3.1 狭义相对论基本原理

伽利略变换

• 核心问题：在两个惯性系中分析描述同一个物理事件
• 惯性系间相对速度为常量，设为 $\overrightarrow{u}$
• 伽利略变换式（设相对运动沿 $x$ 轴方向，计时起点时二者原点重合）
  • 时间：$t^{\prime }=t$
  • 位移：$\{\begin{array}{l}{x}^{\prime }=x-ut\\ y^{\prime }=y\\ z^{\prime }=z\end{array}$
  • 速度：${\overrightarrow{v}}^{\prime }=\overrightarrow{v}-\overrightarrow{u}$
  • 加速度：${\overrightarrow{a}}^{\prime }=\overrightarrow{a}-{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{u}}{\mathrm{d}t}}={\overrightarrow{a}}^{\prime }$
• 力学相对性原理
  • $\overrightarrow{F}=m\overrightarrow{a}$ 中的物理量在变换前后保持不变，因此牛顿力学规律在伽利略变换下形式保持不变
  • 用力学实验的方法不可能区分不同的惯性参考系

狭义相对论

两个基本假设

• 光速不变原理：在所有的惯性系中，光在真空中的传播速率具有相同的值，$c\approx 3\times {10}^8\mathrm{m}/\mathrm{s}$
  • 光速不随观察者的运动而变化
  • 光速不随光源的运动而变化
• 相对性原理：一切物理规律在所有惯性系中具有相同的形式
  • 所有惯性系都完全处于平等地位，没有任何理由选某参考系，把它置于特殊的地位

时空的相对性

同时性的相对性

沿两个惯性系相对运动方向上发生的两个事件，在其中一个惯性系中表现为同时的，在另一个惯性系中观察，则总是在前一个惯性系运动的后方的那一事件先发生。

时间膨胀

$$\mathrm{\Delta }t=\frac{\mathrm{\Delta }{t}_0}{\sqrt{1-{\left({\displaystyle \frac{u}{c}}\right)}^2}}=\gamma \mathrm{\Delta }{t}_0$$

• 两个常用系数
  • $\beta ={\displaystyle \frac{v}{c}}$
  • 洛伦兹因子 $\gamma ={\displaystyle \frac{1}{\sqrt{1-{\beta }^2}}}>1$
• $v\ll c$ 时，$\mathrm{\Delta }t=\mathrm{\Delta }{t}_0$，低速状态下时间测量可近似认为与参考系无关

例 1

${\pi }^{-}$ 介子是一种不稳定的粒子，从它产生到它衰变为 ${\mu }^{-}$ 介子经历的时间即为它的寿命，已测得静止 ${\pi }^{-}$ 介子的平均寿命 ${\tau }_0=2\times {10}^{-8}\mathrm{s}$。某加速器产生的 ${\pi }^{-}$ 介子以速率 $u=0.98c$ 相对实验室运动，求 ${\pi }^{-}$ 介子衰变前在实验室中通过的平均距离。

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$$\tau =\gamma {\tau }_0=\frac{2\times {10}^{-8}\mathrm{s}}{\sqrt{1-{0.98}^2}}=1.005\times {10}^{-7}\mathrm{s}$$

故有

$$d=u\tau =29.5\mathrm{m}$$

长度收缩

$$l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=\frac{l_0}{\gamma }$$

例 2

假设飞船以 $0.990c$ 的速度飞行，飞船上的机组人员测得飞船的长度为 $60\mathrm{m}$。问地球上的观察者测得飞船的长度是多少？

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$$l=l_0\sqrt{1-\frac{v^2}{c^2}}=60\times \sqrt{1-{0.990}^2}\mathrm{m}=8.46\mathrm{m}$$

洛伦兹变换式

（设相对运动沿 $x$ 轴方向，计时起点时二者原点重合）

• 正变换

  $$\{\begin{array}{rl}& x^{\prime }=\frac{x-ut}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\gamma (x-ut)\\ & y^{\prime }=y\\ & z^{\prime }=z\\ & t^{\prime }=\frac{t-\frac{u}{c^2}x}{\sqrt{1-{\beta }^2}}=\gamma (t-\frac{u}{c^2}x)\end{array}$$

• 逆变换

  $$\{\begin{array}{rl}& x=\gamma (x^{\prime }+u{t}^{\prime })\\ & y=y\\ & z=z\\ & t=\gamma (t^{\prime }+\frac{u}{c^2}{x}^{\prime })\end{array}$$