LinhoNotes

外观

1.3 基尔霍夫定律 ​

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基尔霍夫定律是接下来研究各类电路的基础。必须熟练。

概念 ​

  • 支路（branch）：流过同一电流的一段电路；
  • 节点（node）：支路与支路的连接点；
  • 回路（loop）：经过支路构成的闭合路径，在一个回路中每条支路仅允许经过一次；
  • 网孔：平面电路中不与其他支路相交的回路。

基尔霍夫电流定律（KCL） ​

文字表达 ​

在集中参数电路中，任一时刻对任一节点，流出该节点的支路电流代数和等于 0。（即流入电流 流出电流）

公式表达 ​

图形表达 ​

列式时规定：流出为正，流入为负。

例 1

列出下图各节点的 KCL 方程。

方程数量的结论：若电路有 个节点，可以列出 个独立的 KCL 方程。

例如上例中 ，4 个节点实际上只有 3 个独立方程。

为什么有且只有 个独立方程？

方程组的未知数是 条支路的电流。对于每个支路，有且只有一个起点和一个终点。起点处是流出电流取正号，终点处是流入电流取负号。因此，将所有方程相加，所有的未知数必然消去，最终结果为 ，即方程组不是满秩的，。

任意去掉一个方程。由于少了一个方程，少掉的这个方程内的所有电流值都「落单」了，即其余方程内包含且仅包含一个这些电流值。则包含这些落单电流值的节点方程不可能由其他方程导出，即这 个方程是独立的。

需要注意，这只是一个简化过的理解方式。如需严谨证明，可参考 这篇知乎回答。

广义 KCL：节点与闭合面 ​

可以将一个联通的闭合面整体看作一个节点，例如上图中就可以直接列出：

基尔霍夫电压定律（KVL） ​

文字表述 ​

在集中参数电路中，任一时刻沿任一回路，各支路电压（降）代数和为 0。

公式表达 ​

图形表达 ​

列式时规定：沿着回路的方向，电压下降为正，上升为负。

例 2

列出下图各网孔的 KVL 方程。

我们取顺时针方向为参考方向，对于图中的三个网孔，有

方程数量的结论：若电路有 条支路、 个节点，则可以列出 个独立的 KVL 方程，且独立方程格式等于网孔个数。

此结论的证明需要图论的知识。此处不提。

例 3

求如图电路中控制量 及电压 。

设 ，，流经 的电流为 ，方向向下，，流经的电流为 ，，列 KVL、KCL 方程如下：

解得

故有 。