1.3 刚体力学基础

刚体

• 不能变形的物体称为刚体，是一种理想模型
• 刚体的运动形式可分解为平动和转动，转动可用 $\theta ,\omega ,\alpha$ 描述
• 大学物理中只研究刚体的定轴转动

转动惯量 $J$

• 刚体绕定轴转动时惯性的量度，由质量对轴的分布决定
• 转动惯量等于各质点质量乘以距离的平方再求和
• 对于质点系，$J=\sum m_i{r}_i^2$；对于连续体，$J=\int r^2\mathrm{d}m$
• 质量分布离轴越远，转动惯量越大。等质量的空心物体比实心物体转动惯量大

常见物体的转动惯量（要求记忆，至少记住前四个）：

形状	转动惯量
圆环，空心圆柱（对中心轴）	$M{R}^2$
圆盘，实心圆柱（对中心轴）	${\displaystyle \frac{1}{2}}M{R}^2$
细杆（对中点）	${\displaystyle \frac{1}{12}}M{L}^2$
细杆（对端点）	${\displaystyle \frac{1}{3}}M{L}^2$
实心球体（对直径）	${\displaystyle \frac{2}{5}}M{R}^2$
空心球壳（对直径）	${\displaystyle \frac{2}{3}}M{R}^2$

平行轴定理：刚体对于任意轴的转动惯量 = 对质心的转动惯量 + 质量乘以两个轴距离的平方。

例 1

四根均匀细杆，质量均为 $m$，长度均为 $l$，构成一个正方形。求它关于过正方形中心、垂直于正方形所在平面的轴的转动惯量。

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绘出图形：

求出一根杆相对于轴的转动惯量再乘四就可以了。考虑采用平行轴定理：

$$J=4[\frac{1}{12}M{L}^2+M{\left(\frac{L}{2}\right)}^2]=\frac{4}{3}M{L}^2$$

转动定律

可视作牛顿第二定律在刚体转动上的推广。

• 力矩 $M$：对于定轴转动，力矩等于力垂直于轴的分量，乘以它到轴的距离，公式为 $M=Fd$
• 转动定律：角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比，$M=J\alpha$（类比 $F=ma$）

例 2

一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量 $J=3.0\mathrm{kg}\cdot {\mathrm{m}}^2$，角速度 ${\omega }_0=6.0\mathrm{rad}/\mathrm{s}$。现对物体加一恒定的制动力矩 $M=-12\mathrm{N}\cdot \mathrm{m}$，当物体的角速度减慢到 $\omega =2.0\mathrm{rad}/\mathrm{s}$ 时，物体已转过了角度 $\mathrm{\Delta }\theta =$ $\underset{―}{}$。

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由转动定律有

$$\alpha =\frac{M}{J}=-4\mathrm{rad}/{\mathrm{s}}^2$$

将高中的 $2as=v_t^2-v_0^2$ 类推过来，有

$$\begin{array}{c}2\alpha \cdot \mathrm{\Delta }\theta ={\omega }^2-{\omega }_0^2\\ \Rightarrow \mathrm{\Delta }\theta =4\mathrm{rad}\end{array}$$

例 3

一长为 $l$，质量为 $m$ 的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为 $m$ 的小球，如图所示。现将杆由水平位置无初转速地释放。则杆刚被释放时的角加速度 ${\alpha }_0=$ $\underset{―}{}$，杆与水平方向夹角为 $60\mathrm{°}$ 时的角加速度 $\alpha =$ $\underset{―}{}$。

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先计算杆和球整体的转动惯量。小球视为质点。

$$J=\frac{1}{3}m{l}^2+m{l}^2=\frac{4}{3}m{l}^2$$

刚释放时，进行受力分析：

$$\begin{array}{c}{M}_1=mg\cdot \frac{l}{2}+mgl=\frac{3}{2}mgl\\ \Rightarrow {\alpha }_0=\frac{M_1}{J}=\frac{9g}{8l}\end{array}$$

杆与水平方向夹角为 $60\mathrm{°}$ 时，进行受力分析：

$$\begin{array}{c}{M}_2=mg\cdot \frac{l}{4}+mg\cdot \frac{l}{2}=\frac{3}{4}mgl\\ \Rightarrow {\alpha }_0=\frac{M_2}{J}=\frac{9g}{16l}\end{array}$$

例 4

质量分别为 $m$ 和 $2m$、半径分别为 $r$ 和 $2r$ 的两个均匀圆盘，同轴地固定在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为 $m$ 的重物，求盘的角加速度的大小。

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大小圆盘整体可以视作刚体，其转动惯量为：

$$J=\frac{1}{2}m{r}^2+\frac{1}{2}\cdot 2m\cdot (2r{)}^2=\frac{9}{2}m{r}^2$$

进行受力分析：

圆盘受到的合力矩为（圆盘的重力过轴，不考虑）：

$$M=2r\cdot T_1-r\cdot T_2=J\cdot \alpha$$

对于两个物块有：

$$\begin{array}{c}mg-T_1=m{a}_1\\ T_2-mg=m{a}_2\end{array}$$

又有

$$\begin{array}{c}{a}_1=2\alpha r\\ a_2=\alpha r\end{array}$$

解得 $\alpha ={\displaystyle \frac{2g}{19r}}$。

刚体的角动量

• 刚体定轴转动的角动量：$L=J\omega$

• 角动量定理：外力矩对时间的积累等于角动量的变化

  $${\int }_{t_1}^{t_2}{M}_{\mathrm{外}}\mathrm{d}t=\mathrm{\Delta }L=J{\omega }_2-J{\omega }_1$$

