1.2 质点动力学

牛顿运动定律

牛顿三定律和高中没什么区别。

1. 任何物体都保持静止或匀速直线运动的状态，除非作用在它上面的力迫使它改变这种状态
2. $\overrightarrow{F}={\displaystyle \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{p}}{\mathrm{d}t}}$，若质量不变，则 $\overrightarrow{F}=m{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}}=m\overrightarrow{a}$
3. ${\overrightarrow{F}}_{12}={\overrightarrow{F}}_{21}$

例 1

质量为 $m$ 的物体系于长度为 $R$ 的绳子的一个端点上，在竖直平面内绕绳子另一端点（固定）作圆周运动。设 $t$ 时刻物体瞬时速度的大小为 $v$，绳子与竖直向上的方向成 $\theta$ 角。求 $t$ 时刻绳中的张力 $T$ 和物体的切向加速度 $a_t$。

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解：进行受力分析，并把重力分解到切向和法向

则有

$$\begin{array}{c}mg\sin \theta =m{a}_t\\ T+mg\cos \theta =m{a}_n=m\frac{v^2}{R}\end{array}$$

解得

$$\{\begin{array}{rl}& a_t=g\sin \theta \\ & T=m\frac{v^2}{R}-mg\cos \theta \end{array}$$

例 2

质量为 $m$ 的子弹以速度 $v$ 水平射入沙土中，设子弹所受阻力与速度反向，大小为 $f=Kv$（$K$ 为比例系数），忽略子弹的重力，求：

1. 子弹射入沙土后，速度随时间变化的函数式；
2. 子弹进入沙土的最大深度。

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解：

$$m\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-f=-Kv$$

我们需要求解这个微分方程。将 $v$ 移动到等号的一边，剩下的移动到等号的另一边：

$$\frac{\mathrm{d}v}{v}=-\frac{K}{m}\mathrm{d}t$$

左右两边同时积分，然后变形：

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\mathrm{d}v}{v}& =\int -\frac{K}{m}\mathrm{d}t\\ \ln v& =-\frac{K}{m}t+C\\ v& =e^{-\frac{K}{m}t+C}\end{array}$$

又有 $t=0$ 时

$$v_0=e^{0+C}=e^C$$

故有

$$v=e^{-\frac{K}{m}t+C}=v_0\cdot e^{-\frac{K}{m}t}$$

下面求最大深度 $x_{max}$。

$$\begin{array}{rl}x& ={\int }_0^t{v}_0\cdot e^{-\frac{K}{m}t}\\ & ={v_0(-\frac{m}{K}\cdot e^{-\frac{K}{m}t})|}_0^t\\ & =\frac{m{v}_0}{K}(1-e^{-\frac{K}{m}\cdot t})\end{array}$$

故有

$$x_{max}=\underset{t\to \mathrm{\infty }}{lim}x=\frac{m{v}_0}{K}$$

动量

动量定理

• 冲量：$\overrightarrow{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F}\mathrm{d}t$，动量：$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$
• 质点动量定理：$\overrightarrow{I}={\int }_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{F}\mathrm{d}t=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}$ 或 $\overrightarrow{F}\mathrm{d}t=\mathrm{d}\overrightarrow{p}$
  • 想要求平均冲力，则假设 $\overrightarrow{F}$ 不变，有 $\overrightarrow{F}\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}$
• 质点系动量定理：$\overrightarrow{I}={\int }_{t_1}^{t_2}{\overrightarrow{F}}_{\mathrm{外}}\mathrm{d}t=\mathrm{\Delta }\overrightarrow{p}$ 或 ${\overrightarrow{F}}_{\mathrm{外}}\mathrm{d}t=\mathrm{d}\overrightarrow{p}$
  • 注意质点系动量定理与内力无关

例 3

如图所示，沙子从 $h=0.8\mathrm{m}$ 高处下落到以 $3\mathrm{m}/\mathrm{s}$ 的速率水平向右运动的传送带上。则传送带给刚落到传送带上的砂子的作用力的方向为 $\underset{―}{}$。

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作用力方向与 $\mathrm{\Delta }v$ 方向相同。故作用力方向为与水平夹角 $53\mathrm{°}$ 向右上。

