3.2 等效电源定理

等效电源定理：能够将任何线性含源一端囗电路化简为戴维南电路或诺顿电路。包含戴维南定理与诺顿定理。

• 戴维南定理
  • 线性含源一端口电路，可用戴维南电路等效代替；
  • 戴维南电路中的电压源 $U_S$ 等于开路电压 $U_{OC}$；
  • 戴维南电路中的 $R_i$ 等于该含源一端口电路内部各独立源置零后所得无源一端口的输入电阻 $R_{in}$。
• 诺顿定理
  • 线性含源一端口电路，可用诺顿电路等效代替；
  • 戴维南电路中的电流源 $I_S$ 等于线性含源一端口的短路电流 $I_{SC}$；
  • 戴维南电路中的 $G_i$ 等于该含源一端口电路内部各独立源置零后所得无源一端口的输入电导 $G_{in}$。

那么这里的核心就是：等效电阻 $R_{in}$ 的计算

1. 先将内部独立源置零（电压源短路、电流源开路）
2. 分是否含有受控源
   • 不含受控源：将剩下的电阻等效变换即可
   • 含有受控源
     • 外加电源 $R_{in}={\displaystyle \frac{U_S}{I}}$ 或 $R_{in}={\displaystyle \frac{U}{I_S}}$
     • 先求 $U_{OC}$、$I_{SC}$，$R_{in}={\displaystyle \frac{U_{OC}}{I_{SC}}}$

例 1

计算电桥中 $R_x$ 分别等于 $0\mathrm{\Omega }$、$0.8\mathrm{\Omega }$、$1.6\mathrm{\Omega }$ 时，该支路的电流和功率。

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注意到电路中有变动的负载只是 $R_x$，因此可以将其视为一端口网络，将其化为戴维南电路。

先求开路电压。$5\mathrm{A}$ 按电导比 $3:2$ 分给两支路，取左侧为参考点，到两端子处电势分别降落 $3\mathrm{V}$ 和 $4\mathrm{V}$，得到 $U_{OC}=1\mathrm{V}$。

接下来求等效内阻。将独立源置零，电流源开路，求端口电阻

容易看出是 $2\mathrm{\Omega }$ 和 $3\mathrm{\Omega }$ 并联，有 $R_i={\displaystyle \frac{3\times 2}{3+2}}=1.2\mathrm{\Omega }$。

因此求得等效戴维南电路：

有

$$I=\frac{U_{OC}}{R_i+R_x}=\frac{1}{1.2+R_x},P=I^2{R}_x$$

分别代入得

$$\begin{array}{lll}{R}_x=0\mathrm{\Omega }& I={\displaystyle \frac{6}{5}}\mathrm{A}& P=0\mathrm{W}\\ R_x=0.8\mathrm{\Omega }& I=0.5\mathrm{A}& P=0.2\mathrm{W}\\ R_x=1.6\mathrm{\Omega }& I={\displaystyle \frac{5}{14}}\mathrm{A}& P={\displaystyle \frac{10}{49}}\mathrm{W}\end{array}$$

例 2

如图所示电路，已知 $R=8\mathrm{\Omega }$ 时，$I=1\mathrm{A}$。求 $R$ 为何值时 $I=0.5\mathrm{A}$？

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考虑将 $R$ 以外的部分视为一端口电路：

求等效电阻。将内部独立源置零（电流源开路、电压源短路），并在端口处添加一个电源。只需求出 $U_1$ 和 $I_1$ 的比例关系即可求出等效电阻。

列回路电流方程。取外面的大回路列方程（互阻取的回路是上半部分的小回路）：

$$(6+4)I_1+4\times 3I_1=U_1\Rightarrow 22I_1=U_1$$

得到 $R_i=22\mathrm{\Omega }$。有等效电路：

利用题目条件 $R=8\mathrm{\Omega }$ 时 $I=1\mathrm{A}$，故有 $U_{OC}=(22+8)\times 1=30\mathrm{V}$。

故有 $I^{\prime }={\displaystyle \frac{30}{22+R^{\prime }}}=0.5$，解得 $R^{\prime }=38\mathrm{\Omega }$。