2.2 线性直流电路的求解

支路电流法

支路电流法：以 $b$ 个支路电流为待求量，按 KCL、KVL 列出 $b$ 个独立方程。

TIP

对于含有受控源的电路，先当独立源处理，再将控制量用支路电流表示。

例 1

列支路电流方程，求 $I_{1}, I_{2}, I_{3}$ 。

图中三条支路、两个节点，故可以列出 $2 - 1 = 1$ 个 KCL 方程和 $3 - 1 = 2$ 个 KVL 方程。

\begin{aligned} K C L : & - I_{1} + I_{2} + I_{3} & = 0 \\ K V L : & 8 I_{1} + 6 I_{2} + 3 U_{1} - 24 & = 0 \\ 4 I_{3} + 2 I_{3} + 12 - 3 U_{1} - 6 I_{2} & = 0 \end{aligned}

将控制量用支路电流表示：

U_{1} = 2 I_{3}

联立上面所有方程，解得

I_{1} = \frac{12}{7} A, I_{2} = 2 A, I_{3} = - \frac{2}{7} A

支路电流法存在缺点：待求量太多。在复杂的电路图中，若支路太多，则方程会很繁杂。因此我们引入回路电流法。

由于电流具有连续性，可在每个独立回路中假设一个闭合流通的电流，称为回路电流。

解题步骤：

例如下面这张图中，三个网孔的电流设为 $I_{l 1}, I_{l 2}, I_{l 3}$ ：

则有

\begin{aligned} I_{1} & = I_{l 1} & I_{4} & = I_{l 3} - I_{l 1} \\ I_{2} & = I_{l 2} & I_{5} & = I_{l 1} + I_{l 2} \\ I_{3} & = I_{l 3} & I_{6} & = I_{l 2} + I_{l 3} \end{aligned}

待求量由 6 个变成 3 个。现在列写其回路电流方程：

\begin{aligned} l_{1} & : (R_{1} + R_{4} + R_{5}) I_{l 1} + R_{5} I_{l 2} - R_{4} I_{l 3} = U_{S 1} + U_{S 4} \\ l_{2} & : + R_{5} I_{l 1} + (R_{2} + R_{5} + R_{6}) I_{l 2} + R_{6} I_{l 3} = 0 \\ l_{3} & : - R_{4} I_{l 1} + R_{6} I_{l 2} + (R_{3} + R_{4} + R_{6}) I_{l 3} = - U_{S 3} - U_{S 4} \end{aligned}

即：自阻压降 $+$ 互阻压降 $=$ 电压升。

例 2

列写下方电路图的回路电流方程：

\begin{aligned} (R_{1} + R_{2}) I_{l 1} - R_{2} I_{l 2} & = U_{S 1} - α U_{1} \\ (R_{2} + R_{3}) I_{l 2} - R_{R} I_{l 1} & = α U_{1} - r I_{2} - U_{S 2} \end{aligned}

受控源方程：

\begin{aligned} U_{1} & = - R_{1} I_{l 1} \\ I_{2} & = I_{l 1} - I_{l 2} \end{aligned}

例如，考虑下面这张图：

将 3 作为参考节点，列写 1 和 2 两点的节点电压：

\begin{aligned} n 1 & : \underset{\sum G_{1 k}}{\underset{⏟}{(\frac{1}{R_{1}} + \frac{1}{R_{2}} + \frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{4}})}} U_{n 1} \underset{G_{12}}{\underset{⏟}{- (\frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{4}})}} U_{n 2} = I_{S 1} + \frac{U_{S 2}}{R_{2}} - \frac{U_{S 3}}{R_{3}} \\ n 2 & : \underset{G_{21}}{\underset{⏟}{- (\frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{4}})}} U_{n 1} + \underset{\sum G_{2 k}}{\underset{⏟}{(\frac{1}{R_{3}} + \frac{1}{R_{4}} + \frac{1}{R_{5}})}} U_{n 2} = - I_{S 2} + \frac{U_{S 3}}{R_{3}} \end{aligned}

节点电压法的本质

节点电压法的本质依然是节点电流法。观察量纲，等号左侧的 $G \cdot U$ 都是电流。

列写节点 $k$ 的方程，设参考节点为节点 $0$ （ $U_{0} = 0$ ），将等号左侧的式子重新整理，有

U_{k} \sum_{i, k 相 邻} G_{i k} - \sum_{\begin{matrix} i, k 相 邻 \\ k \neq 0 \end{matrix}} (G_{i k} U_{i}) = \sum_{i, k 相 邻} G_{i k} (U_{k} - U_{i}) = \sum_{i, k 相 邻} I_{k \to i}

即，等号左侧的式子实质上就是该节点与其他节点之间支路的电流，以流出为正。整个等式就是流出电流 = 流入电流。

例 3

求解图中节点 1 与 2 相对于参考点的电位。

\begin{aligned} (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) U_{n 1} - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) U_{n 2} & = - 2 + \frac{6}{2} \\ (1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{2} + \frac{1}{2}) U_{n 2} - (\frac{1}{2} + \frac{1}{2}) U_{n 1} & = - \frac{6}{2} \end{aligned}

解得 $U_{n 1} = - \frac{1}{8}, U_{n 2} = - \frac{5}{4}$ 。