4.1 电场强度

定义：相对观察者静止的电荷所激发的电场

电荷

• 符号：$Q=ne$
• 单位：库仑 $C$
• 元电荷 $e\approx 1.6\times 10^{-19}C$
• 电荷的电量与它的运动状态无关。
• 电荷守恒定律：在一个孤立系统中总电荷量是不变的，即在任何时刻系统中的正电荷与负电荷的代数和保持不变。
• 点电荷：当带电体的大小、形状与带电体间的距离相比可以忽略时，就可把带电体视为一个带电的几何点。（理想模型）

库仑定律

• 公式：$F=k\frac{q_1{q}_2}{r^2}$
• 静电力常量 $k=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}$，其中 ${\epsilon }_0$ 称为真空介电常数。

对于多个点电荷相互作用，可以通过矢量叠加处理，即 $F=\sum k\frac{q_0{q}_i}{r_i^2}$

对于电荷连续分布的带电体，需要用微积分处理：

$$\mathrm{d}\vec{F}=\frac{q_0\mathrm{d}q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\vec{r}}^0\Rightarrow \vec{F}={\int }_Q\frac{q_0\mathrm{d}q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\vec{r}}^0$$

其中，${\vec{r}}^0$ 为沿连线上的单位向量。

电场强度

• 符号：$E$
• 单位：$N/C$ 或 $V/m$
• 定义式：$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}$
• 文字表述：电场中某点的电场强度的大小等于单位电荷在该点受力的大小，其方向为正电荷在该点受力的方向。

点电荷的电场：

$$\vec{E}=\frac{\vec{F}}{q_0}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{q}{r^2}{\vec{r}}^0$$

对于连续分布的带电体，使用微积分处理：

$$\mathrm{d}\vec{E}=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{\mathrm{d}q}{r^2}{\vec{r}}^0\Rightarrow \vec{E}=\int \frac{1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}{\vec{r}}^0$$

矢量积分的一般步骤

1. 设坐标，取积分微元，这里是 $\mathrm{d}q$（按电荷的分布情况取）；
2. 写出点电荷 $\mathrm{d}q$ 的电场强度 $\mathrm{d}\vec{E}$ 的大小、方向（标在图上）；
3. 坐标分解 $\mathrm{d}\vec{E}$（在图上也要画出）；
4. 对 $\mathrm{d}\vec{E}$ 的各坐标分量积分。

积分微元的常见情况：

• 线分布：$\lambda \mathrm{d}l$，其中 $\lambda$ 为面密度
• 面分布：$\sigma \mathrm{d}S$，其中 $\sigma$ 为面密度
• 体分布：$\rho \mathrm{d}V$，其中 $\rho$ 为体密度

有关若干点电荷在空间产生的场强问题，高中已经考烂了，此处不再提供例题

例 1

长为 $L$ 的均匀带电直杆，电荷线密度为 $\lambda$，讨论它在空间一点 P 产生的电场强度（P 点到杆的垂直距离为 $a$）。

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先建立坐标系：

如果用长度来积分，每个点与 P 的距离都要通过勾股定理计算，不方便，因此采用角度来积分。

取微元，列表达式：

$$\mathrm{d}q=\lambda \mathrm{d}x\Rightarrow \mathrm{d}\vec{E}=\frac{k\mathrm{d}q}{r^2}=k\frac{\lambda \mathrm{d}x}{r^2}$$

由几何关系可得：

$$\begin{array}{c}r\sin \theta =a\Rightarrow r=a\csc \theta \\ a=x\tan (\pi -\theta )\Rightarrow x=-a\cot \theta \Rightarrow \mathrm{d}x=a{\csc }^2\theta \mathrm{d}\theta \end{array}$$

代入可得：

$$\begin{array}{c}\mathrm{d}\vec{E}=k\frac{\lambda \mathrm{d}x}{r^2}=k\frac{\lambda a{\csc }^2\theta \mathrm{d}\theta }{a^2{\csc }^2\theta }=\frac{k\lambda }{a}\mathrm{d}\theta \\ \\ \Rightarrow \{\begin{array}{l}\mathrm{d}{E}_x=\frac{k\lambda }{a}\cos \theta \mathrm{d}\theta \\ \mathrm{d}{E}_y=\frac{k\lambda }{a}\sin \theta \mathrm{d}\theta \end{array}\end{array}$$

因此有

$$\begin{array}{rl}{E}_x& ={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{k\lambda }{a}\cos \theta \mathrm{d}\theta =\frac{k\lambda }{a}(\sin {\theta }_2-\sin {\theta }_1)\\ E_y& ={\int }_{{\theta }_1}^{{\theta }_2}\frac{k\lambda }{a}\sin \theta \mathrm{d}\theta =\frac{k\lambda }{a}(\cos {\theta }_1-\cos {\theta }_2)\end{array}$$

