3.2 相对论质点动力学

核心公式：

m = γ m_{0}

质速曲线（ $γ - β$ 曲线）：

相对论动量： $p = m v = γ m_{0} v$
相对论能量
- 静止能量： $E_{0} = m_{0} c^{2}$ （任何静止的物体都具有能量）
- 总能量： $E = m c^{2}$
- 动能： $E_{k} = m c^{2} - m_{0} c^{2}$

例 1

两个静质量都为 $m_{0}$ 的粒子，其中一个静止，另一个以 $v_{0} = 0.8 c$ 运动，它们对心碰撞以后粘在一起。求碰撞后合成粒子的静止质量。

取两粒子作为一个系统（设没有能量溢出系统），碰撞前后动量、能量均守恒，设碰撞后合成粒子的静止质量为 $M_{0}$ ，运动质量为 $M$ ，运动速度为 $v^{'}$ ，则

m v_{0} + 0 m c^{2} + m_{0} c^{2} = M v^{'} = M c^{2}

又有

m = γ m_{0} = \frac{m _{0}}{1 - 0. 8 ^{2}} = \frac{5}{3} m_{0}

代入得到 $M = \frac{8}{3} m_{0}$ ， $v^{'} = \frac{5}{8} v_{0} = \frac{1}{2} c$ ，故有

M_{0} = \frac{\frac{5}{3} m _{0}}{1 - ( \frac{1}{2} ) ^{2}} = 2.31 m_{0}

例 2

某粒子的静止质量为 $m_{0}$ ，当其动能等于其静能时，求其质量和动量各等于多少？

m_{0} c^{2} = m c^{2} - m_{0} c^{2} \Rightarrow m = γ m_{0} = 2 m_{0} \Rightarrow v = \frac{3}{2} c

故有 $p = m v = 3 m_{0} c$

例 3

设火箭的静止质量为 $100 t$ ，当它以第二宇宙速度飞行时，其质量增加了多少？

火箭的第二宇宙速度 $v = 11.2 \times 1 0^{3} m/s$ ，因此 $v ≪ c$ ，所以火箭的动能为

E_{k} = m c^{2} - m_{0} c^{2} = \frac{1}{2} m_{0} v^{2}

故有

Δ m = m - m_{0} = \frac{E _{k}}{c ^{2}} = \frac{1}{2} m_{0} \frac{v ^{2}}{c ^{2}} = \frac{1}{2} \times 100 \times 1 0^{3} \times \frac{( 11.2 \times 1 0 ^{3} ) ^{2}}{( 3 \times 1 0 ^{8} ) ^{2}} = 0.7 \times 1 0^{- 3} kg

3.2 相对论质点动力学 ​