1.3 刚体力学基础

刚体

不能变形的物体称为刚体，是一种理想模型
刚体的运动形式可分解为平动和转动，转动可用 $θ, ω, α$ 描述
大学物理中只研究刚体的定轴转动

转动惯量 $J$

刚体绕定轴转动时惯性的量度，由质量对轴的分布决定
转动惯量等于各质点质量乘以距离的平方再求和
对于质点系， $J = \sum m_{i} r_{i}^{2}$ ；对于连续体， $J = \int r^{2} d m$
质量分布离轴越远，转动惯量越大。等质量的空心物体比实心物体转动惯量大

常见物体的转动惯量（要求记忆，至少记住前四个）：

形状	转动惯量
圆环，空心圆柱（对中心轴）	$M R^{2}$
圆盘，实心圆柱（对中心轴）	$\frac{1}{2} M R^{2}$
细杆（对中点）	$\frac{1}{12} M L^{2}$
细杆（对端点）	$\frac{1}{3} M L^{2}$
实心球体（对直径）	$\frac{2}{5} M R^{2}$
空心球壳（对直径）	$\frac{2}{3} M R^{2}$

平行轴定理：刚体对于任意轴的转动惯量 = 对质心的转动惯量 + 质量乘以两个轴距离的平方。

例 1

四根均匀细杆，质量均为 $m$ ，长度均为 $l$ ，构成一个正方形。求它关于过正方形中心、垂直于正方形所在平面的轴的转动惯量。

绘出图形：

求出一根杆相对于轴的转动惯量再乘四就可以了。考虑采用平行轴定理：

J = 4 [\frac{1}{12} M L^{2} + M (\frac{L}{2})^{2}] = \frac{4}{3} M L^{2}

转动定律

可视作牛顿第二定律在刚体转动上的推广。

力矩 $M$ ：对于定轴转动，力矩等于力垂直于轴的分量，乘以它到轴的距离，公式为 $M = F d$
转动定律：角加速度与合外力矩成正比，与转动惯量成反比， $M = J α$ （类比 $F = ma$ ）

例 2

一作定轴转动的物体，对转轴的转动惯量 $J = 3.0 kg\cdot m^{2}$ ，角速度 $ω_{0} = 6.0 rad/s$ 。现对物体加一恒定的制动力矩 $M = - 12 N\cdotm$ ，当物体的角速度减慢到 $ω = 2.0 rad/s$ 时，物体已转过了角度 $Δ θ =$ 。

由转动定律有

α = \frac{M}{J} = - 4 rad/ s^{2}

将高中的 $2 a s = v_{t}^{2} - v_{0}^{2}$ 类推过来，有

2 α \cdot Δ θ = ω^{2} - ω_{0}^{2} \Rightarrow Δ θ = 4 rad

例 3

一长为 $l$ ，质量为 $m$ 的直杆，可绕通过其一端的水平光滑轴在竖直平面内作定轴转动，在杆的另一端固定着一质量为 $m$ 的小球，如图所示。现将杆由水平位置无初转速地释放。则杆刚被释放时的角加速度 $α_{0} =$ ，杆与水平方向夹角为 $6 0^{\circ}$ 时的角加速度 $α =$ 。

先计算杆和球整体的转动惯量。小球视为质点。

J = \frac{1}{3} m l^{2} + m l^{2} = \frac{4}{3} m l^{2}

刚释放时，进行受力分析：

M_{1} = m g \cdot \frac{l}{2} + m g l = \frac{3}{2} m g l \Rightarrow α_{0} = \frac{M _{1}}{J} = \frac{9 g}{8 l}

杆与水平方向夹角为 $6 0^{\circ}$ 时，进行受力分析：

M_{2} = m g \cdot \frac{l}{4} + m g \cdot \frac{l}{2} = \frac{3}{4} m g l \Rightarrow α_{0} = \frac{M _{2}}{J} = \frac{9 g}{16 l}

例 4

质量分别为 $m$ 和 $2 m$ 、半径分别为 $r$ 和 $2 r$ 的两个均匀圆盘，同轴地固定在一起，可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动，大小圆盘边缘都绕有绳子，绳子下端都挂一质量为 $m$ 的重物，求盘的角加速度的大小。

大小圆盘整体可以视作刚体，其转动惯量为：

J = \frac{1}{2} m r^{2} + \frac{1}{2} \cdot 2 m \cdot (2 r)^{2} = \frac{9}{2} m r^{2}

进行受力分析：

圆盘受到的合力矩为（圆盘的重力过轴，不考虑）：

M = 2 r \cdot T_{1} - r \cdot T_{2} = J \cdot α

对于两个物块有：

m g - T_{1} = m a_{1} T_{2} - m g = m a_{2}

又有

a_{1} = 2 α r a_{2} = α r

解得 $α = \frac{2 g}{19 r}$ 。

刚体的角动量

刚体定轴转动的角动量： $L = J ω$
角动量定理：外力矩对时间的积累等于角动量的变化
$\int_{t_{1}}^{t_{2}} M_{外} d t = Δ L = J ω_{2} - J ω_{1}$
若刚体绕光滑轴旋转，无其他外力，则角动量守恒。

