3.2 相对论质点动力学

核心公式：

m = γ m_{0}

质速曲线（ $γ - β$ 曲线）：

相对论动量： $\vec{p} = m \vec{v} = γ m_{0} \vec{v}$
相对论能量
- 静止能量： $E_{0} = m_{0} c^{2}$ （任何静止的物体都具有能量）
- 总能量： $E = m c^{2}$
- 动能： $E_{k} = m c^{2} - m_{0} c^{2}$

例 1

两个静质量都为 $m_{0}$ 的粒子，其中一个静止，另一个以 $v_{0} = 0.8 c$ 运动，它们对心碰撞以后粘在一起。求碰撞后合成粒子的静止质量。

取两粒子作为一个系统（设没有能量溢出系统），碰撞前后动量、能量均守恒，设碰撞后合成粒子的静止质量为 $M_{0}$ ，运动质量为 $M$ ，运动速度为 $v^{'}$ ，则

\begin{aligned} m v_{0} + 0 & = M v^{'} \\ m c^{2} + m_{0} c^{2} & = M c^{2} \end{aligned}

又有

m = γ m_{0} = \frac{m_{0}}{\sqrt{1 - {0.8}^{2}}} = \frac{5}{3} m_{0}

代入得到 $M = \frac{8}{3} m_{0}$ ， $v^{'} = \frac{5}{8} v_{0} = \frac{1}{2} c$ ，故有

M_{0} = \frac{\frac{5}{3} m_{0}}{\sqrt{1 - (\frac{1}{2})^{2}}} = 2.31 m_{0}

例 2

某粒子的静止质量为 $m_{0}$ ，当其动能等于其静能时，求其质量和动量各等于多少？

\begin{matrix} m_{0} c^{2} = m c^{2} - m_{0} c^{2} \\ \Rightarrow m = γ m_{0} = 2 m_{0} \\ \Rightarrow v = \frac{\sqrt{3}}{2} c \end{matrix}

故有 $p = m v = \sqrt{3} m_{0} c$

例 3

设火箭的静止质量为 $100 t$ ，当它以第二宇宙速度飞行时，其质量增加了多少？

火箭的第二宇宙速度 $v = 11.2 \times 10^{3} m / s$ ，因此 $v ≪ c$ ，所以火箭的动能为

E_{k} = m c^{2} - m_{0} c^{2} = \frac{1}{2} m_{0} v^{2}

故有

\begin{aligned} Δ m & = m - m_{0} = \frac{E_{k}}{c^{2}} \\ = \frac{1}{2} m_{0} \frac{v^{2}}{c^{2}} \\ = \frac{1}{2} \times 100 \times 10^{3} \times \frac{(11.2 \times 10^{3})^{2}}{(3 \times 10^{8})^{2}} \\ = 0.7 \times 10^{- 3} kg \end{aligned}

3.2 相对论质点动力学 ​