4.2 电通量

电场线

• 电场线总是起自正电荷，终止于负电荷
• 电场线不会自成闭合线，任意两条电场线也不会相交
• 电场线密度大的地方，电场强度方越大、

电通量

类似于磁通量，电通量定义为穿过某个面的等效电场线条数。用数学语言便是：电场强度构成的矢量场在某个面的通量。

• ${\Phi }_e=E\cdot S$
• $E$ 和 $S$ 应垂直，不垂直的要投影（乘 $\cos \theta$）
• 对于曲面，法向量取向外，即向外穿出为正，向内穿入为负

例 1

一电场强度为 $E$ 的均匀电场，$E$ 的方向沿 $x$ 轴正向，则通过图中一半径为 $R$ 的半球面的电场强度通量为？

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图形完全对称，穿入等于穿出，因此通量为 $0$。

例 2

一电场强度为 $E$ 的均匀电场，$E$ 的方向沿 $z$ 轴正向，则通过图中一半径为 $R$ 的半球面的电场强度通量为？

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首先，电场强度向外，因此取正号。

将半球面想 $xOy$ 平面投影，得到半径为 $R$ 的圆，且与电场强度平行。

则有 ${\Phi }_e=\pi R^2\cdot E$。

静电场中的高斯定理

CAUTION

必考点。

概念

在静电场中应用高斯定理，有：闭合曲面的电通量等于包含电荷量除以 ${\epsilon }_0$。

$${\Phi }_e=\oint \overrightarrow{E}\mathrm{d}\overrightarrow{S}=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum q_{\mathrm{内}}$$

引例

球内有一个点电荷，电荷量为 $+Q$：

则球面的电通量为 ${\displaystyle \frac{Q}{{\epsilon }_0}}$。

例 3

求电荷量为 $q$、半径为 $R$ 的均匀带电球壳内外场强分布。

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在球壳（蓝色）内取一个半径为 $r$ 的球面（橙色，$r<R$）：

$$\begin{array}{c}\oint \overrightarrow{E}\mathrm{d}\overrightarrow{S}=E\oint \mathrm{d}S=4\pi r^{2}E=\frac{1}{{\epsilon }_0}\sum q_{\mathrm{内}}\\ \Rightarrow E_{\mathrm{内}}=\frac{\sum q_{\mathrm{内}}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\end{array}$$

当球面在球壳内时，$\sum q_{\mathrm{内}}=0$，$E=0$。

同理在球壳外取一个半径为 $r^{\prime }$ 的球面（$r>R$）：

有 $\sum q_{\mathrm{内}}=q$，有 $E_{\mathrm{外}}={\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}}$

综上，球壳内场强为 $0$，球壳外场强分布等价于在在球心带电量为 $q$ 的点电荷产生的场强。

例 4

点电荷 $q$ 位于一边长为 $a$ 的立方体中心，试求：

1. 点电荷电场中穿过立方体的任一个面的电通量；
2. 若将该场源点电荷移动到立方体的一个顶点上，则穿过立方体各面的电通量。

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1. 由对称性可得，一个面的电通量为整个立方体电通量的 ${\displaystyle \frac{1}{6}}$，则有

$${\Phi }_e=\frac{1}{6}{\oint }_S\overrightarrow{E}\mathrm{d}\overrightarrow{S}=\frac{q}{6{\epsilon }_0}$$

2. 与电荷直接相连的三个面显然没有电场线穿过，电通量为 $0$。下面考虑与电荷相对的三个面。移动到顶点之后，图形对称性丧失。但是我们可以「补」出一个更大的立方体：

这样电荷就在这个大立方体的中心了。原来单个面占整个表面积的 ${\displaystyle \frac{1}{4\times 6}}={\displaystyle \frac{1}{24}}$，则有

$${\Phi }_e^{\prime }={\displaystyle \frac{1}{24}}{\oint }_{S^{\prime }}={\displaystyle \frac{q}{24{\epsilon }_0}}$$

综上，与电荷直接相连的三个面电通量为 $0$，与电荷不相连的三个面电通量为 ${\displaystyle \frac{q}{24{\epsilon }_0}}$。

推论

1. $\sum q_{\mathrm{内}}$ 是指高斯面内的净电荷（所有正负电荷的代数和）
2. 电通量 $\Phi$ 与高斯面内电荷有关，与电荷的位置以及高斯面外电荷无关
3. 高斯面上的场强 $E$，不仅由面内电荷影响，还由面外电荷影响

例 5

点电荷 $q_1,q_2,\cdots ,q_5$ 在真空中的分布如图，图中为闭合曲面，则通过该闭合曲面的电场强度通量为（　　）。

$$\begin{array}{rlrl}\mathbf{A}\mathbf{.}& \frac{q_1+q_3+q_4}{{\epsilon }_0}& \mathbf{B}\mathbf{.}& \frac{q_1+q_2+q_3+q_4+q_5}{{\epsilon }_0}\\ \mathbf{C}\mathbf{.}& \frac{q_2+q_3+q_5}{{\epsilon }_0}& \mathbf{D}\mathbf{.}& \frac{q_1+q_2+q_3}{{\epsilon }_0}\end{array}$$

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电通量只与面内电荷有关，因此答案为 D。

例 6

如图所示，闭合曲面 $S$ 内有一点电荷 $q$ ，$P$ 为 $S$ 面上任一点， $S$ 面外有一点电荷，设通过 $S$ 的电通量为 $\Phi$，$P$ 点的场强为 $E_P$，当 $q^{\prime }$ 从点 $A$ 移动到点 $B$ 时（　　）。

A. $\Phi$ 改变，$E_P$ 不变
B. $\Phi ,E_P$ 都不变
C. $\Phi ,E_P$ 都改变
D. $\Phi$ 不变，$E_P$ 改变

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内部电荷不变，因此 $\Phi$ 不变。电场电荷位置改变，因此 $E_P$ 变化。因此选择 D。

例 7

对于高斯定理，以下说法正确的是（　　）。

A. 高斯面上的场强仅由高斯面内的电荷所产生
B. 若 ${\displaystyle {\oint }_S\overrightarrow{E}\mathrm{d}\overrightarrow{S}=0}$，高斯面内必无任何电荷分布
C. 若高斯面上的场强处处为零，则高斯面内无净电荷
D. 高斯面内净电荷等于零，则高斯面上的场强也必等于零

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• 面外的电荷也会在面上产生场强，A 错误；
• 只能说高斯面内电荷代数和为零，不能说无任何电荷分布，B 错误；
• C 正确；
• 电通量为零不意味着场强一定为零，D 错误。