1.3 基尔霍夫定律

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基尔霍夫定律是接下来研究各类电路的基础。必须熟练。

概念

• 支路（branch）：流过同一电流的一段电路；
• 节点（node）：支路与支路的连接点；
• 回路（loop）：经过支路构成的闭合路径，在一个回路中每条支路仅允许经过一次；
• 网孔：平面电路中不与其他支路相交的回路。

基尔霍夫电流定律（KCL）

文字表达

在集中参数电路中，任一时刻对任一节点，流出该节点的支路电流代数和等于 0。（即流入电流 $=$ 流出电流）

公式表达

$$\sum i(t)=0$$

图形表达

列式时规定：流出为正，流入为负。

例 1

列出下图各节点的 KCL 方程。

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$$\begin{array}{rlr}& (1)& i_1+i_2+i_3=0\\ & (2)& -i_2+i_5+i_7=0\\ & (3)& -i_3+i_6-i_7=0\\ & (4)& -i_1-i_5-i_6=0\end{array}$$

方程数量的结论：若电路有 $n$ 个节点，可以列出 $n-1$ 个独立的 KCL 方程。

例如上例中 $(4)=-(1)-(2)-(3)$，4 个节点实际上只有 3 个独立方程。

为什么有且只有 $n-1$ 个独立方程？

方程组的未知数是 $n$ 条支路的电流。对于每个支路，有且只有一个起点和一个终点。起点处是流出电流取正号，终点处是流入电流取负号。因此，将所有方程相加，所有的未知数必然消去，最终结果为 $0=0$，即方程组不是满秩的，$r<n$。

任意去掉一个方程。由于少了一个方程，少掉的这个方程内的所有电流值都「落单」了，即其余方程内包含且仅包含一个这些电流值。则包含这些落单电流值的节点方程不可能由其他方程导出，即这 $n-1$ 个方程是独立的。

需要注意，这只是一个简化过的理解方式。如需严谨证明，可参考 这篇知乎回答。

广义 KCL：节点与闭合面

可以将一个联通的闭合面整体看作一个节点，例如上图中就可以直接列出：

$$-1-2+I_x=0\Rightarrow I_x=3(\mathrm{A})$$

基尔霍夫电压定律（KVL）

文字表述

在集中参数电路中，任一时刻沿任一回路，各支路电压（降）代数和为 0。

公式表达

$$\sum u(t)=0$$

图形表达

列式时规定：沿着回路的方向，电压下降为正，上升为负。

例 2

列出下图各网孔的 KVL 方程。

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我们取顺时针方向为参考方向，对于图中的三个网孔，有

$$\begin{array}{rl}{u}_3+u_4-u_7-u_2& =0\\ u_2+u_5-u_1& =0\\ u_7+u_6-u_5& =0\end{array}$$

方程数量的结论：若电路有 $b$ 条支路、$n$ 个节点，则可以列出 $l=b-n+1$ 个独立的 KVL 方程，且独立方程格式等于网孔个数。

此结论的证明需要图论的知识。此处不提。

例 3

求如图电路中控制量 $I_1$ 及电压 $U_0$。

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设 $R_1=1\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$，$R_2=6\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$，流经 $R_2$ 的电流为 $I_2$，方向向下，$R_3=5\mathrm{k}\mathrm{\Omega }$，流经的电流为 $I_3$，$U_S=20\mathrm{V}$，列 KVL、KCL 方程如下：

$$\{\begin{array}{l}{U}_S-I_1{R}_1-I_2{R}_2-600I_1=0\\ U_S-I_1{R}_1-I_3{R}_3=0\\ I_1=I_2+I_3\end{array}$$

解得 $\{\begin{array}{l}{I}_1=5\mathrm{mA}\\ I_2=2\mathrm{mA}\\ I_3=3\mathrm{mA}\end{array}$

故有 $U_0=I_3{R}_3=15\mathrm{V}$。