1.1 质点运动学

位移、速度、加速度

位置矢量（位矢）

• 建立直角坐标系后，物体的位置可以用 $A(x,y,z)$ 表示。
• 向量 $\overrightarrow{r}=\overrightarrow{OA}$ 称为位置矢量（位矢），也记为 $\overrightarrow{r}=x\overrightarrow{i}+y\overrightarrow{j}+z\overrightarrow{k}$。

运动方程

质点坐标 $x,y,z$ 随 $t$ 的变化关系。将 $t$ 消掉即可得到轨迹方程。

例 1

已知质点的运动学方程为

$$\overrightarrow{r}=4t^2\overrightarrow{i}+(2t+3)\overrightarrow{j}$$

则质点运动的轨迹方程为？

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$$\{\begin{array}{l}x=4t^2\\ y=2t+3\end{array}\Rightarrow t=\frac{y-3}{2}\Rightarrow x=(y-3{)}^2$$

位移与路程

• 物体的位置变化称为位移 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$，用起点到终点的有向线段表示。
• 物体实际运动的路径长称为路程 $\mathrm{\Delta }s$。

WARNING

• $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}$ 是位移，$|\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$ 是位移的大小，$\mathrm{\Delta }r$ 是物体到原点距离的变化（$r$ 理解为极坐标中的半径，物理中没有实际含义）
• 只有 $\mathrm{d}s=|\mathrm{d}\overrightarrow{r}|$ 是对的，$\mathrm{\Delta }s\ne |\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$，$\mathrm{\Delta }r\ne |\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}|$，$\mathrm{d}r\ne |\mathrm{d}\overrightarrow{r}|$
• 出现 $\mathrm{\Delta }r$、$\mathrm{d}r$ 基本都是错的

速度与速率

• 平均速度 $\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{\mathrm{\Delta }t}}$，平均速率是路程除以时间 $\overline{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }s}{\mathrm{\Delta }t}}$

• 瞬时速度就是对每个坐标分量求导

  $$\overrightarrow{v}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{i}+\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{j}+\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{k}$$

• 瞬时速率是瞬时速度的大小

  $$v=\left|\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}\right|=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{s}}{\mathrm{d}t}=\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}z}{\mathrm{d}t}\right)}^2}$$

  WARNING

  $\left|{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}}\right|$ 不能写成 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}}$ 或者 ${\displaystyle \frac{\mathrm{d}|\overrightarrow{r}|}{\mathrm{d}t}}$

例 2

一运动质点在某瞬时位于矢径 $\overrightarrow{r}=(x,y)$ 的端点处，其速度大小为

$$\mathbf{A}\mathbf{.}\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\mathbf{B}\mathbf{.}\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{r}}{\mathrm{d}t}\mathbf{C}\mathbf{.}\frac{\mathrm{d}|\overrightarrow{r}|}{\mathrm{d}t}\mathbf{D}\mathbf{.}\sqrt{{\left(\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}\right)}^2+{\left(\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}\right)}^2}$$

A 和 C 显然错误。B 是矢量。故选择 D。

例 3

一个质点在 $Oxy$ 平面内运动，运动学方程为 $x=2t$，$y=19-2t^2$（单位为米），则在第 2 秒内质点的平均速度大小为 $\underset{―}{}$，第 2 秒末的瞬时速度大小为 $\underset{―}{}$。

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令 $t=1$，有 $\{\begin{array}{l}x=2\\ y=17\end{array}$。令 $t=2$，有 $\{\begin{array}{l}x=4\\ y=11\end{array}$。

得到 $\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}=(2,-6)$，故有

$$\overrightarrow{v}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{r}}{t}}=(2,-6)\Rightarrow |\overrightarrow{v}|=2\sqrt{10}\mathrm{m}/\mathrm{s}$$

又有

$$\begin{array}{c}{\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}|}_{t=2}=2,{\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}t}|}_{t=2}=-4t{|}_{t=2}=-8\\ \overrightarrow{v}=\sqrt{2^2+8^2}=2\sqrt{17}\mathrm{m}/\mathrm{s}\end{array}$$

加速度

• 平均加速度 $\overrightarrow{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{\Delta }\overrightarrow{v}}{\mathrm{\Delta }t}}$

• 瞬时加速度就是对每个速度分量求导

  $$\overrightarrow{a}=\frac{\mathrm{d}\overrightarrow{v}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}{v}_x}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{i}+\frac{\mathrm{d}{v}_y}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{j}+\frac{\mathrm{d}{v}_z}{\mathrm{d}t}\overrightarrow{k}$$

WARNING

加速度与速度同号为加速、异号为减速，而不是正数加速、负数减速。

例 4

某个质点作直线运动的运动学方程为 $x=3t-5t^3+6$，则该质点作

1. 匀加速直线运动，加速度沿 $x$ 轴正方向
2. 匀加速直线运动，加速度沿 $x$ 轴负方向
3. 变加速直线运动，加速度沿 $x$ 轴正方向
4. 变加速直线运动，加速度沿 $x$ 轴负方向