例 5

质量为 $m$ 的小孩站在半径为 $R$ 的水平平台边缘。平台可以绕通过其中心的竖直光滑固定轴自由转动，转动惯量为 $J$ 。平台和小孩开始时均静止。当小孩突然以相对于地面为 $v$ 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时，则此平台相对地面旋转的角速度为。

符合角动量守恒的条件。有：

0 = J ω + m v R \Rightarrow ω = - \frac{m v R}{J}

故相对地面旋转的角速度为 $\frac{m v R}{J}$ ，顺时针。

例 6

一静止均匀细棒长为 $L$ 、质量为 $M$ ，可绕通过棒的端点且垂直于棒长的光滑固定轴 $O$ 在水平面内转动。一质量为 $m$ 、速率为 $v$ 的子弹在水平面内沿与棒垂直的方向射入并穿出棒的自由端，设穿过棒后子弹的速率为 $0.5 v$ ，则此时棒的角速度为。

考虑对棒和子弹组成的系统应用角动量守恒。

0 + m v L = \frac{1}{3} M L^{2} \cdot ω + m \frac{v}{2} L \Rightarrow ω = \frac{3 m v}{2 M L}

刚体的动能

力矩做功： $W = \int_{θ_{1}}^{θ_{2}} M d θ$
刚体的动能：若刚体只做定轴转动，则刚体的转动动能为 $E_{k} = \frac{1}{2} J ω^{2}$
刚体的动能定理： $W = Δ E_{k} = E_{k 2} - E_{k 1}$
刚体的重力势能： $E_{p} = m g h_{c}$ ，其中 $h_{c}$ 是质心的高度
机械能守恒定律：若只有保守内力做功，则系统的机械能守恒

刚体与质点的对比：

	质点	刚体
运动方程	$F = ma$	$M = J α$
(角) 动量	$p = m v$	$L = J ω$
(角) 动量定理	$\int F d t = Δ p$	$\int M d t = Δ L$
动能	$E_{k} = \frac{1}{2} m v^{2}$	$E_{k} = \frac{1}{2} J ω^{2}$
力 (矩) 做功	$W = \int F d x$	$W = \int M d θ$

例 7

均匀细杆长为 $L$ ，质量为 $6 m$ ，被光滑水平轴 $O$ 固定在天花板上。一个质量为 $m$ 的子弹以速度 $v$ 射入细杆自由端，并留在细杆内。求：

碰撞后瞬间，细杆的角速度；
细杆能摆动最大角度的余弦值。

碰撞瞬间采用角动量守恒：

m v L + 0 = m L^{2} ω + \frac{1}{3} 6 m L^{2} ω \Rightarrow ω = \frac{v}{3 L}

直接计算杆和子弹整体的质心与 $O$ 的距离：

R = \frac{\frac{1}{2} L \cdot 6 m + L \cdot m}{6 m + m} = \frac{4}{7} L

杆和子弹整体的转动惯量

J = \frac{1}{3} \cdot 6 m L^{2} + m L^{2} = 3 m L^{2}

从开始摆动到最高点，质心上升的高度 $Δ h = (1 - cos θ) R$ ，根据动能定理，有

\frac{1}{2} J ω^{2} \frac{1}{2} \cdot 3 m L^{2} (\frac{v}{3 L})^{2} cos θ = (6 m + m) g Δ h = 7 m g (1 - cos θ) \frac{4}{7} L = 1 - \frac{v ^{2}}{24 g L}

例 8

质量分别为 $m$ ， $2 m$ 的物块 A、B 通过细线相连，绕在可自由旋转的滑轮上。滑轮的质量为 $3 m$ ，是半径为 $R$ 的均匀圆盘。滑块 A 放在光滑水平桌面上。求：

物块 B 下落的加速度；
当物块 B 下落高度为 $h$ 时的速度大小。

第一问采用牛二和转动定理。

对于两个物块：

2 m g - T_{2} T_{1} = ma = ma

对于圆盘：

T_{2} R - T_{1} R = \frac{1}{2} 3 m R^{2} \cdot α

角量与线量的关系：

a = α R

联立解得 $a = \frac{4}{9} g$ 。

第二问考虑机械能守恒。

物块 B 的重力势能转化为 A, B 和圆盘的动能。设 B 下落 $h$ 时速度为 $v$ ，有

E_{k A} E_{k B} E_{k 盘} = \frac{1}{2} m v^{2} = \frac{1}{2} (2 m) v^{2} = m v^{2} = \frac{1}{2} J ω^{2} = \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{2} (3 m) R^{2} (\frac{v}{R})^{2} = \frac{3}{4} m v^{2}

故有

2 m g h = \sum E_{k} = (\frac{1}{2} + 1 + \frac{3}{4}) m v^{2}

解得 $v = \frac{2 2 g h}{3}$ 。

1.3 刚体力学基础 ​

刚体 ​

转动惯量 J ​

转动定律 ​

刚体的角动量 ​

刚体的动能 ​

1.3 刚体力学基础

刚体

转动惯量 $J$

转动定律

刚体的角动量

刚体的动能