4.4 导体

静电平衡

导体有如下性质：

1. 电荷分布在外表面，内部场强处处为零（静电屏蔽）
2. 导体表面电场强度 $E={\displaystyle \frac{\sigma }{{\epsilon }_0}}$
3. 内部无场强，因此导体是等势体，表面是等势面，但表面场强并非处处相等
4. 导体表面曲率越大（尖锐），电荷密度越大

例 1

半径为 $R$ 的金属球体是一个等势体，其电势 $V=100\mathrm{V}$ 则球心处的场强大小为 $\underset{―}{}$。

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静电屏蔽，内部场强为 $0$。

例 2

均匀带电无限大平板附近的场强大小为 $\underset{―}{}$，均匀带电无限大平板导体附近的场强大小为 $\underset{―}{}$。

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${\displaystyle \frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}}$，${\displaystyle \frac{\sigma }{{\epsilon }_0}}$

简单理解这个两倍关系，就是导体内部 $E=0$ 没有电场线，但导体表面电荷的电场线总要发射出去，就全部往外了。记住即可，不要深究。

例 3

如图所示，金属球 $B$ 被一同心金属球壳 $A$ 所包围，分别给 $A,B$ 两导体以电量 $+5\mathrm{C}$ 和 $+3\mathrm{C}$ ，则 $A$ 球壳的外表面带电量为？

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在 $A$ 的内部做出一个高斯面。由于 $A$ 内场强为零，因此高斯面上的电通量为零，高斯面内的净电荷量为零。故 $A$ 的内表面电荷量应为 $-3\mathrm{C}$。

$A$ 的总电量为 $5\mathrm{C}$，因此外表面电荷为 $5-(-3)=8\mathrm{C}$。

TIP

结论：导体 球壳内表面上电荷 与 球壳内的电荷 代数和为零。

导体的场强和电势

例 4

一个带电达到静电平衡时（　　）。

A. 表面上电荷密度大处电势较高
B. 导体内任意两点的电势差等于零
C. 导体内部的电势比表面的电势高
D. 表面曲率较大处电势较高

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导体是等势体，因此 ACD 错误，B 正确。

例 5

一个未带电的空腔导体球壳，内半径为 $R$，在空腔内离球心的距离为 $d$ 处（$d<R$），固定一点电荷 $+q$ 则在球心 $O$ 处的电势为 $\underset{―}{}$，用导线把球壳接地后，再把地线撤销，选无穷远为电势零点，则球心 $O$ 的电势为 $\underset{―}{}$。

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1. 根据 上一节 中的结论，点电荷 $q$ 对 $O$ 产生的电势为 ${\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}d}}$，球壳产生的电势为 ${\displaystyle \frac{0}{r\pi {\epsilon }_{0}R}}$，故有 $V_O={\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}d}}$。

2. 与上一题类似，作高斯面可得球壳内表面带电 $-q$，外表面带电 $+q$。接地时，外球壳电荷受排斥并沿地线流失，撤去地线后外表面无电荷：

   此时计算 $V_O^{\prime }$。点电荷产生 ${\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}d}}$，球壳产生 ${\displaystyle \frac{-q}{r\pi {\epsilon }_{0}R}}$，因此有 $V_O={\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_0}}({\displaystyle \frac{1}{d}}-{\displaystyle \frac{1}{R}})$。

TIP

• 导线链接电势相等
• 接地电势为零
• 电势为零不代表电荷为零