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讨论：

• $a\gg L$ 直接看成点电荷

  $$E=k\frac{\lambda L}{a^2}=\frac{\lambda L}{4\pi {\epsilon }_0{a}^2}$$

• $L\gg a$ 无限长带电棒

  $$\{\begin{array}{l}{\theta }_1=0\\ {\theta }_2=\pi \end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{E}_x=0\\ E_y=k\frac{2\lambda }{a}=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}a}\end{array}$$

例 2

半径为 $R$ 的均匀带电细圆环，带电量为 $Q$。求圆环轴线上任意一点 P（与圆心距离为 $x$）的电场强度。

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建系取 $\mathrm{d}q$：

由于圆环上电荷对称分布，因此 ${\vec{E}}_{\perp }=0$。

$$\mathrm{d}{\vec{E}}_x=\mathrm{d}\vec{E}\cos \theta =k\frac{\mathrm{d}q}{r^2}\cos \theta$$

由几何关系可得：

$$\begin{array}{c}r\cos \theta =x\Rightarrow r=x\sec \theta \\ \cos \theta =\frac{x}{r}=\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\end{array}$$

故有

$$\begin{array}{rl}{\vec{E}}_x& ={\int }_0^{Q}k\frac{\mathrm{d}q}{x^2{\sec }^2\theta }\cos \theta \\ & =\frac{k}{x^2}{\cos }^3\theta {\int }_0^Q\mathrm{d}q\\ & =\frac{kQ}{x^2}\frac{x^3}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}\\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Qx}{(R^2+x^2{)}^{3/2}}\end{array}$$

此结论可以直接使用。

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讨论：

1. 当 P 在圆环中心（$x=0$）

   $Qx$ 项为零，则 $E=0$。

2. 当 $x\gg R$ 时，$R^2+x^2\approx x^2$

   $$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\frac{Qx}{x^3}=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_0{x}^2}$$

   直接将圆环视为点电荷也可推得此结论。

这两个结论可以直接使用。

例 3

电荷面密度为 $\sigma$ 的圆板在轴线上任一点 P（与圆心距离为 $x$）的电场强度。

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借用上个例子的结论，积分微元取圆环。

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}q& =2\pi r\sigma \mathrm{d}r\\ \mathrm{d}E& =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{x\mathrm{d}q}{(r^2+x^2{)}^{3/2}}\\ & =\frac{x\sigma }{2{\epsilon }_0}\cdot \frac{r\mathrm{d}r}{(r^2+x^2{)}^{3/2}}\\ E& =\int \mathrm{d}E\\ & =\frac{x\sigma }{2{\epsilon }_0}{\int }_0^R\frac{r\mathrm{d}r}{(r^2+x^2{)}^{3/2}}\end{array}$$

场强相关的结论

模型	描述	公式	重要程度
	点电荷	$E=\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}\cdot \frac{q}{r^2}$	必背
	带电直棒	$E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}x}\sin {\theta }_0$	$★★★$
	带电 弧形棒	$E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}R}\sin {\theta }_0$	$★★★$
	带电圆环	$E=\frac{qx}{4\pi {\epsilon }_0(R^2+x^2{)}^{3/2}}$	$★$
	带电圆板	$E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}\left[1-\frac{x}{\sqrt{R^2+x^2}}\right]$	$★$
	无限大 带电平面	$E=\frac{\sigma }{2{\epsilon }_0}$	$★★★★★$
	无限长 带电直棒	$E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}x}$	$★★★★$
	无限长 带电圆柱	$\{\begin{array}{ll}E=\frac{\lambda r}{2\pi {\epsilon }_0{R}^2}& (r<R)\\ E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}r}& (r>R)\end{array}$
	带电球壳	$\{\begin{array}{ll}E=0& (r<R)\\ E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}& (r>R)\end{array}$
	带电 实心球	$\{\begin{array}{ll}E=\frac{qr}{4\pi {\epsilon }_0{R}^3}& (r<R)\\ E=\frac{q}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}& (r>R)\end{array}$

上述结论均可直接使用，并且可以二次推导。

例 4

一宽为 $b$ 的无限长均匀带电平面薄板，其电荷面密度为 $\sigma$，如图所示。试求平板所在平面内，距薄板边缘为 $a$ 处（设为点 $P$）的电场强度。

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在薄板内取一窄条，宽为 $\mathrm{d}x$，则该窄条的电荷线密度为 $\lambda =\sigma \mathrm{d}x$，对 $P$ 的场强为 $\mathrm{d}E=\frac{\lambda }{2\pi {\epsilon }_{0}x}=\frac{\sigma \mathrm{d}x}{2\pi {\epsilon }_{0}x}$。

则有

$$E={\int }_a^{a+b}\frac{\sigma \mathrm{d}x}{2\pi {\epsilon }_{0}x}=\frac{\sigma }{2\pi {\epsilon }_0}{\int }_a^{a+b}\frac{1}{x}\mathrm{d}x=\frac{\sigma }{2\pi {\epsilon }_0}\ln \frac{a+b}{a}$$