4.5 电容器

概念

• 电容器是由导体构成，电荷量等值异号，分布在极板内侧

• 电容公式：$C={\displaystyle \frac{q}{U}}$，单位为法拉 $\mathrm{F}$

  • 电容大小只与极板大小、形状、相对位置以电介质有关
  • $q$ 代表一侧的电荷量取正， $U$ 代表极板间电压

• 极板间电场强度：$E={\displaystyle \frac{\sigma }{\epsilon }}={\displaystyle \frac{U}{d}}$

• 极板间电势差：$U={\displaystyle \frac{q}{C}}=E\cdot d$

• 极板间相互作用力：$F={\displaystyle \frac{1}{2}}E\cdot q$

  • 极板间的 $E$ 由两极板共同贡献，如果看的是其中一个极板的受力就要扣除自己的，因此只有一半

• 电容串并联公式：和电阻相反

  • 串联：${\displaystyle \frac{1}{C_{eq}}}={\displaystyle \frac{1}{C_1}}+{\displaystyle \frac{1}{C_2}}$
  • 并联：$C_{eq}=C_1+C_2$

• 对于含介质的电容器，有 $\epsilon ={\epsilon }_0\cdot {\epsilon }_r$

  • $\epsilon$：介电常量（电容率）
  • ${\epsilon }_0$：真空中的介电常量（真空中电容率）
  • ${\epsilon }_r$：某介质的相对介电常量（相对电容率），${\epsilon }_r\ge 1$
  • 相比于真空，含介质的电容器有 $C={\epsilon }_r{C}_0$，$E={\displaystyle \frac{E_0}{{\epsilon }_r}}$

常见电容器公式

示意图	名称	真空电容	含介质电容
	平行板电容器	$C={\displaystyle \frac{{\epsilon }_{0}S}{d}}$	$C={\displaystyle \frac{{\epsilon }_0{\epsilon }_{r}S}{d}}$
	圆柱形电容器	$C={\displaystyle \frac{2\pi {\epsilon }_{0}l}{\ln R/r}}$	$C={\displaystyle \frac{2\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}l}{\ln R/r}}$
	球形电容器	$C=4\pi {\epsilon }_0{\displaystyle \frac{Rr}{R-r}}$	$C=4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_r{\displaystyle \frac{Rr}{R-r}}$
	孤立导体电容器	$C=4\pi {\epsilon }_{0}R$	$C=4\pi {\epsilon }_0{\epsilon }_{r}R$

例 1

平行板电容器两板间距为 $d$，极板面积为 $S$，在真空时的电容、自由电荷面密度、电势差、电场强度的大小分别用 $C_0,{\sigma }_0,U_0,E_0$ 表示。

1. 如充电后与电源断开，将 ${\epsilon }_r$ 的均匀介质充满电容器，则 $C,\sigma ,U,E$ 的值为？
2. 与电源保持连接，将 ${\epsilon }_r$ 的均匀介质充满电容器，则 $C,\sigma ,U,E$ 的值为？

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1. 充电后与电源断开，则电荷量 $Q$ 不变
   • $C={\epsilon }_r{C}_0$
   • $\sigma ={\displaystyle \frac{Q}{S}}$ 不变，$\sigma ={\sigma }_0$
   • $U={\displaystyle \frac{Q}{C}}={\displaystyle \frac{Q}{{\epsilon }_r{C}_0}}={\displaystyle \frac{U_0}{{\epsilon }_r}}$
   • $E={\displaystyle \frac{U}{d}}={\displaystyle \frac{E_0}{{\epsilon }_r}}$
2. 与电源保持连接，则电压 $U$ 不变
   • $C={\epsilon }_r{C}_0$
   • 连接电源，$U=U_0$ 不变
   • $\sigma ={\displaystyle \frac{Q}{S}}={\displaystyle \frac{CU}{S}}={\epsilon }_r{\displaystyle \frac{C_0{U}_0}{S}}={\epsilon }_r{\sigma }_0$
   • $E={\displaystyle \frac{U}{d}}={\displaystyle \frac{U_0}{d}}=E_0$

例 2

一空气平行板电容器，电容为 $C$ ，两极板间距离为 $d$，充电后，两极板间的相互作用力为 $F$，则两极板间的电势差为 $\underset{―}{}$，极板上的电荷为 $\underset{―}{}$。

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根据已知，有 $C={\displaystyle \frac{{\epsilon }_{0}S}{d}}$，$F={\displaystyle \frac{1}{2}}Eq\Rightarrow E={\displaystyle \frac{2F}{q}}$

有电势差 $U={\displaystyle \frac{q}{C}}=Ed={\displaystyle \frac{2F}{q}}d$，故有 $q^2=2FCd$，$q=\sqrt{2FCd}$

故有 $U={\displaystyle \frac{q}{C}}=\sqrt{{\displaystyle \frac{2Fd}{C}}}$