4 平差模型与最小二乘原理

平差几何条件回顾

必要观测与多余观测

• 必要观测数记为 $t$，实际观测数记为 $n$
• 多余观测数（也即独立条件方程个数）

$$r=n-t$$

• 当 $n<t$ 时，几何模型无法唯一确定
• 当 $n=t$ 时，模型可唯一确定但不能检核粗差
• 当 $n>t$ 时，模型可唯一确定且可进行误差检核

必要起算数据

必要起算数据用于确定几何模型在坐标系中的位置与方向，个数记为 $d$。

常见网型中：

• 水准网：通常 $d=1$
  引入的一个参考点高程
• 测角网：通常 $d=4$
  一个已知点横纵坐标 + 一条边的已知方位角 + 一条已知边
• 测边网 / 边角网：通常 $d=3$
  一个已知点横纵坐标 + 一条边的已知方位角

条件方程

每增加 1 个多余观测，会增加 1 个独立条件方程。条件方程必须函数独立（线性模型中即行满秩）。

例如平面三角形内角观测可写成：

$${\tilde{L}}_1+{\tilde{L}}_2+{\tilde{L}}_3-{180}^{\circ }=0$$

平差的四个数学模型

数学模型 = 函数模型 + 随机模型

条件平差

观测量应当满足某种已知的函数关系，例如多边形内角和等。这样的关系就是「条件」。条件方程个数 $c=r=n-t$。

符号速查

• $\mathit{L}$ 观测值向量，$n\times 1$
• $\tilde{\mathit{L}}$ 观测真值向量，$n\times 1$
• $\mathit{\Delta }=\tilde{\mathit{L}}-\mathit{L}$ 观测真误差向量，$n\times 1$
• $\mathit{W}$ 闭合差向量，$n\times 1$
• $\mathit{A}$ 常矩阵，$c\times n$
• ${\mathit{A}}_0$ 常向量，$c\times 1$

原始函数模型：

$$f(\tilde{\mathit{L}})=\mathbf{0}$$

线性形式：

$$\mathit{A}\tilde{\mathit{L}}+{\mathit{A}}_0=\mathbf{0}$$

令 $\tilde{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{\Delta }$，并记闭合差 $\mathit{W}$

$$\mathit{W}=-(\mathit{A}\mathit{L}+{\mathit{A}}_0)$$

得误差方程

$$\mathit{A}\mathit{\Delta }-\mathit{W}=\mathbf{0}$$

带参数的条件平差

在条件平差的基础上，还已知一些参数。例如高程网中有多个已知高程的控制点，则这些已知高程就是「参数」$\mathit{X}$，可以通过这些参数继续列出方程，例如 $H_A+l_1+l_2=H_B$。

对于独立参数，参数个数 $u$ 应满足 $0<u<t$。每增加一个参数就增加一个条件数，则条件方程的个数变为 $c=r+u$。

符号速查

• $u$ 参数个数
• $\tilde{\mathit{X}}$ 参数真值向量，$u\times 1$
• ${\mathit{X}}^0$ 参数近似值向量，$u\times 1$
• $\mathit{x}$ 参数改正数真值向量，$u\times 1$
• $\mathit{B}$ 常矩阵，$c\times u$

原始函数模型：

$$f(\tilde{\mathit{L}},\tilde{\mathit{X}})=\mathbf{0}$$

线性形式：

$$\mathit{A}\tilde{\mathit{L}}+\mathit{B}\tilde{\mathit{X}}+{\mathit{A}}_0=\mathbf{0}$$

令

$$\tilde{\mathit{X}}={\mathit{X}}^0+\tilde{\mathit{x}},\tilde{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{\Delta }$$

并记

$$\mathit{W}=-(\mathit{A}\mathit{L}+\mathit{B}{\mathit{X}}^0+{\mathit{A}}_0)$$

得

$$\mathit{A}\mathit{\Delta }+\mathit{B}\tilde{\mathit{x}}-\mathit{W}=\mathbf{0}$$

间接平差（参数平差）

换一种思路，不再寻找观测量之间的关系，而是直接把观测量用现有参数表达出来。

符号速查

• $\mathit{d}$ 已知起算数据向量，$n\times 1$
• $\mathit{l}$ 常向量，$n\times 1$
• $\mathit{B}$ 设计矩阵，$n\times t$

