1.2 电路元件

基本理想电路元件

电阻元件：消耗电能的元件
电感元件：产生磁场，储存磁场能量的元件
电容元件：产生电场，储存电场能量的元件
电压源和电流源：将其它形式的能量转变成电能的元件

电阻元件

电阻

符号： $R$
公式： $R ≜ \frac{U}{I}$
单位：欧姆 $Ω$
耗能元件，吸收功率

短路与开路

短路：当 $R = 0$ （ $G = \infty$ ）时， $u = 0$ ， $i$ 由外电路决定
开路：当 $R = \infty$ （ $G = 0$ ）时， $i = 0$ ， $u$ 由外电路决定

电容元件

自第 5 版起，电容与电感元件的介绍移动到第 6 章。本套笔记所参考的视频课使用的是第 4 版教材，且笔者认为有必要在开头介绍一下电容与电感元件，因此将这部分保留在第一章。

电容

符号： $C$
定义： $C ≜ \frac{q}{U}$
单位：法拉 $F$
电容器：两块相互靠近的金属板，中间夹着一层绝缘介质，能够储存电荷和电能。

电容器

一般电容：
可调电容：
电解电容：

根据前面的定义式可以推出：

d u (t) = \frac{1}{C} d q (t) = \frac{1}{C} i (t) d t (1)

可以得到电容电压的计算公式： $u (t) = u (t_{0}) + \frac{1}{C} \int_{t_{0}}^{t} i (t) d t$

由 $(1)$ 继续推导，若 $C$ 上 $u, i$ 为关联参考方向，设 $W_{C}$ 为电容器上储存的电能，则有

p = u (t) \cdot i (t) = u \cdot \frac{C d u}{d t} = \frac{d}{d t} \frac{1}{2} C u^{2} = \frac{d}{d t} W_{C}

得电容的电能计算公式： $W_{C} = \frac{1}{2} C u^{2}$ 。因此：

若 $∣ u ∣ ↑$ ， $∣ W_{C} ∣ ↑$ ， $P > 0$ ， $C$ 吸收功率（储能）
若 $∣ u ∣ ↓$ ， $∣ W_{C} ∣ ↓$ ， $P < 0$ ， $C$ 发出功率（放能）

因此， $C$ 为储能、无源元件，且不耗能。

例 1

已知 $C = 0.2 F$ ， $u (0) = 30 V$ ，电容电流波形已知，求电容电压并画出波形。

$0 \leq t < 3 s$ ， $i = 5 A > 0$ ，电容充电
$u = u (0) + \frac{1}{C} \int_{0}^{t} i (ξ) d ξ = 30 + \frac{1}{0.2} \int_{0}^{t} 5 d ξ = 30 + 25 t (V)$
且有 $u (3 s) = (30 + 25 \times 3) V = 105 V$ 。
$3 s \leq t < 7 s$ ， $i = - 2 A < 0$ ，电容放电
$u = u (3 s) + \frac{1}{C} \int_{3}^{t} i (ξ) d ξ = 105 + \frac{1}{0.2} \int_{3}^{t} (- 2) d ξ = 135 - 10 t (V)$
且有 $u (7 s) = 65 V$ 。
$t \geq 7 s$ ， $i = 0$ ，电容电压保持不变， $u (t) = u (7 s) = 65 V$ 。

据此画出电压波形：

电感元件

电感

符号： $L$
单位：亨利 $H$
定义： $E_{L} = - L \frac{d i}{d t}$ ，其中 $E_{L}$ 为感应出的电动势。

电感器

变化的电流感应出磁场。磁链（即磁通量） $ψ$ 与电流 $i$ 存在代数关系。如果线圈的磁场存在于线性介质，磁链与电流成正比 $ψ = L i$ 。

若 $L$ 上 $u, i$ 为关联参考方向，则根据电感的定义有

p = u i = L i \frac{d i}{d t} = \frac{d}{d t} \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{d W _{L}}{d t}

