7.1 正弦电流

正弦电流

• 定义：按正弦规律变化的电流，一般表示为正弦或余弦函数。
• 正弦电流的三要素：振幅（幅值）、角频率、初相位。（可能会考概念）

$$i=I_m\cos (\omega t+{\phi }_i)$$

振幅和有效值

若在一个周期内，电流产生的焦耳热等效于直流电流 $I$

$${\int }_0^T{i}^2(t)R\mathrm{d}r\doteq I^{2}RT$$

则成 $I$ 为该交流电流的有效值。当 $i(t)=I_m\cos (\omega t+{\phi }_i)$ 时，有 $I_m=\sqrt{2}I$。

角频率与频率

• 角频率 $\omega$：单位 $\mathrm{rad}/\mathrm{s}$，即角速度
• 频率 $f$：单位 $\mathrm{Hz}$

关系：$\omega ={\displaystyle \frac{2\pi }{T}}=2\pi f$

初相位与相位

$$i=I_m\cos (\omega t+{\phi }_i)$$

• 相位 $\phi =\omega t+{\phi }_i$
• 初相位 ${\phi }_i$：$t=0$ 时的相位

正弦量的相量表示

WARNING

是相量，不是向量。

重温复数

利用复数表示正弦量。电路理论中通常使用 $\mathrm{j}$ 表示复数单位。

• 直角坐标式：$A=a+\mathrm{j}b$
• 极坐标式：$A=|A|e^{\mathrm{j}\theta }$ 或 $A=|A|\mathrm{\angle }\theta$

故有其中几个量的关系式：

$$\begin{array}{rl}a& =|A|\cos \theta \\ b& =|A|\sin \theta \\ |A|& =\sqrt{a^2+b^2}\\ \theta & =\arctan \frac{b}{a}\end{array}$$

用复数表示正弦量

• 振幅作为复数的模
• 初相位作为复数的幅角

$$i=I_m\cos (\omega t+\phi )⟷I_m{e}^{\mathrm{j}\phi }$$

• 振幅（最大值）相量：${\dot{I}}_m=I_m{e}^{\mathrm{j}\phi }=I_m\mathrm{\angle }\phi$
• 有效值相量：$\dot{I}=I\mathrm{\angle }\phi ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}{\dot{I}}_m$

可是相量是复数，且没有角频率等信息。如何将其与正弦量对应起来？答案是乘以 $e^{\mathrm{j}\omega t}$：

$$I_m{e}^{\mathrm{j}\phi }\cdot e^{\mathrm{j}\omega t}=I_m{e}^{\mathrm{j}(\omega t+\phi )}=I_m\cos (\omega t+\phi )+\mathrm{j}{I}_m\sin (\omega t+\phi )$$

则实部就是对应的正弦量。

例

$$\begin{array}{c}i=4\sqrt{2}\cos (\omega t+{45}^{\circ })\mathrm{A}⟶\dot{I}=4e^{\mathrm{j}{45}^{\circ }}=4\mathrm{\angle }{45}^{\circ }\mathrm{A}\\ \\ u=220\sqrt{2}\cos (\omega t-{30}^{\circ })\mathrm{V}⟶\dot{U}=220e^{-\mathrm{j}{30}^{\circ }}\mathrm{V}=220\mathrm{\angle }-{30}^{\circ }\mathrm{V}\end{array}$$

此外，向量作为复数，可在复平面上用有向线段来表示，即相量图。