3.3 特勒根定理与互易定理

特勒根定理

定理一：功率守恒

对于一个具有 $n$ 个节点、$b$ 条支路的集总参数电路，各支路电压电流取关联，则

$$\sum _{k=1}^b{u}_k{i}_k=0$$

若电压电流取非关联，则

$$\sum _{k=1}^b-u_k{i}_k=0$$

这很好理解。即电路图中所有支路的功率代数和为零，能量守恒。

定理二：拟功率守恒

对于电路 $N$ 和 $\hat{N}$，它们由不同元件组成，但具有相同的拓扑结构，设各个对应支路均取关联，则有

$$\sum _{k=1}^b{u}_k{\hat{i}}_k=0或\sum _{k=1}^b{\hat{u}}_k{i}_k=0$$

例

$N_R$ 为不含独立源的线性电阻网络，已知 $u_1=10V$，$i_1=5A$，$u_2=0$，$i_2=1A$，${\hat{u}}_2=10V$，${\hat{i}}_2=0A$。求 ${\hat{u}}_1$ 和 ${\hat{i}}_1$。

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设电路共有 $b$ 条支路，则有

支路 1	支路 2	支路 3	…	支路 $b$
$(u_1,i_1)$	$(u_2,i_2)$	…	…	$(u_b,i_b)$
$({\hat{u}}_1,{\hat{i}}_1)$	$({\hat{u}}_2,{\hat{i}}_2)$	…	…	$({\hat{u}}_b,{\hat{i}}_b)$
非关联	关联			假设关联

故有方程：

$$\{\begin{array}{l}-u_1{\hat{i}}_1+u_2{\hat{i}}_2+\cdots +u_b{\hat{i}}_b=0\\ -{\hat{u}}_1{i}_1+{\hat{u}}_2{i}_2+\cdots +{\hat{u}}_b{i}_b=0\end{array}$$

又有欧姆定律可得，对于支路 $k=3,4,\cdots ,b$ 都有

$$\{\begin{array}{l}{u}_k=R_k{i}_k\\ {\hat{u}}_k=R_k{\hat{i}}_k\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{u}_b{\hat{i}}_b=R_b{i}_b\cdot {\hat{i}}_b\\ {\hat{u}}_b{i}_b=R_b{\hat{i}}_b\cdot i_b\end{array}\Rightarrow u_b{\hat{i}}_b={\hat{u}}_b{i}_b$$