4.3 电势与电势能

电势能

电场力做功与路径无关 $\Rightarrow$ 电场力是保守力 $\Rightarrow$ 存在电势能
电势能零点可以自定义，一般默认无穷远处
$W_{M} = \int_{r}^{\infty} F d r = \int_{r}^{\infty} q_{0} E d r$
- 对于点电荷，有 $W_{M} = \int_{r}^{\infty} \frac{q q _{0}}{4 π ε _{0} r ^{2}} d r = \frac{q q _{0}}{4 π ε _{0} r}$
电场力做功 $A = - (W_{2} - W_{1})$
电场力做正功 $⟺$ 电势能减小

电势 $V$ 定义为电势能与试探电荷的电荷量之比 $V = \frac{W _{M}}{q} = \int_{0}^{\infty} E d r$
- 对于点电荷，有 $V = \frac{q}{4 π ε _{0} r}$
电势能 = 电荷 × 电势 = 电场力做功
沿着电场线方向，电势降落最快
电场强度与电势是描述静电场性质的两个基本物理量

求电势的三种题型：

例 1

一均匀带电半圆环，半径为 $R$ ，电量为 $+ Q$ ，求环心处的电势。

取一段线元 $d l$ ，其带电量 $d q = \frac{Q}{π R} d l$ ，产生的电势为 $d V = \frac{Q d l}{4 π ^{2} ε _{0} R ^{2}}$

V = \int_{0}^{π R} d V = \frac{Q}{4 π ε _{0} R}

带电（部分）圆环电势分布结论

对于圆环 / 半圆环 / 部分圆环，若其总带电量为 $Q$ ，则在圆心处的电势为：

V_{O} = \frac{Q}{4 π ε _{0} R}

考得比较多，尽量记忆。

例 2

如图所示，在半径为 $R_{1}, R_{2}$ 的两个同心球面上分别均匀带电 $q_{1}, q_{2}$ ，求三个区域内的电势分布。

先通过高斯定理求出电场分布，积分得到电势分布。

如图，建立三个高斯面 $Π_{1}, Π_{2}, Π_{3}$ 。

Φ = \oint E d S = \frac{\sum q _{内}}{ε _{0}} \Rightarrow E = \frac{Φ}{4 π r ^{2}} = \frac{\sum q _{内}}{4 π ε _{0} r ^{2}}

因此对于三个高斯面分别有

r < R_{1} R_{1} < r < R_{2} r > R_{2} E_{1} = 0 E_{2} = \frac{q _{1}}{4 π ε _{0} r ^{2}} E_{2} = \frac{q _{1} + q _{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}}

故有

r < R_{1} 时 V_{1} R_{1} < r < R_{2} 时 V_{2} r > R_{2} 时 V_{2} = \int_{r}^{R_{1}} 0 d r + \int_{R_{1}}^{R_{2}} \frac{q _{1}}{4 π ε _{0} r ^{2}} d r + \int_{R_{2}}^{\infty} \frac{q _{1} + q _{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} d r = \frac{1}{4 π ε _{0}} (\frac{q _{1}}{R _{1}} + \frac{q _{2}}{R _{2}}) = \int_{r}^{R_{2}} \frac{q _{1}}{4 π ε _{0} r ^{2}} d r + \int_{R_{2}}^{\infty} \frac{q _{1} + q _{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} d r = \frac{1}{4 π ε _{0}} (\frac{q _{1}}{r} + \frac{q _{2}}{R _{2}}) = \int_{r}^{\infty} \frac{q _{1} + q _{2}}{4 π ε _{0} r ^{2}} d r = \frac{q _{1} + q _{2}}{4 π ε _{0} r}

带电球壳电势分布结论

⎩ ⎨ ⎧ V = \frac{Q}{4 π ε _{0} R} V = \frac{Q}{4 π ε _{0} r} r < R r > R

例 3

已知在直角坐标系中，某静电场的电势函数 $V = a (x^{2} + y)$ ，式中 $a$ 为一常量，则电场中任意点的场强为。

\frac{\partial V}{\partial x} = 2 a x \frac{\partial V}{\partial y} = a \Rightarrow E = - 2 a x i - a j