故有电感的电能计算公式： $W_{L} = \frac{1}{2} L i^{2} = \frac{ψ ^{2}}{2 L}$ 。因此：

若 $∣ i ∣ ↑$ ， $∣ W_{L} ∣ ↑$ ， $P > 0$ ， $L$ 吸收功率（储能）
若 $∣ i ∣ ↓$ ， $∣ W_{L} ∣ ↓$ ， $P < 0$ ， $L$ 发出功率（放能）

因此电感为储能元件、无源元件，且不耗能。

NOTE

电容与电感是相对应的，电容对电压敏感，电感对电流敏感。因此电容与电感的公式也是对偶的。

独立源

独立电压源

输出电压 $u (t)$ 与电流 $i (t)$ 无关
电压源不得短路
$U_{s} = 0$ 时，电压源不作用 —— 相当于所在支路短路

电压源不允许直接并联。下面的电路是不允许的：

但是电压源可以串联，最终电压相加。

TIP

与独立电压源并联的电阻对外电路是无效的。初中知识。

独立电流源

输出电流 $i (t)$ 与电压 $u (t)$ 无关
电流源不得开路
$I_{s} = 0$ 时，电流源不作用 —— 相当于所在支路开路

电流源不允许直接串联，下面的电路是不允许的：

但是电流源可以并联，最终电流相加。

TIP

与独立电流源串联的电阻对外电路是无效的。

这与刚刚那个电压源并联电阻是同理的。串联不改变电流。

例 2

求电压源、电流源吸收的功率分别为？

先不要慌，从高中知识入手。

电阻两端的电压是 $3 V$ ，电阻为 $2 Ω$ ，则其电流为 $I_{R} = \frac{u}{R} = 1.5 A$ 。

取上方中间的节点，流入电流等于流出电流，可推出电压源的电流为 $0.5 A$ 。

电压源为上正下负，电压参考方向是向下，而这里我们电流的参考方向向上，为非关联参考方向，因此有

P_{V} = - u i = - 3 \times 0.5 = - 1.5 W

即电压源给出 $1.5 W$ 功率。

再来看电流源，此处电流源两端电压明显为 $3 V$ ，参考方向是向下，与电流参考方向相反，为非关联参考方向，因此有

P_{A} = - u i = - 3 \times 1 = - 3 W

即电流源给出 $3 W$ 功率。

综上，电压源吸收 $- 1.5 W$ ，电流源吸收 $- 3 W$ 。

受控源

受控电源：源电压或源电流受电路中另一处电压或电流控制。
线性受控源：受控量与控制量成正比，控制系数为常量。
受控源的分类：
- 电压控制电压源 VCVS（Voltage-Controlled Voltage Source）
- 电流控制电压源 CCVS（Current-Controlled Voltage Source）
- 电压控制电流源 VCCS（Voltage-Controlled Current Source）
- 电流控制电流源 CCCS（Current-Controlled Current Source）

至于如何受控，需要具体问题具体分析。

例 3

求两个受控源各自发出的功率。

考虑节点 (2)，流入 $9 A$ 电流，流出 $i_{1} + 2 i_{1} = 3 i_{1}$ ，故有 $i_{1} = 3 A$ 。

考虑电阻，有 $u_{1} = i_{1} R = 6 V$ 。

考虑受控电压源，为非关联参考方向，故有 $P_{V} = - 2 i_{1} \cdot 3 u_{1} = - 108 W$ 。

考虑受控电流源。两个受控源电压之和为电阻电压 $u_{1}$ ，故有 $u_{A} = u_{1} - 3 u_{1} = - 2 u_{1}$ 方向向下。此时受控电流源为关联参考方向，有 $P_{A} = - 2 u_{1} \cdot 2 i_{1} = - 72 W$ 。

综上，受控电压源发出功率 $108 W$ ，受控电流源发出功率 $72 W$ 。

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