1.4 机械振动与机械波

简谐运动的描述

运动学方程

$$x=A\cos (\omega t+\phi )$$

写成正弦或余弦都可以，根据自己的教材处理。

求导可得：

$$\begin{array}{c}v=-\omega A\sin (\omega t+\phi )\\ a=-{\omega }^{2}A\cos (\omega t+\phi )=-{\omega }^{2}x\end{array}$$

例 1

简谐振动的表达式为 $x=A\cos (3t+\phi )$ (SI)，已知 $t=0$ 时的位移为 $0.04m$，速度为 $0.09m/s$，求振幅和初相。

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代入公式有

$$\begin{array}{c}0.04=A\cos \phi \\ 0.09=-3A\sin \phi \end{array}$$

解得 $\tan \phi =-\frac{3}{4}$，$\phi =-37^{\circ }$

旋转矢量法

即运动学方程的几何描述。

长度为 $A$ 的矢量在圆上逆时针旋转，在 $x$ 轴上的投影就是位移。

例 2

质点做简谐振动，振幅为 $A=4$，周期 $T=2$。质点在 $t=0$ 时刻第一次通过 $x=-2$，且速度为正方向。求质点再次通过 $x=-2$ 处的时间。

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第一次速度为正方向，故第一次应该是下面那个。因此实际旋转过程是右边那一半。

由左边的两个 $2:\sqrt{3}:1$ 的直角三角形可以看出，转动的角度是 $\frac{3}{4}\pi$，即 $\frac{2}{3}$ 个圆，因此所用的时间为 $\frac{2}{3}\times 2=\frac{4}{3}$。

简谐运动的特征量

• 圆频率 $\omega$，周期 $T=\frac{2\pi }{\omega }$，频率 $\nu =\frac{1}{T}$

  弹簧振子 $T=2\pi \sqrt{\frac{m}{k}}$；单摆 $T=2\pi \sqrt{\frac{l}{g}}$

• 振幅 $A=\sqrt{x_0^2+{\left(\frac{v_0}{\omega }\right)}^2}$

• 初相位 $\phi =\arctan \left(-\frac{v_0}{\omega x_0}\right)$

例 3

写出下列简谐振动的运动学方程。

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从图中可以看出，$A=10\mathrm{cm}$，$T=12s$，故有 $\omega =\frac{2\pi }{T}=\frac{\pi }{6}$。

图像相当于余弦曲线向左平移 $\frac{\pi }{3}$，因此运动学方程为

$$x=10\cos \left(\frac{\pi }{6}t+\frac{\pi }{3}\right)(\mathrm{cm})$$

简谐振动的判断依据

• 回复力与位移成正比，且指向平衡位置：$F=-kx$
• 振动方程可化为 $m\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}=-kx$ 或 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$
• 对于单摆，可对悬点取转动定律，$-gml\theta =m{l}^2\frac{{\mathrm{d}}^2\theta }{\mathrm{d}{t}^2}$

例 4

如图所示，横截面均匀的光滑 U 形管中有适量液体，液体的总长度为 $L$，忽略摩擦和液体黏性 求液面上下微小起伏（$y\ll L$）的自振周期。

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目标就是把 $F=-kx$ 写出来。我们以下图红色部分作为研究对象。

设管道横截面为 $S$，那么绿色部分对红色部分产生的压力为 $\rho g(2y)S$。红色部分的长度为 $L-2y$，质量为 $\rho (L-2y)S$，所以我们可以写出：

$$-2\rho gyS=(L-2y)\rho S\cdot \frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}$$

故有

$$\frac{{\mathrm{d}}^{2}y}{\mathrm{d}{t}^2}+\frac{2gy}{L}=0$$

和 $\frac{{\mathrm{d}}^{2}x}{\mathrm{d}{t}^2}+{\omega }^{2}x=0$ 对照，就有

$$\begin{array}{c}\omega =\sqrt{\frac{2g}{L}}\\ T=\frac{2\pi }{\omega }=2\pi \sqrt{\frac{L}{2g}}\end{array}$$

