$ 为储能、无源元件，且不耗能。

例 1

已知 $C=0.2\mathrm{F}$，$u(0)=30\mathrm{V}$，电容电流波形已知，求电容电压并画出波形。

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1. $0\le t<3s$，$i=5\mathrm{A}>0$，电容充电

   $$\begin{array}{rl}u& =u(0)+\frac{1}{C}{\int }_0^{t}i(\xi )\mathrm{d}\xi \\ & =30+\frac{1}{0.2}{\int }_0^{t}5d\xi =30+25t(\mathrm{V})\end{array}$$

   且有 $u(3\mathrm{s})=(30+25\times 3)\mathrm{V}=105\mathrm{V}$。

2. $3\mathrm{s}\le t<7\mathrm{s}$，$i=-2\mathrm{A}<0$，电容放电

   $$\begin{array}{rl}u& =u(3\mathrm{s})+\frac{1}{C}{\int }_3^{t}i(\xi )\mathrm{d}\xi \\ & =105+\frac{1}{0.2}{\int }_3^t(-2)\mathrm{d}\xi =135-10t(\mathrm{V})\end{array}$$

   且有 $u(7\mathrm{s})=65\mathrm{V}$。

3. $t\ge 7\mathrm{s}$，$i=0$，电容电压保持不变，$u(t)=u(7\mathrm{s})=65\mathrm{V}$。

据此画出电压波形：

电感元件

电感

• 符号：$L$
• 单位：亨利 $\mathrm{H}$
• 定义：$E_L=-L{\displaystyle \frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}}$，其中 $E_L$ 为感应出的电动势。

电感器

变化的电流感应出磁场。磁链（即磁通量）$\psi$ 与电流 $i$ 存在代数关系。如果线圈的磁场存在于线性介质，磁链与电流成正比 $\psi =Li$。

若 $L$ 上 $u,i$ 为关联参考方向，则根据电感的定义有

$$p=ui=Li\frac{\mathrm{d}i}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\frac{1}{2}L{i}^2=\frac{\mathrm{d}{W}_L}{\mathrm{d}t}$$

故有电感的电能计算公式：${\displaystyle W_L=\frac{1}{2}L{i}^2=\frac{{\psi }^2}{2L}}$。因此：

• 若 $|i|\uparrow$，$|W_L|\uparrow$，$P>0$，$L$ 吸收功率（储能）
• 若 $|i|\downarrow$，$|W_L|\downarrow$，$P<0$，$L$ 发出功率（放能）

因此电感为储能元件、无源元件，且不耗能。

NOTE

电容与电感是相对应的，电容对电压敏感，电感对电流敏感。因此电容与电感的公式也是对偶的。

独立源

独立电压源

• 输出电压 $u(t)$ 与电流 $i(t)$ 无关
• 电压源不得短路
• $U_s=0$ 时，电压源不作用 —— 相当于所在支路短路

电压源不允许直接并联。下面的电路是不允许的：

但是电压源可以串联，最终电压相加。

TIP

与独立电压源并联的电阻对外电路是无效的。初中知识。

独立电流源

• 输出电流 $i(t)$ 与电压 $u(t)$ 无关
• 电流源不得开路
• $I_s=0$ 时，电流源不作用 —— 相当于所在支路开路

电流源不允许直接串联，下面的电路是不允许的：

但是电流源可以并联，最终电流相加。

TIP

与独立电流源串联的电阻对外电路是无效的。

这与刚刚那个电压源并联电阻是同理的。串联不改变电流。

例 2

求电压源、电流源吸收的功率分别为？

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先不要慌，从高中知识入手。

电阻两端的电压是 $3\mathrm{V}$，电阻为 $2\mathrm{\Omega }$，则其电流为 $I_R={\displaystyle \frac{u}{R}}=1.5\mathrm{A}$。

取上方中间的节点，流入电流等于流出电流，可推出电压源的电流为 $0.5\mathrm{A}$。

电压源为上正下负，电压参考方向是向下，而这里我们电流的参考方向向上，为非关联参考方向，因此有

$$P_V=-ui=-3\times 0.5=-1.5\mathrm{W}$$

即电压源给出 $1.5\mathrm{W}$ 功率。

再来看电流源，此处电流源两端电压明显为 $3\mathrm{V}$，参考方向是向下，与电流参考方向相反，为非关联参考方向，因此有

$$P_A=-ui=-3\times 1=-3\mathrm{W}$$

即电流源给出 $3\mathrm{W}$ 功率。

综上，电压源吸收 $-1.5\mathrm{W}$，电流源吸收 $-3\mathrm{W}$。

受控源

• 受控电源：源电压或源电流受电路中另一处电压或电流控制。
• 线性受控源：受控量与控制量成正比，控制系数为常量。
• 受控源的分类：
  • 电压控制电压源 VCVS（Voltage-Controlled Voltage Source）
  • 电流控制电压源 CCVS（Current-Controlled Voltage Source）
  • 电压控制电流源 VCCS（Voltage-Controlled Current Source）
  • 电流控制电流源 CCCS（Current-Controlled Current Source）

至于如何受控，需要具体问题具体分析。

例 3

求两个受控源各自发出的功率。

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考虑节点 (2)，流入 $9\mathrm{A}$ 电流，流出 $i_1+2i_1=3i_1$，故有 $i_1=3\mathrm{A}$。

考虑电阻，有 $u_1=i_{1}R=6\mathrm{V}$。

考虑受控电压源，为非关联参考方向，故有 $P_V=-2i_1\cdot 3u_1=-108\mathrm{W}$。

考虑受控电流源。两个受控源电压之和为电阻电压 $u_1$，故有 $u_A=u_1-3u_1=-2u_1$ 方向向下。此时受控电流源为关联参考方向，有 $P_A=-2u_1\cdot 2i_1=-72\mathrm{W}$。

综上，受控电压源发出功率 $108\mathrm{W}$，受控电流源发出功率 $72\mathrm{W}$。

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