例 4

一吊车底板上放一质量为 $10\mathrm{kg}$ 的物体，若吊车底板加速上升，加速度大小为 $a=3+5t$，则 $2\mathrm{s}$ 内物体动量的增量大小为 $\underset{―}{}$，吊车底板给物体的冲量大小为 $\underset{―}{}$。

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$$\begin{array}{rl}\mathrm{\Delta }p& =m\mathrm{\Delta }v\\ & =m{\int }_0^2(3+5t)\mathrm{d}t\\ & ={3t+\frac{5}{2}{t}^2|}_0^2\times 10\\ & =160\mathrm{kg}\cdot \mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

动量变化包含底板给的冲量和重力的冲量，即

$$I-mgt=\mathrm{\Delta }p\Rightarrow I=360\mathrm{N}\cdot \mathrm{s}$$

动量守恒定律

• 质点系所受合外力为零时，总动量不变
  • 动量守恒的条件是质点系的合外力为零
  • 若系统在某个方向上的合外力为零，则在该方向上动量守恒
  • 对于碰撞、爆炸问题，内力远大于外力，可近似认为动量守恒

角动量

• 角速度 $\overrightarrow{\omega }$

  • $\overrightarrow{v}=\overrightarrow{\omega }\times \overrightarrow{r}$
  • 方向使用右手螺旋定则判断

• 角动量 $\overrightarrow{L}$

  • 质点对固定的点 $O$ 的角动量为 $\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}=m\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{v}=m\overrightarrow{\omega }{r}^2$
  • 匀速圆周运动的质点对圆心的角动量是 $L=mvR$

• 力矩 $\overrightarrow{M}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{F}$（杠杆中的力臂）

• 角动量定理：${\int }_{t_1}^{t_2}\overrightarrow{M}\mathrm{d}t=\mathrm{\Delta }L=L_2-L_1$ 或 $\overrightarrow{M}\mathrm{d}t=\mathrm{d}\overrightarrow{L}$

• 角动量守恒定律

  • 若力矩为零，则角动量不变
  • 如果合外力为 $0$，则力矩当然为 $0$，角动量守恒
  • 如果外力始终过定点，则相对于这个点，角动量守恒（行星运动过程中，相对于中心天体，角动量守恒）

	动量	角动量
表达式	$\overrightarrow{p}=m\overrightarrow{v}$	$\overrightarrow{L}=\overrightarrow{r}\times \overrightarrow{p}$
标矢性	矢量	矢量
固定点	与固定点无关	与固定点有关
定理	与内力无关	与内力矩无关
守恒条件	合外力为零	合外力矩为零

例 5

哈雷彗星绕太阳的轨道是以太阳为一个焦点的椭圆。它离太阳最近的距离是 $r_1=8.75\times {10}^{10}\mathrm{m}$，此时它的速率是 $v_1=5.46\times {10}^4\mathrm{m}/\mathrm{s}$。它离太阳最远时的速率是 $v_2=9.08\times {10}^2\mathrm{m}/\mathrm{s}$，这时它离太阳的距离是 $r_2=$ $\underset{―}{}$。

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根据角动量守恒有

$$\cancel{m}{v}_1{r}_1=\cancel{m}{v}_2{r}_2$$

解得 $r_2=5.26\times {10}^{12}\mathrm{m}$。

例 6

将一质量为 $m$ 的小球，系于轻绳的一端，绳的另一端穿过光滑水平桌面上的小孔用手拉住。先使小球以角速度 ${\omega }_1$ 在桌面上做半径为 $r_1$ 的圆周运动，然后缓慢将绳下拉，使半径缩小为 $r_2$，小球的角速度将变为 $\underset{―}{}$。

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绳子拉力始终过圆心，因此相对于圆心有角动量守恒。

$$\begin{array}{rl}\cancel{m}{v}_1{r}_1& =\cancel{m}{v}_2{r}_2\\ {\omega }_1{r}_1^2& ={\omega }_2{r}_2^2\\ {\omega }_2& =\frac{{\omega }_1{r}_1^2}{r_2^2}\end{array}$$

机械能

功

• 功是力和所作用质点位移的数量积 $W={\int }_{(1)}^{(2)}\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}$

