误差理论与平差作业：第一周周五

二维正态图像绘制

讨论：五个参数分别影响了频率分布直方图的哪些特征？

• ${\mu }_x,{\mu }_y$ 影响了频率尖峰的位置
• ${\sigma }_x,{\sigma }_y$ 影响了峰的宽度，$\sigma$ 越大，峰越宽、峰值越小
• $\rho$ 影响了峰的形态，$\rho$ 越趋近于 0，峰越接近圆形（$x,y$ 不相关）；$\rho \ne 0$ 时，峰会变为椭圆，长短轴对准 $y=\pm x$，且绝对值越大，椭圆离心率越大。

教材 2-2

精度的含义是什么？表示精度的方法有哪些？

精度是指随机变量取值（观测值或观测误差）在其中心位置附近分布的离散程度，即观测值与期望的接近程度。

衡量精度的量包括方差和中误差、平均误差、或然误差。

教材 2-6

对某量进行两组观测，它们的真误差为

• 第一组：$3,-3,2,4,-2,-1,0,-4,3,-2$
• 第二组：$0,-1,-7,2,1,-1,8,0,-3,1$

试求两组观测值的平均误差 ${\hat{\theta }}_1,{\hat{\theta }}_2$，中误差 ${\hat{\sigma }}_1,{\hat{\sigma }}_2$ 及协方差 ${\hat{\sigma }}_{12}$，并比较两组观测值的精度。

计算过程与结果：

$$\begin{array}{rl}{\hat{\theta }}_1& =\frac{1}{10}\sum |{\Delta }_{1i}|=2.4\\ {\hat{\theta }}_2& =\frac{1}{10}\sum |{\Delta }_{2i}|=2.4\\ {\hat{\sigma }}_1& =\sqrt{\frac{1}{10}\sum {\Delta }_{1i}^2}\approx 2.68\\ {\hat{\sigma }}_2& =\sqrt{\frac{1}{10}\sum {\Delta }_{2i}^2}\approx 3.61\\ {\hat{\sigma }}_{12}& =E({\Delta }_{1i}{\Delta }_{2i})-E({\Delta }_{1i})E({\Delta }_{2i})=-1.5\end{array}$$

第一组的中误差更小，精度更高。

教材 2-8

已知两段距离的长度及其中误差分别为 300.465m±4.5cm，600.894m±4.5cm，试说明这两个长度的真误差是否相等？它们的最大限差是否相等？它们的中误差是否相等？它们的相对精度是否相等？

• 真误差不相等。因为真值未知，真误差也未知。
• 中误差相等。二者的中误差均为 4.5cm。
• 限差相等。通常限差取 3 倍中误差，中误差相等则限差相等。
• 相对精度不相等。前者相对精度为 ${\displaystyle \frac{4.5}{30046.5}}\approx {\displaystyle \frac{1}{6700}}$，后者相对精度为 ${\displaystyle \frac{4.5}{60089.4}}\approx {\displaystyle \frac{1}{13400}}$，后者相对精度更高。