简谐振动的能量与合成

简谐振动的能量

• 动能

  $$E_k=\frac{1}{2}m{v}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\sin }^2(\omega t+\phi )$$

• 势能

  $$E_p=\frac{1}{2}k{x}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2{\cos }^2(\omega t+\phi )$$

• 总能量

  $$E=E_k+E_p=\frac{1}{4}k{A}^2=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2$$

• 在一个周期内，动能和势能的平均值各占一半。

例 5

在弹簧振子中，物体质量为 $0.01\mathrm{kg}$，简谐振动的运动学方程为 $x=0.1\cos \left(8\pi t+\frac{2\pi }{3}\right)$

1. 求通过平衡位置时的动能和势能
2. 在什么位置上动能与势能相等

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1.

通过平衡位置时的势能为一定为 $0$。故有

$$E_k=E=\frac{1}{2}m{\omega }^2{A}^2=3.16\times 10^{-2}J$$

2.

$$\begin{array}{c}\sin \left(8\pi t+\frac{2\pi }{3}\right)=\cos \left(8\pi t+\frac{2\pi }{3}\right)\\ \Rightarrow \cos \left(8\pi t+\frac{2\pi }{3}\right)=\pm \frac{\sqrt{2}}{2}\\ \Rightarrow x=\pm \frac{\sqrt{2}}{20}m\end{array}$$

简谐振动的合成

只研究同方向、同频率的简谐振动合成。

• $x_1=A_1\cos (\omega t+{\phi }_1)$ 与 $x_2=A_2\cos (\omega t+{\phi }_2)$ 的合成仍是同频率简谐振动
• 特例：同相时 $A=A_1+A_2$，反相时 $A=|A_1-A_2|$

使用旋转矢量法求解振动合成：绘出 $t=0$ 时的分振动的矢量，利用矢量合成得到合振动的矢量。

例 6

两个同方向、同频率简谐振动的方程分别为 $x_1=5\cos \left(5t+\frac{1}{4}\pi \right)$，$x_2=5\cos \left(5t+\frac{3}{4}\pi \right)$，则合振动的振动方程为 $\underline{}$。

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故合振动为：

$$5\sqrt{2}\cos \left(5t+\frac{1}{2}\pi \right)$$

机械波的形成与传播

波的相关概念

• 机械波产生的条件

  • 有做机械振动的物体（波源）
  • 有连续的介质

• 横波和纵波

  • 横波：振动方向与传播方向垂直
  • 纵波：振动方向与传播方向平行

• 机械波的传播

  • 机械波是上游质元带动下游质元振动，下游的相位比上游更晚
  • 波动是振动状态的传播，而不是介质的传播

• 波的几何描述

  • 波线：表示波传播方向的射线
  • 波面：振动相位相同的点组成的面
  • 波阵面（波前）：某时刻波到达的各点所构成的面

波的特征量

• 波速 $u$：振动状态的传播速度，不是质元运动速度
• 周期 $T$：一个完整波通过波线上某点所需时间
  • 频率 $\nu =\frac{1}{T}$
  • 角频率 $\omega =2\pi \nu$
• 波长 $\lambda$：波线上相邻的振动状态相同的两质元间的距离，波每传播 $\lambda$，相位就落后 $2\pi$

例 7

平面简谐波波速为 $6.0m/s$，振动周期为 $0.1s$，则波长为 $\underline{}$。在波的传播方向上，有两质点（其间距离小于波长）的振动相位差为 $\frac{5\pi }{6}$，则此两质点相距 $\underline{}$。

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$$\begin{array}{c}\lambda =uT=0.6m\\ \Delta s=\Delta \theta \cdot \frac{\lambda }{2\pi }=\frac{5\lambda }{12}=0.25m\end{array}$$