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$$\begin{array}{c}v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}=3-15t^2\\ a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}=-30t<0\end{array}$$

故这是变加速直线运动，加速度沿 $x$ 轴负方向，选择 4。

位移、速度、加速度的互求

$$\begin{array}{}v=\frac{\mathrm{d}x}{\mathrm{d}t}& a=\frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}\\ x=x_0+{\int }_0^{t}v\mathrm{d}t& v=v_0+{\int }_0^{t}a\mathrm{d}t\end{array}$$

例 5

一质点沿 x 方向运动，其加速度随时间变化关系为 $a=3+2t$，如果质点从原点出发，初始时的速度 $v_0$ 为 $5\mathrm{m}/\mathrm{s}$，则当 $t=3\mathrm{s}$ 时，质点的速度 $v=$ $\underset{―}{}$，位置坐标 $x=$ $\underset{―}{}$。

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$$\begin{array}{c}v=v_0+{\int }_0^t(3+2t)\mathrm{d}t=5+3t+t^2,v{|}_{t=3}=23\mathrm{m}/\mathrm{s}\\ x=x_0+{\int }_0^t(5+3t+t^2)\mathrm{d}t=6t+\frac{3}{2}{t}^2+\frac{1}{3}{t}^3,x{|}_{t=3}=37.5\mathrm{m}\end{array}$$

圆周运动的参数

切向和法向加速度

• 加速度可以沿速度方向分解
• 与速度方向平行的称为切向加速度，改变速度的大小 $a_t={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}$
• 与速度方向垂直的称为法向加速度，改变速度的方向 $a_n={\displaystyle \frac{v^2}{\rho }}$
• 其中 $\rho$ 为曲率半径，若为圆周运动就为半径

例 6

在半径为 $R$ 的圆周上运动的质点，其速率与时间关系为 $v=c{t}^2$，从 $0$ 时刻到 $t$ 时刻，质点走过的路程为 $s=$ $\underset{―}{}$；$t$ 时刻质点的切向加速度为 $a_t=$ $\underset{―}{}$，法向加速度为 $a_n=$ $\underset{―}{}$，总加速度的大小为 $a=$ $\underset{―}{}$。

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$$\begin{array}{rl}s& ={\int }_0^{t}c{t}^2\mathrm{d}t=\frac{1}{3}c{t}^3\\ a_t& =\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}c{t}^2=2ct\\ a_n& =\frac{v^2}{\rho }=\frac{c^2{t}^4}{\rho }\\ a& =\sqrt{(2ct{)}^2+{\left(\frac{c^2{t}^4}{R}\right)}^2}\end{array}$$

（考试时不化到最简一般也算对）

圆周运动参数的互求

类比位移、速度与加速度的关系：

$$\begin{array}{}\omega =\frac{\mathrm{d}\theta }{\mathrm{d}t}& \alpha =\frac{\mathrm{d}\omega }{\mathrm{d}t}\\ \theta ={\theta }_0+{\int }_0^t\omega \mathrm{d}t& \omega ={\omega }_0+{\int }_0^t\alpha \mathrm{d}t\end{array}$$

NOTE

高中学的直线运动五大公式中，只要把位移、速度与加速度替换成角位移、角速度与角加速度，就可以接着用了。

此外还有角量与线量的关系：

• 线速度 $v=\omega R$
• 法向加速度 $a_n={\displaystyle \frac{v^2}{R}}={\omega }^{2}R$
• 切向加速度 $a_t={\displaystyle \frac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t}}=\alpha R$

例 7

一质点从静止出发，沿半径为 $R=1$ 的圆周运动，角加速度 $\alpha =12t^2-6t$，则质点的角速度 $\omega =$ $\underset{―}{}$，切向加速度 $a_t=$ $\underset{―}{}$，法向加速度 $a_n=$ $\underset{―}{}$，总加速度为 $a=$ $\underset{―}{}$。

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$$\begin{array}{rl}\omega & ={\int }_0^t(12t^2-6t)\mathrm{d}t=4t^3-3t^2\\ a_t& =\alpha R=12t^2-6t\\ a_n& ={\omega }^{2}R=(4t^3-3t^2{)}^2\\ a& =\sqrt{a_t^2+a_n^2}=\sqrt{(12t^2-6t{)}^2+(4t^3-3t^2{)}^4}\end{array}$$

相对运动

若相对只有平动，则位移、速度、加速度都满足：A 的实际 = A 相对于 B + B 的实际，简记为「绝对 = 相对 + 牵连」。

例 8

某人骑自行车以速率 $v$ 向西行驶，今有风以相同速率从北偏东 $30\mathrm{°}$ 方向吹来，试问人感到风从哪个方向吹来？

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找到几个要素：

• 牵连：人的速度，向西的 $v$
• 绝对：风的对地速度，南偏西 $30\mathrm{°}$ 的 $v$（注意题中的方向是风的来向，速度方向与来向相反）
• 相对 = 绝对 - 牵连 = 南偏东 $30\mathrm{°}$

因此人感觉到风从北偏西 $30\mathrm{°}$ 吹来。