9 附有限制条件的间接平差

模型

$$\{\begin{array}{l}\hat{\mathit{L}}=\mathit{B}\hat{\mathit{X}}+\mathit{d}\\ \mathit{C}\hat{\mathit{X}}+{\mathit{C}}_0=\mathbf{0}\end{array}$$

令

$$\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}},\mathit{l}=\mathit{L}-\mathit{B}{\mathit{X}}_0-\mathit{d},{\mathit{W}}_x=-(\mathit{C}{\mathit{X}}_0+{\mathit{C}}_0)$$

得

$$\{\begin{array}{l}\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l}\\ \mathit{C}\hat{\mathit{x}}-{\mathit{W}}_x=\mathbf{0}\end{array}$$

解算

由最小二乘与拉格朗日法可得块法方程

$$\left[\begin{array}{cc}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}& {\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\\ \mathit{C}& \mathbf{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\hat{\mathit{x}}\\ \mathit{k}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}\\ {\mathit{W}}_x\end{array}\right]$$

解出 $\hat{\mathit{x}}$ 后仍有

$$\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{l},\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}},\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$$

例

为确定某一抛物线方程 $y^2=ax$，观测了 4 组数据，且 $x_i$ 无误差，$y_i$ 为相互独立的等精度观测值，试用间接平差求：

1. 该抛物线方程；
2. 待定系数 $\hat{a}$ 的中误差。

点号	$x$/cm	$y$/cm
1	1	1.90
2	2	2.70
3	3	3.35
4	4	4.32

---

依题意，有 $n=4,t=1,r=n-t=3$。

令 $\Gamma =\sqrt{a}$，则

$${\hat{y}}_i=\hat{\Gamma }\sqrt{x_i}$$

有

$$\hat{\mathit{L}}=\mathit{B}\hat{\Gamma }$$

其中

$$\mathit{L}=\left[\begin{array}{c}1.90\\ 2.70\\ 3.35\\ 4.32\end{array}\right],\mathit{B}=\left[\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}\\ \sqrt{3}\\ 2\end{array}\right]$$

取近似值

$${\Gamma }_0=\frac{1}{4}\sum \frac{y_i}{\sqrt{x_i}}=1.97583$$

设

$$\hat{\Gamma }={\Gamma }_0+\hat{\lambda }$$

因观测值等精度，故

$$\mathit{P}=\mathit{I}$$

误差方程为

$$\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\lambda }-\mathit{l}$$

其中

$$\mathit{l}=\mathit{L}-\mathit{B}{\Gamma }_0=\left[\begin{array}{c}-0.07583\\ -0.09455\\ -0.07224\\ 0.36834\end{array}\right]$$

法方程为

$${\mathit{N}}_{bb}\hat{\lambda }-\mathit{U}=0$$

其中

$$\begin{array}{c}{\mathit{N}}_{bb}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{B}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{B}=10\\ \mathit{U}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{l}={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{l}=0.40245\end{array}$$

故

$$\hat{\lambda }={\mathit{N}}_{bb}^{-1}\mathit{U}=\frac{1}{10}\times 0.40245=0.04025$$

于是

$$\begin{array}{c}\hat{a}={\hat{\Gamma }}^2=4.06458\\ \hat{\Gamma }={\Gamma }_0+\hat{\lambda }=2.01608\end{array}$$

又有

$${\mathit{Q}}_{\hat{\lambda }\hat{\lambda }}={\mathit{N}}_{bb}^{-1}=\frac{1}{10}$$

改正数为

$$\mathit{V}=\mathit{B}\hat{\lambda }-\mathit{l}=\left[\begin{array}{c}0.11608\\ 0.15117\\ 0.14195\\ -0.28784\end{array}\right]$$

单位权方差估值为

$${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{r}=\frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{V}}{3}=0.04644$$

由误差传播定律，

$${\mathit{Q}}_{\hat{a}\hat{a}}=(2\hat{\Gamma }{)}^2{\mathit{Q}}_{\hat{\lambda }\hat{\lambda }}=1.62583$$

故

$$D_{\hat{a}\hat{a}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathit{Q}}_{\hat{a}\hat{a}}=0.07550={\sigma }_{\hat{a}}^2$$

因此

$${\sigma }_{\hat{a}}=\sqrt{{\sigma }_{\hat{a}}^2}=0.27478$$

综上，有

$$\hat{a}=4.065,{\sigma }_{\hat{a}}=0.275$$

抛物线方程近似为 $y^2=4.065x$。