函数模型：

$$\tilde{\mathit{L}}=f(\tilde{\mathit{X}})$$

线性形式：

$$\tilde{\mathit{L}}=\mathit{B}\tilde{\mathit{X}}+\mathit{d}$$

上式也称观测方程。其中 $\mathit{B}$ 由预先设计的控制网决定，因此称设计矩阵，有 $R(\mathit{B})=t$，是列满秩矩阵。

令

$$\tilde{\mathit{X}}={\mathit{X}}^0+\tilde{\mathit{x}},\tilde{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{\Delta },\mathit{l}=\mathit{L}-\mathit{B}{\mathit{X}}^0-\mathit{d}$$

得

$$\mathit{\Delta }=\mathit{B}\tilde{\mathit{x}}-\mathit{l}$$

通常把观测改正数记作 $\mathit{v}$，于是

$$\mathit{v}=\mathit{B}\tilde{\mathit{x}}-\mathit{l}$$

带约束的间接平差

若参数个数 $u$ 多于必要观测数 $t$，此时参数间不再保持相互独立，即参数本身之间存在函数关系（条件方程）。在 $t$ 个独立参数之外，每增加一个参数，都会多出一个条件方程。函数模型表达为：

$$\{\begin{array}{l}\tilde{\mathit{L}}=f(\tilde{\mathit{X}})\\ \Phi (\tilde{\mathit{X}})=\mathbf{0}\end{array}$$

线性形式：

$$\{\begin{array}{l}\tilde{\mathit{L}}=\mathit{B}\tilde{\mathit{X}}+\mathit{d}\\ \mathit{C}\tilde{\mathit{X}}+{\mathit{c}}_0=\mathbf{0}\end{array}$$

令 $\tilde{\mathit{X}}={\mathit{X}}^0+\tilde{\mathit{x}}$，记

$${\mathit{W}}_x=-(\mathit{C}{\mathit{X}}^0+{\mathit{c}}_0)$$

则线性化后为

$$\{\begin{array}{l}\mathit{v}=\mathit{B}\tilde{\mathit{x}}-\mathit{l}\\ \mathit{C}\tilde{\mathit{x}}-{\mathit{W}}_x=\mathbf{0}\end{array}$$

四类模型关系

• 条件平差：以条件方程为主，直接改正观测值
• 间接平差：以参数为主，通过参数改正观测值
• 带参数条件平差：在条件模型中引入部分参数
• 带约束间接平差：在参数模型中增加约束方程

TIP

四种模型本质上可互相转换。若函数模型与随机模型等价，最终平差值与精度评定结果应一致。

非线性模型的线性化

若函数模型为非线性，可在 $(\mathit{L},{\mathit{X}}^0)$ 处一阶展开：

$$\begin{array}{c}f(\tilde{\mathit{L}},\tilde{\mathit{X}})\approx {\frac{\partial f}{\partial \tilde{\mathit{L}}}|}_{\mathit{L},{\mathit{X}}^0}\mathit{\Delta }+{\frac{\partial f}{\partial \tilde{\mathit{X}}}|}_{\mathit{L},{\mathit{X}}^0}\tilde{\mathit{x}}+f(\mathit{L},{\mathit{X}}^0)=\mathbf{0}\\ \Phi (\tilde{\mathit{X}})=\Phi ({\mathit{X}}^0+\tilde{x})={\frac{\partial f}{\partial \tilde{\mathit{X}}}|}_{{\mathit{X}}^0}\tilde{\mathit{x}}+\Phi ({\mathit{X}}^0)=\mathbf{0}\end{array}$$

记作统一线性形式

$$\begin{array}{c}\mathit{A}\mathit{\Delta }+\mathit{B}\tilde{\mathit{x}}-\mathit{W}=\mathbf{0}\\ \mathit{C}\tilde{\mathit{x}}-{\mathit{W}}_x=\mathbf{0}\end{array}$$

平差估计

真值与估计

前面的函数模型使用：

• 真值 $\tilde{\mathit{L}}$ 对应的真误差 $\mathit{\Delta }$
• 参数真值 $\tilde{\mathit{X}}$ 对应的改正数真值 $\tilde{\mathit{x}}$

构建模型。但实际上通常真值不可知，平差的目标就是通过观测数据得到：

• $\mathit{\Delta }$ 的估计值 $\mathit{V}$，称 观测值改正数向量 或 残差
• $\tilde{\mathit{x}}$ 的估计值 $\hat{\mathit{x}}$，称 参数改正数

由此，四种平差模型改造为：

• 条件平差

  $$\underset{r\times n}{\mathit{A}}\underset{n\times 1}{\mathit{V}}-\underset{r\times 1}{\mathit{W}}=\underset{r\times 1}{\mathbf{0}}$$