• 若为恒力做功，可退化为 $W=\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$

• 若已经分解到各个方向，则

  $$W={\int }_{x_1}^{x_2}{F}_x\mathrm{d}x+{\int }_{y_1}^{y_2}{F}_y\mathrm{d}y+{\int }_{z_1}^{z_2}{F}_z\mathrm{d}z$$

例 7

质点在几个力的作用下，位移为 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=4\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}+6\overrightarrow{k}$。其中一个恒力为 $\overrightarrow{F}=-3\overrightarrow{i}-5\overrightarrow{j}+9\overrightarrow{k}$，则这个力在该位移过程中做的功为 $\underset{―}{}$。

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$$\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=(-3,5,9)\cdot (4,-5,6)=67\mathrm{J}$$

例 8

质点在几个力的作用下，沿着曲线 $\{\begin{array}{l}x=t\\ y=t^2\end{array}$ 运动，其中一个力为 $\overrightarrow{F}=5t\overrightarrow{j}$，则这个力在 $t=1\mathrm{s}$ 到 $t=2\mathrm{s}$ 时间内做的功为 $\underset{―}{}$。

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$$W={\int }_1^{2}5t\mathrm{d}y={\int }_1^{2}5t\cdot 2t\mathrm{d}t={\frac{10}{3}{t}^3|}_1^2=\frac{70}{3}\mathrm{J}$$

保守力与势能

• 保守力：做功与路径无关的力。保守力沿任意闭合路径的做功为零

  • 例如：万有引力、重力、弹力是保守力；摩擦力、爆炸力不是保守力

• 势能：保守力可以定义势能，保守内力做功等于势能的减少

  $$W_{12}=E_{p1}-E_{p2}$$

• 势能与参考系无关，与势能零点有关，一般会默认选择一个势能零点

• 势能函数的导数等于保守力的相反数：$\overrightarrow{F}\cdot \mathrm{d}\overrightarrow{r}=-\mathrm{d}{E}_p$

	表达式	势能函数	默认势能零点
重力	$G=mg$	$E_p=mgh$	地面
弹力	$F=kx$	$E_p={\displaystyle \frac{1}{2}}k{x}^2$	平衡位置
万有引力	$F=G{\displaystyle \frac{Mm}{R^2}}$	$E_p=-G{\displaystyle \frac{Mm}{R}}$	无穷远处

例 9

如图所示，劲度系数为 $k$ 的弹簧，一端固定在墙壁上，另一端连一质量为 $m$ 的物体，物体在坐标原点 $O$ 时弹簧长度为原长。物体与桌面间的摩擦系数为 $\mu$。若物体在不变的外力 $F$ 作用下向右移动，则物体到达最远位置时系统的弹性势能 $E_p=$ $\underset{―}{}$。

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根据动能定理，起始位置与最远位置动能均为 $0$，有

$$\mathrm{\Delta }{E}_k=Fx-\mu mgx-\frac{1}{2}k{x}^2=0$$

解得 $E_p={\displaystyle \frac{2(F-\mu mg{)}^2}{k}}$。

机械能守恒定律

• 功能原理：外力与非保守内力做功，等于系统内能的增量

  $$W_{\mathrm{外}}+W_{\mathrm{内}\mathrm{非}}=E_2-E_1$$

• 机械能守恒定律：只有保守内力做功时，系统的机械能不变

• 三种守恒定律的对比：三种守恒定律是相互独立的，需要分别判断

  • 动量守恒：要求合外力为零，内力没有要求
  • 角动量守恒：要求合外力矩为零，内力没有要求
  • 机械能守恒：要求非保守内力、外力做功为零，对内力有要求

例 10

子弹水平射入一端固定在弹簧上、质量为 $M$ 的木块内，弹簧劲度系数为 $k$。若测得弹簧压缩最大值为 $x$，木块与水平面间的动摩擦因数为 $\mu$，子弹质量为 $m$，求子弹射入的速度大小。

