4.5 电容器

概念

• 电容器是由导体构成，电荷量等值异号，分布在极板内侧

• 电容公式：$C=\frac{q}{U}$，单位为法拉 $F$

  • 电容大小只与极板大小、形状、相对位置以电介质有关
  • $q$ 代表一侧的电荷量取正， $U$ 代表极板间电压

• 极板间电场强度：$E=\frac{\sigma }{\epsilon }=\frac{U}{d}$

• 极板间电势差：$U=\frac{q}{C}=E\cdot d$

• 极板间相互作用力：$F=\frac{1}{2}E\cdot q$

  • 极板间的 $E$ 由两极板共同贡献，如果看的是其中一个极板的受力就要扣除自己的，因此只有一半

• 电容串并联公式：和电阻相反

  • 串联：$\frac{1}{C_{eq}}=\frac{1}{C_1}+\frac{1}{C_2}$
  • 并联：$C_{eq}=C_1+C_2$

• 对于含介质的电容器，有 $\epsilon ={\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r$

  • $\epsilon$：介电常量（电容率）
  • ${\epsilon }_0$：真空中的介电常量（真空中电容率）
  • ${\epsilon }_r$：某介质的相对介电常量（相对电容率），${\epsilon }_r\ge 1$
  • 相比于真空，含介质的电容器有 $C={\epsilon }_r{C}_0$，$E=\frac{E_0}{{\epsilon }_r}$

常见电容器公式

示意图	名称	真空电容	含介质电容
	平行板电容器	$C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}$	$C=\frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}$
	圆柱形电容器	$C=\frac{2\pi {\epsilon }_{0}l}{\ln R/r}$	$C=\frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}l}{\ln R/r}$
	球形电容器	$C=4\pi {\epsilon }_0\frac{Rr}{R-r}$	$C=4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r\frac{Rr}{R-r}$
	孤立导体电容器	$C=4\pi {\epsilon }_{0}R$	$C=4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}R$

例 1

平行板电容器两板间距为 $d$，极板面积为 $S$，在真空时的电容、自由电荷面密度、电势差、电场强度的大小分别用 $C_0,{\sigma }_0,U_0,E_0$ 表示。

1. 如充电后与电源断开，将 ${\epsilon }_r$ 的均匀介质充满电容器，则 $C,\sigma ,U,E$ 的值为？
2. 与电源保持连接，将 ${\epsilon }_r$ 的均匀介质充满电容器，则 $C,\sigma ,U,E$ 的值为？

---

1. 充电后与电源断开，则电荷量 $Q$ 不变
   • $C={\epsilon }_r{C}_0$
   • $\sigma =\frac{Q}{S}$ 不变，$\sigma ={\sigma }_0$
   • $U=\frac{Q}{C}=\frac{Q}{{\epsilon }_r{C}_0}=\frac{U_0}{{\epsilon }_r}$
   • $E=\frac{U}{d}=\frac{E_0}{{\epsilon }_r}$
2. 与电源保持连接，则电压 $U$ 不变
   • $C={\epsilon }_r{C}_0$
   • 连接电源，$U=U_0$ 不变
   • $\sigma =\frac{Q}{S}=\frac{CU}{S}={\epsilon }_r\frac{C_0{U}_0}{S}={\epsilon }_r{\sigma }_0$
   • $E=\frac{U}{d}=\frac{U_0}{d}=E_0$

例 2

一空气平行板电容器，电容为 $C$ ，两极板间距离为 $d$，充电后，两极板间的相互作用力为 $F$，则两极板间的电势差为 $\underline{}$，极板上的电荷为 $\underline{}$。

---

根据已知，有 $C=\frac{{\epsilon }_{0}S}{d}$，$F=\frac{1}{2}Eq\Rightarrow E=\frac{2F}{q}$

有电势差 $U=\frac{q}{C}=Ed=\frac{2F}{q}d$，故有 $q^2=2FCd$，$q=\sqrt{2FCd}$

故有 $U=\frac{q}{C}=\sqrt{\frac{2Fd}{C}}$