4.3 电势与电势能

电势能

• 电场力做功与路径无关 $\Rightarrow$ 电场力是保守力 $\Rightarrow$ 存在电势能
• 电势能零点可以自定义，一般默认无穷远处
• ${\displaystyle W_M={\int }_r^{\mathrm{\infty }}\overrightarrow{F}\mathrm{d}\overrightarrow{r}={\int }_r^{\mathrm{\infty }}{q}_0\overrightarrow{E}\mathrm{d}\overrightarrow{r}}$
  • 对于点电荷，有 ${\displaystyle W_M={\int }_r^{\mathrm{\infty }}\frac{q{q}_0}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathrm{d}r=\frac{q{q}_0}{4\pi {\epsilon }_{0}r}}$
• 电场力做功 $A=-(W_2-W_1)$
• 电场力做正功 $⟺$ 电势能减小

电势

• 电势 $V$ 定义为电势能与试探电荷的电荷量之比 ${\displaystyle V=\frac{W_M}{q}={\int }_0^{\mathrm{\infty }}\overrightarrow{E}\mathrm{d}\overrightarrow{r}}$
  • 对于点电荷，有 $V={\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}}$
• 电势能 = 电荷 × 电势 = 电场力做功
• 沿着电场线方向，电势降落最快
• 电场强度与电势是描述静电场性质的两个基本物理量

求电势的三种题型：

• 离散型：$V={\displaystyle \frac{q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}}$
• 连续型：$\mathrm{d}V={\displaystyle \frac{\mathrm{d}q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}}$，${\displaystyle V=\int \frac{\mathrm{d}q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}}$
• 已知场强求电势：${\displaystyle V={\int }_r^{\mathrm{\infty }}\overrightarrow{E}\mathrm{d}\overrightarrow{l}}$

例 1

一均匀带电半圆环，半径为 $R$，电量为 $+Q$，求环心处的电势。

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取一段线元 $\mathrm{d}l$，其带电量 $\mathrm{d}q={\displaystyle \frac{Q}{\pi R}}\mathrm{d}l$，产生的电势为 $\mathrm{d}V={\displaystyle \frac{Q\mathrm{d}l}{4{\pi }^2{\epsilon }_0{R}^2}}$

$$V={\int }_0^{\pi R}\mathrm{d}V=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$$

带电（部分）圆环电势分布结论

对于圆环 / 半圆环 / 部分圆环，若其总带电量为 $Q$，则在圆心处的电势为：

$$V_O=\frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}$$

考得比较多，尽量记忆。

例 2

如图所示，在半径为 $R_1,R_2$ 的两个同心球面上分别均匀带电 $q_1,q_2$，求三个区域内的电势分布。

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先通过高斯定理求出电场分布，积分得到电势分布。

如图，建立三个高斯面 ${\Pi }_1,{\Pi }_2,{\Pi }_3$。

$$\Phi =\oint \overrightarrow{E}\mathrm{d}\overrightarrow{S}=\frac{\sum q_{\mathrm{内}}}{{\epsilon }_0}\Rightarrow E=\frac{\Phi }{4\pi r^2}=\frac{\sum q_{\mathrm{内}}}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}$$

因此对于三个高斯面分别有

$$\begin{array}{cl}r<R_1& E_1=0\\ R_1<r<R_2& E_2={\displaystyle \frac{q_1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}}\\ r>R_2& E_2={\displaystyle \frac{q_1+q_2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}}\end{array}$$

故有

$$\begin{array}{rl}r<R_1\mathrm{时}{V}_1& ={\int }_r^{R_1}0\mathrm{d}r+{\int }_{R_1}^{R_2}\frac{q_1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathrm{d}r+{\int }_{R_2}^{\mathrm{\infty }}\frac{q_1+q_2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathrm{d}r\\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{q_1}{R_1}+\frac{q_2}{R_2})\\ R_1<r<R_2\mathrm{时}{V}_2& ={\int }_r^{R_2}\frac{q_1}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathrm{d}r+{\int }_{R_2}^{\mathrm{\infty }}\frac{q_1+q_2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathrm{d}r\\ & =\frac{1}{4\pi {\epsilon }_0}(\frac{q_1}{r}+\frac{q_2}{R_2})\\ r>R_2\mathrm{时}{V}_2& ={\int }_r^{\mathrm{\infty }}\frac{q_1+q_2}{4\pi {\epsilon }_0{r}^2}\mathrm{d}r\\ & =\frac{q_1+q_2}{4\pi {\epsilon }_{0}r}\end{array}$$

带电球壳电势分布结论

$$\{\begin{array}{ll}V={\displaystyle \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}R}}& r<R\\ V={\displaystyle \frac{Q}{4\pi {\epsilon }_{0}r}}& r>R\end{array}$$

例 3

已知在直角坐标系中，某静电场的电势函数 $V=a(x^2+y)$，式中 $a$ 为一常量，则电场中任意点的场强为 $\underset{―}{}$。

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$$\begin{array}{c}\frac{\partial V}{\partial x}=2ax\frac{\partial V}{\partial y}=a\\ \Rightarrow \overrightarrow{E}=-2ax\overrightarrow{i}-a\overrightarrow{j}\end{array}$$