• 带参数的条件平差

  $$\underset{c\times n}{\mathit{A}}\underset{n\times 1}{\mathit{V}}+\underset{c\times u}{\mathit{B}}\underset{u\times 1}{\hat{\mathit{x}}}-\underset{c\times 1}{\mathit{W}}=\underset{c\times 1}{\mathbf{0}}$$

• 间接平差

  $$\underset{n\times 1}{\mathit{V}}=\underset{n\times t}{\mathit{B}}\underset{t\times 1}{\hat{\mathit{x}}}-\underset{n\times 1}{\mathit{l}}$$

• 带约束的间接平差

  $$\{\begin{array}{l}{\displaystyle \underset{n\times 1}{\mathit{V}}=\underset{n\times t}{\mathit{B}}\underset{t\times 1}{\hat{\mathit{x}}}-\underset{n\times 1}{\mathit{l}}}\\ {\displaystyle \underset{s\times u}{\mathit{C}}\underset{u\times 1}{\tilde{\mathit{x}}}-\underset{s\times 1}{{\mathit{W}}_x}=\underset{s\times 1}{\mathbf{0}}}\end{array}$$

随机模型

随机模型用于描述观测量及误差的统计性质。常用形式：

$$E(\mathit{\Delta })=\mathbf{0},{\mathit{D}}_{\Delta \Delta }={\sigma }_0^2{\mathit{Q}}_{\Delta \Delta }={\sigma }_0^2{\mathit{P}}^{-1}$$

由于 $\tilde{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{\Delta }$，有

$${\mathit{D}}_{LL}={\mathit{D}}_{\Delta \Delta },{\mathit{Q}}_{LL}={\mathit{Q}}_{\Delta \Delta },{\mathit{P}}_L={\mathit{P}}_{\Delta }$$

IMPORTANT

• 平差前通常给定 $\mathit{P}$（或 $\mathit{Q}$）作为先验随机信息
• 平差后再估计单位权方差与后验协方差阵

参数估计与最优估值

测量平差本质是参数估计问题：用有限观测样本推断总体参数。

优良估值常用三条标准：

• 无偏性：$E(\tilde{\mathit{x}})=\tilde{\mathit{x}}$
• 一致性：$n\to \mathrm{\infty }$ 时 $\tilde{\mathit{x}}$ 依概率收敛到真值
• 有效性：在无偏估计类中方差最小（即 BLUE 思想）

最小二乘原理

基本准则

对线性模型

$$\mathit{V}=\mathit{B}\tilde{\mathit{x}}-\mathit{l}$$

按最小二乘准则取

$${\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}=min$$

法方程写为

$${\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\tilde{\mathit{x}}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}$$

解得

$$\tilde{\mathit{x}}={\left({\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\right)}^{-1}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}$$

等精度与不等精度

• 等精度观测：$\mathit{P}=\mathit{I}$，目标函数为 $\sum v_i^2=min$
• 不等精度观测：$\mathit{P}=\mathrm{diag}(p_1,\dots ,p_n)$，目标函数为 $\sum p_i{v}_i^2=min$

例

对同一量 $x$ 做 $n$ 次独立不等精度观测，观测向量

$$\mathit{l}=[l_1,l_2,\dots ,l_n{]}^{\mathrm{T}},\mathit{P}=\mathrm{diag}(p_1,p_2,\dots ,p_n)$$

模型写成 $\mathit{V}=\mathit{B}\tilde{x}-\mathit{l}$，其中 $\mathit{B}=[1,1,\dots ,1{]}^{\mathrm{T}}$。

由最小二乘法方程

$${\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}\tilde{x}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}$$

得到

$$\tilde{x}=\frac{\sum _{i=1}^n{p}_i{l}_i}{\sum _{i=1}^n{p}_i}$$

即不等精度加权平均值。

最小二乘与极大似然

当观测向量服从正态分布时，极大似然估计与最小二乘估计等价。

因此在正态假设下，最大化似然函数等价于最小化二次型

$$(\mathit{l}-\tilde{\mathit{l}}{)}^{\mathrm{T}}{\mathit{D}}_{ll}^{-1}(\mathit{l}-\tilde{\mathit{l}})⟺{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}$$

NOTE

• 极大似然依赖总体分布假设
• 最小二乘可作为更一般的估计准则使用

小结

• 几何模型中有 $r=n-t$ 个多余观测，就有 $r$ 个独立条件方程
• 平差数学模型由函数模型与随机模型共同构成
• 四类基本函数模型可统一到线性误差方程框架
• 最小二乘核心准则是 ${\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}=min$
• 在线性模型下通过法方程求参数改正数，再求参数估值与观测平差值