简谐波

波函数的概念

描述任意时间 $t$、任意位置 $x$ 处质点的位移 $y$ 的函数 $y=f(t,x)$。

$$\begin{array}{c}y=A\cos \left[\omega \left(t\mp \frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]\\ 或y=A\cos \left(\omega t\mp \frac{2\pi }{\lambda }x+{\phi }_0\right)\end{array}$$

其中，正向传播取负号，负向传播取正号。

例 8

已知一平面简谐波的表达式为 $y=A\cos \pi (4t+2x)$ (SI)。

1. 求该波的波长，频率和波速
2. 求 $t=4.2s$ 时刻，离坐标原点最近波峰位置
3. 求 $t=4.2s$ 时刻后，第一次有波峰通过原点的时间

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1.

$$\begin{array}{rl}& \omega =4\pi ,T=0.5s,f=2\mathrm{Hz}\\ & \lambda =1m\\ & u=\frac{\lambda }{T}=2m/s\end{array}$$

2.

$$y=A\cos (16.8\pi +2\pi x)=A\cos (0.8\pi +2\pi x)$$

令 $0.8\pi +2\pi x=2k\pi$，得 $x=k-0.4$，故距离原点最近的为 $x=-0.4m$。

3.

取 $k=1$，则 $x^{\prime }=0.6m$，此即 $4.2s$ 时原点右侧最近的波峰，传到原点耗时 $t=\frac{x^{\prime }}{u}=0.3s$。

波函数的求法

• 先写出任意一点（假设坐标为 $d$）的振动方程 $y=A\cos (\omega t+{\phi }_0)$

• 波每传播 $\lambda$，相位落后 $2\pi$，所以有波函数 $y=A\cos \left[\omega t+{\phi }_0\mp \frac{2\pi }{\lambda }(x-d)\right]$。

  其中，正向传播取负号，负向传播取正号。

例 9

一沿 $x$ 轴负向传播的平面简谐波在 $t=2s$ 时的波形曲线如右图所示，求波动方程。

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可以看出振幅 $A=0.5m$，波长 $\lambda =4m$，题目给出波速 $u=1m/s$，故有 $T=\frac{\lambda }{u}=4s$。据此可以写出 $x=0$ 处的运动学方程

$$y=0.5\cos \left(\frac{2\pi }{T}t+\phi \right)=0.5\cos \left(\frac{\pi }{2}t+\phi \right)$$

取 $t=2$，$y=0.5\cos (\pi +\phi )$。由于此时 $x=0$ 处有 $y=0$，且运动方向向上，因此可以画出旋转矢量图：

可以得到 $\pi +\phi =\frac{3}{2}\pi +2k\pi$，则 $\phi =\frac{\pi }{2}+2k\pi$。因此有 $x=0$ 处的运动学方程

$$y=0.5\cos \left(\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi }{2}\right)$$

因此有波动方程

$$\begin{array}{rl}y& =0.5\cos \left[\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi }{2}\mp \frac{2\pi }{\lambda }(x-d)\right]\\ & =0.5\cos \left[\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi }{2}+\frac{\pi }{2}(x-2)\right]\\ & =0.5\cos \left(\frac{\pi }{2}t+\frac{\pi }{2}x+\frac{\pi }{2}\right)\end{array}$$

例 10

一平面简谐波沿 $x$ 轴正向传播，波的振幅 $A=10\mathrm{cm}$，波的角频率 $\omega =7\pi \mathrm{rad}/s$。当 $t=1.0s$ 时，$x=10\mathrm{cm}$ 处的质点 a 正通过其平衡位置向 $y$ 轴负方向运动，而 $x=20\mathrm{cm}$ 处的质点 b 正通过 $y=5.0\mathrm{cm}$ 点向 $y$ 轴正方向运动。设该波波长 $\lambda >10\mathrm{cm}$，求该平面波的表达式。

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尝试写 a 的振动方程：$y=0.1\cos (7\pi t+{\phi }_a)$ (SI)。题中说 $t=1s$ 时 a 正通过平衡位置向 $y$ 轴负方向运动：