• 若刚体绕光滑轴旋转，无其他外力，则角动量守恒。

例 5

质量为 $m$ 的小孩站在半径为 $R$ 的水平平台边缘。平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为 $J$。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然以相对于地面为 $v$ 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度为 $\underset{―}{}$。

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符合角动量守恒的条件。有：

$$\begin{array}{c}0=J\omega +mvR\\ \Rightarrow \omega =-\frac{mvR}{J}\end{array}$$

故相对地面旋转的角速度为 ${\displaystyle \frac{mvR}{J}}$，顺时针。

例 6

一静止均匀细棒长为 $L$、质量为 $M$，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴 $O$ 在水平面内转动。一质量为 $m$、速率为 $v$ 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为 $0.5v$，则此时棒的角速度为 $\underset{―}{}$。

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考虑对棒和子弹组成的系统应用角动量守恒。

$$\begin{array}{c}0+mvL=\frac{1}{3}M{L}^2\cdot \omega +m\frac{v}{2}L\\ \Rightarrow \omega =\frac{3mv}{2ML}\end{array}$$

刚体的动能

• 力矩做功：$W={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}M\mathrm{d}\theta$
• 刚体的动能：若刚体只做定轴转动，则刚体的转动动能为 $E_k={\displaystyle \frac{1}{2}}J{\omega }^2$
• 刚体的动能定理：$W=\mathrm{\Delta }{E}_k=E_{k2}-E_{k1}$
• 刚体的重力势能：$E_p=mg{h}_c$，其中 $h_c$ 是质心的高度
• 机械能守恒定律：若只有保守内力做功，则系统的机械能守恒

刚体与质点的对比：

	质点	刚体
运动方程	$F=ma$	$M=J\alpha$
(角) 动量	$p=mv$	$L=J\omega$
(角) 动量定理	${\displaystyle \int F\mathrm{d}t=\mathrm{\Delta }p}$	${\displaystyle \int M\mathrm{d}t=\mathrm{\Delta }L}$
动能	$E_k={\displaystyle \frac{1}{2}}m{v}^2$	$E_k={\displaystyle \frac{1}{2}}J{\omega }^2$
力 (矩) 做功	${\displaystyle W=\int F\mathrm{d}x}$	${\displaystyle W=\int M\mathrm{d}\theta }$

例 7

均匀细杆长为 $L$，质量为 $6m$，被光滑水平轴 $O$ 固定在天花板上。一个质量为 $m$ 的子弹以速度 $v$ 射入细杆自由端，并留在细杆内。求：

1. 碰撞后瞬间，细杆的角速度；
2. 细杆能摆动最大角度的余弦值。

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碰撞瞬间采用角动量守恒：

$$\begin{array}{c}mvL+0=m{L}^2\omega +\frac{1}{3}6m{L}^2\omega \\ \Rightarrow \omega =\frac{v}{3L}\end{array}$$

直接计算杆和子弹整体的质心与 $O$ 的距离：

$$R=\frac{\frac{1}{2}L\cdot 6m+L\cdot m}{6m+m}=\frac{4}{7}L$$

杆和子弹整体的转动惯量

$$J=\frac{1}{3}\cdot 6m{L}^2+m{L}^2=3m{L}^2$$

从开始摆动到最高点，质心上升的高度 $\mathrm{\Delta }h=(1-\cos \theta )R$，根据动能定理，有

$$\begin{array}{rl}\frac{1}{2}J{\omega }^2& =(6m+m)g\mathrm{\Delta }h\\ \frac{1}{2}\cdot 3m{L}^2{\left(\frac{v}{3L}\right)}^2& =7mg(1-\cos \theta )\frac{4}{7}L\\ \cos \theta & =1-\frac{v^2}{24gL}\end{array}$$

例 8

质量分别为 $m$，$2m$ 的物块 A、B 通过细线相连，绕在可自由旋转的滑轮上。滑轮的质量为 $3m$，是半径为 $R$ 的均匀圆盘。滑块 A 放在光滑水平桌面上。求：

1. 物块 B 下落的加速度；
2. 当物块 B 下落高度为 $h$ 时的速度大小。

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第一问采用牛二和转动定理。

对于两个物块：

$$\begin{array}{rl}2mg-T_2& =ma\\ T_1& =ma\end{array}$$

对于圆盘：

$$T_{2}R-T_{1}R=\frac{1}{2}3m{R}^2\cdot \alpha$$

角量与线量的关系：

$$a=\alpha R$$

联立解得 $a={\displaystyle \frac{4}{9}}g$。

第二问考虑机械能守恒。

物块 B 的重力势能转化为 A, B 和圆盘的动能。设 B 下落 $h$ 时速度为 $v$，有

$$\begin{array}{rl}{E}_{kA}& =\frac{1}{2}m{v}^2\\ E_{kB}& =\frac{1}{2}(2m)v^2=m{v}^2\\ E_{k\mathrm{盘}}& =\frac{1}{2}J{\omega }^2=\frac{1}{2}\cdot \frac{1}{2}(3m)R^2{\left(\frac{v}{R}\right)}^2=\frac{3}{4}m{v}^2\end{array}$$

故有

$$2mgh=\sum E_k=(\frac{1}{2}+1+\frac{3}{4})m{v}^2$$

解得 ${\displaystyle v=\frac{2\sqrt{2gh}}{3}}$。