2.1 等效变换

等效的概念

等效：两个电路的端囗外特性（VCR）相同，即两个电路对任何外电路的作用相同。

补充概念：二端网络一一只有两个端子和外部电路相连的网络。

电阻网络的等效

串并联等效

• 串联等效：$R_1+R_2=R_{\mathrm{eq}}$
• 串联等效：$G_1+G_2=G_{\mathrm{eq}}$（即 ${\displaystyle \frac{1}{R_1}}+{\displaystyle \frac{1}{R_2}}={\displaystyle \frac{1}{R_{\mathrm{eq}}}}$）

例 1

求图示电路两端点间的等效电阻。

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假设两个端点间的等效电阻为 $R_x$。由于这一段结构是无限循环，可以取出一截，剩下的等效电阻依然为 $R_x$：

由此可以列出式子：

$$R_x=10+\frac{1}{\frac{1}{7.5}+\frac{1}{R_x}}$$

解得 $R_x=-5\mathrm{\Omega }$（舍去）或 $R_x=15\mathrm{\Omega }$

星角网络等效变换

对称情况下，$R_{12}=R_{23}=R_{31}=R_{\mathrm{\Delta }}$，则角形网络可以等效成星形网络， 且 $R_1=R_2=R_3=R_{\mathrm{Y}}={\displaystyle \frac{1}{3}}{R}_{\mathrm{\Delta }}$。也可以反过来。

牢记角形阻值是星形三倍，不要记反！（三角形大，奔驰小）

三个电阻阻值不同时的公式

考试一般只考对称的星角变换（即三个电阻阻值相同）。这里给出三个电阻阻值不同的公式。

角变星：

$$\begin{array}{rl}{R}_1& =\frac{R_{12}{R}_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\ R_2& =\frac{R_{12}{R}_{23}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\\ R_3& =\frac{R_{23}{R}_{31}}{R_{12}+R_{23}+R_{31}}\end{array}$$$$R_{\mathrm{Y}}=\frac{\mathrm{\Delta }\mathrm{相}\mathrm{邻}\mathrm{电}\mathrm{阻}\mathrm{乘}\mathrm{积}}{\sum R_{\mathrm{\Delta }}}$$

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星变角：

$$\begin{array}{rl}{R}_{12}& =\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_3}\\ R_{23}& =\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_1}\\ R_{31}& =\frac{R_1{R}_2+R_2{R}_3+R_3{R}_1}{R_2}\end{array}$$

即

$$G_{\mathrm{\Delta }}=\frac{\mathrm{Y}\mathrm{相}\mathrm{邻}\mathrm{电}\mathrm{导}\mathrm{乘}\mathrm{积}}{\sum G_{\mathrm{Y}}}$$

例 2

求图中等效电阻 $R_{\mathrm{eq}}$。

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注意到图中三个 $6\mathrm{\Omega }$ 的电阻构成角形结构，将其转换为星形结构：

故有

$$R_{\mathrm{eq}}=2+\frac{1}{\frac{1}{2+1}+\frac{1}{2+4}}=4\mathrm{\Omega }$$

含源支路的等效变换

$U_{OC}$ 称为开路电压。

戴维南电路与诺顿电路的等效变换条件：

$$\begin{array}{c}{I}_{SC}=\frac{U_{OC}}{R_i}\\ G_i=\frac{1}{R_i}\end{array}$$

例 3

求该诺顿电路的戴维南等效电路。

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$$U_{OC}=I_{SC}{R}_i=5\times 2=10\mathrm{V}$$

故其等效电路为：

例 4

求该电路中的负载电流 $I$。

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注意到，图中与电流源串联的电阻以及与电压源并联的电阻是无效的，可以直接删去：

在戴维南电路与诺顿电路之间进行转换：

故有 $I={\displaystyle \frac{9}{2+2.5}}=2\mathrm{A}$。

TIP

• 如果有电源并联，则转化为诺顿电路（电流源）
• 如果有电源串联，则转化为戴维南电路（电压源）