因此这时的相位为 $7\pi +{\phi }_a=\frac{\pi }{2}+2k\pi$，${\phi }_a=-\frac{\pi }{2}+2k\pi$，据此写出波函数

$$y=0.1\cos \left[7\pi t-\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{\lambda }(x-0.1)\right]$$

此时令 $t=1,x=0.2$，有 b 的振动方程

$$y=0.1\cos \left(7\pi -\frac{\pi }{2}-\frac{2\pi }{\lambda }\times 0.1\right)$$

由于此时 b 正通过 $y=5.0\mathrm{cm}=\frac{A}{2}$ 向 $y$ 轴正方向运动，画出矢量图：

故有：

$$7\pi -\frac{\pi }{2}-\frac{\pi }{\lambda }\times 0.1=-\frac{\pi }{3}+2k\pi$$

解得 $\lambda =\frac{0.2}{\frac{41}{6}-2k}$，又有 $\lambda >0.1m$，取 $k=3$，得到 $\lambda =0.24m$。代回即可得到波函数。

波的能量

（考得少，记不了就算了）

波的能量密度

• 质元能量密度：

  $$w=\rho {\omega }^2{A}^2{\sin }^2\left[\omega \left(t\mp \frac{x}{u}\right)+{\phi }_0\right]$$

• 注意波动质元的动能与势能相等，各占一半，总能量随时间而变化

• 在平衡位置处，能量密度最大；在最大位移处，能量密度为 $0$

• 一个周期内的平均能量密度：

  $$\bar{w}=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^2$$

波的能流

• 平均能流：单位时间内，通过垂直于波的传播方向面积 $\Delta S$ 的能量

  $$\bar{P}=\frac{1}{2}\Delta S\rho {\omega }^2{A}^{2}u=\bar{w}u\Delta S$$

• 平均能流密度 / 波的强度：单位面积的平均能流

  $$I=\frac{1}{2}\rho {\omega }^2{A}^{2}u=\bar{w}u$$

波的叠加与干涉

波的叠加

• 惠更斯原理：介质中波阵面（波前）上的各点都可以看作发射子波的新波源，其后任一时刻这些子波的包络线就是新的波阵面。

• 波的叠加原理：各列波在相遇前后保持原来的特性不变，相遇处的振动是各列波振动的合成。

波的干涉

• 波叠加时在空间出现稳定的振动加强和减弱的分布叫波的干涉
• 相干条件：
  1. 频率相同
  2. 振动方向相同
  3. 相位差固定
• 两列波的波程差为 $r_2-r_1-\lambda \frac{{\phi }_2-{\phi }_1}{2\pi }$，相位差为 ${\phi }_2-{\phi }_1-2\pi \frac{r_2-r_1}{\lambda }$
• 相位差等于 $\pi$ 的偶数倍时为加强点，奇数倍时为减弱点（注意考虑波源初始的相位差）

例 11

$S_1$ 和 $S_2$ 为两相干波源，它们的振动方向均垂直于图面，发出波长为 $\lambda$ 的简谐波，$P$ 点是两列波相遇区域中的一点，已知 $S_{1}P=2\lambda$，$S_{2}P=2.2\lambda$，两列波在 $P$ 点发生相消干涉。若 $S_1$ 的振动方程为 $y_1=A\cos \left(2\pi t+\frac{1}{2}\pi \right)$，则 $S_2$ 的振动方程为 $y_2=$ $\underline{}$。

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$$\begin{array}{rl}\Delta \phi & ={\phi }_2-{\phi }_1-2\pi \frac{r_2-r_1}{\lambda }\\ & ={\phi }_2-\frac{\pi }{2}-2\pi \frac{0.2\lambda }{\lambda }\\ & ={\phi }_2-0.9\pi =(2k+1)\pi \\ & \\ \Rightarrow {\phi }_2& =-0.1\pi +2k\pi \end{array}$$

故有 $S_2$ 的振动方程

$$y_2=A^{\prime }\cos (2\pi t-0.1\pi )$$