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子弹打入瞬间有动量守恒：

$$m{v}_0=(M+m)v$$

打入后直到压缩到 $x$ 有动能定理：

$$0-\frac{1}{2}(M+m)v^2=-\mu (M+m)gx-\frac{1}{2}k{x}^2$$

解得

$$v=\sqrt{2\mu gx+\frac{k{x}^2}{M+m}}$$

故有

$$v_0=\frac{M+m}{m}\sqrt{2\mu gx+\frac{k{x}^2}{M+m}}$$

流体

流体静力学

• 流体静压 $p=p_0+\rho gh$，液面下深度相同的点压强相等
• 帕斯卡定律：施加于密闭容器内流体的压强将大小不变地传递到流体的各个部分及容器的器壁
• 浮力定律 $F=\rho V_{\mathrm{排}}g$

WARNING

静压强 $p$ 的计算中，到底要不要加上大气压 $p_0$，要看题目要求。

例 11

有一矩形底孔闸门，高 $h=3\mathrm{m}$，宽 $b=2\mathrm{m}$，上游水深 $h_1=6\mathrm{m}$，下游水深 $h_2=5\mathrm{m}$。水的密 度为 $1.0\times {10}^3\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$，求两侧水作用于闸门上的静压力大小。

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$$\begin{array}{rl}{F}_{\mathrm{左}}& ={\int }_{h_1-h}^{h_1}\rho gh\cdot b\mathrm{d}h=2.7\times {10}^5\mathrm{N}\\ F_{\mathrm{右}}& ={\int }_{h_2-h}^{h_2}\rho gh\cdot b\mathrm{d}h=2.1\times {10}^5\mathrm{N}\end{array}$$

流体动力学

• 不可压缩流体的连续性方程

  • 定常流（稳定流动）：流体的速度仅与位置有关，与时间无关
  • 流线：曲线上每一点切线方向与该点流体速度方向一致
  • 连续性方程：$v_1{S}_1=v_2{S}_2=Q$，其中 $S$ 是截面面积，$Q$ 称为流量

• 伯努利方程

  • 若理想流体在重力作用下做定常流，有

    $$\underset{\mathrm{动}\mathrm{能}}{\underbrace{\frac{1}{2}\rho v^2}}+\underset{\mathrm{势}\mathrm{能}}{\underbrace{\rho gh}}+\underset{\mathrm{压}\mathrm{强}}{\underbrace{p}}=\mathrm{常}\mathrm{量}$$

  • 该常熟的意义是单位体积流体所具有的能量。

例 12

水在平管中做定常流，流量为 $4\times {10}^3{\mathrm{cm}}^3/\mathrm{s}$，粗处截面积为 $40{\mathrm{cm}}^2$，细处截面积为 $10{\mathrm{cm}}^2$。求水在两处的流速和压强差。

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由 $v_1{S}_1=v_2{S}_2=Q$ 解得 $v_1=1\mathrm{m}/\mathrm{s}$，$v_2=4\mathrm{m}/\mathrm{s}$。

由于在平管中流动，$h$ 不变。根据伯努利方程有

$$\begin{array}{c}\frac{1}{2}\rho v_1^2+\cancel{\rho gh}+p_1=\frac{1}{2}\rho v_2^2+\cancel{\rho gh}+p_2\\ \Rightarrow p_2-p_1=\frac{1}{2}\rho (v_1^2-v_2^2)=7.5\mathrm{kPa}\end{array}$$

例 13

油的密度为 $0.9\times {10}^3\mathrm{kg}/{\mathrm{m}}^3$，在粗细均匀管道中，A 处比 B 处高 $5\mathrm{m}$，压强低 $1.2\mathrm{kPa}$，求 $5.0{\mathrm{m}}^3$ 的油在此过程中的能量损失。

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由于管道粗细均匀，故流速恒定。

依题意，$\mathrm{\Delta }h=5\mathrm{m}$，$\mathrm{\Delta }p=-1200\mathrm{kPa}$，根据伯努利方程有

$$\begin{array}{rl}{E}_1& =V(\frac{1}{2}\rho v^2+\rho g{h}_1+p_1)\\ E_2& =V(\frac{1}{2}\rho v^2+\rho g{h}_2+p_2)\\ \mathrm{\Delta }E& =V(\rho g\mathrm{\Delta }h+\mathrm{\Delta }p)=-1.65\times {10}^5\mathrm{J}\end{array}$$