4 平差模型概述

平差几何条件回顾

必要观测与多余观测

• 必要观测数记为 $t$，实际观测数记为 $n$
• 多余观测数（也即独立条件方程个数）

$$r=n-t$$

• 当 $n<t$ 时，几何模型无法唯一确定
• 当 $n=t$ 时，模型可唯一确定但不能检核粗差
• 当 $n>t$ 时，模型可唯一确定且可进行误差检核

必要起算数据

必要起算数据用于确定几何模型在坐标系中的位置与方向，个数记为 $d$。

常见网型中：

• 水准网：通常 $d=1$
  引入的一个参考点高程
• 测角网：通常 $d=4$
  一个已知点横纵坐标 + 一条边的已知方位角 + 一条已知边
• 测边网 / 边角网：通常 $d=3$
  一个已知点横纵坐标 + 一条边的已知方位角

条件方程

每增加 1 个多余观测，会增加 1 个独立条件方程。条件方程必须函数独立（线性模型中即行满秩）。

例如平面三角形内角观测可写成：

$${\tilde{L}}_1+{\tilde{L}}_2+{\tilde{L}}_3-180^{\circ }=0$$

平差的四个数学模型

数学模型 = 函数模型 + 随机模型

条件平差

观测量应当满足某种已知的函数关系，例如多边形内角和等。这样的关系就是「条件」。条件方程个数 $c=r=n-t$。

符号速查

• $\mathbf{L}$ 观测值向量，$n\times 1$
• $\tilde{\mathbf{L}}$ 观测真值向量，$n\times 1$
• $\mathbf{\Delta }=\tilde{\mathbf{L}}-\mathbf{L}$ 观测真误差向量，$n\times 1$
• $\mathbf{W}$ 闭合差向量，$n\times 1$
• $\mathbf{A}$ 常矩阵，$c\times n$
• ${\mathbf{A}}_0$ 常向量，$c\times 1$

原始函数模型：

$$f(\tilde{\mathbf{L}})=0$$

线性形式：

$$\mathbf{A}\tilde{\mathbf{L}}+{\mathbf{A}}_0=0$$

令 $\tilde{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{\Delta }$，并记闭合差 $\mathbf{W}$

$$\mathbf{W}=-\left(\mathbf{A}\mathbf{L}+{\mathbf{A}}_0\right)$$

得误差方程

$$\mathbf{A}\mathbf{\Delta }-\mathbf{W}=0$$

带参数的条件平差

在条件平差的基础上，还已知一些参数。例如高程网中有多个已知高程的控制点，则这些已知高程就是「参数」$\mathbf{X}$，可以通过这些参数继续列出方程，例如 $H_A+l_1+l_2=H_B$。

对于独立参数，参数个数 $u$ 应满足 $0<u<t$。每增加一个参数就增加一个条件数，则条件方程的个数变为 $c=r+u$。

符号速查

• $u$ 参数个数
• $\tilde{\mathbf{X}}$ 参数真值向量，$u\times 1$
• ${\mathbf{X}}^0$ 参数近似值向量，$u\times 1$
• $\mathbf{x}$ 参数改正数真值向量，$u\times 1$
• $\mathbf{B}$ 常矩阵，$c\times u$

原始函数模型：

$$f(\tilde{\mathbf{L}},\tilde{\mathbf{X}})=0$$

线性形式：

$$\mathbf{A}\tilde{\mathbf{L}}+\mathbf{B}\tilde{\mathbf{X}}+{\mathbf{A}}_0=0$$

令

$$\tilde{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}^0+\tilde{\mathbf{x}},\tilde{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{\Delta }$$

并记

$$\mathbf{W}=-\left(\mathbf{A}\mathbf{L}+\mathbf{B}{\mathbf{X}}^0+{\mathbf{A}}_0\right)$$

得

$$\mathbf{A}\mathbf{\Delta }+\mathbf{B}\tilde{\mathbf{x}}-\mathbf{W}=0$$

间接平差（参数平差）

换一种思路，不再寻找观测量之间的关系，而是直接把观测量用现有参数表达出来。

符号速查

• $\mathbf{d}$ 已知起算数据向量，$n\times 1$
• $\mathbf{l}$ 常向量，$n\times 1$
• $\mathbf{B}$ 设计矩阵，$n\times t$

函数模型：

$$\tilde{\mathbf{L}}=f(\tilde{\mathbf{X}})$$

线性形式：

$$\tilde{\mathbf{L}}=\mathbf{B}\tilde{\mathbf{X}}+\mathbf{d}$$

上式也称观测方程。其中 $\mathbf{B}$ 由预先设计的控制网决定，因此称设计矩阵，有 $\mathrm{rank}(\mathbf{B})=t$，是列满秩矩阵。

令

$$\tilde{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}^0+\tilde{\mathbf{x}},\tilde{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{\Delta },\mathbf{l}=\mathbf{L}-\mathbf{B}{\mathbf{X}}^0-\mathbf{d}$$

得

$$\mathbf{\Delta }=\mathbf{B}\tilde{\mathbf{x}}-\mathbf{l}$$

通常把观测改正数记作 $\mathbf{V}$，于是

$$\mathbf{V}=\mathbf{B}\tilde{\mathbf{x}}-\mathbf{l}$$

带约束的间接平差

若参数个数 $u$ 多于必要观测数 $t$，此时参数间不再保持相互独立，即参数本身之间存在函数关系（条件方程）。在 $t$ 个独立参数之外，每增加一个参数，都会多出一个条件方程。函数模型表达为：

$$\{\begin{array}{l}\tilde{\mathbf{L}}=f(\tilde{\mathbf{X}})\\ \Phi (\tilde{\mathbf{X}})=0\end{array}$$

线性形式：

$$\{\begin{array}{l}\tilde{\mathbf{L}}=\mathbf{B}\tilde{\mathbf{X}}+\mathbf{d}\\ \mathbf{C}\tilde{\mathbf{X}}+{\mathbf{c}}_0=0\end{array}$$

令 $\tilde{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}^0+\tilde{\mathbf{x}}$，记

$${\mathbf{W}}_x=-\left(\mathbf{C}{\mathbf{X}}^0+{\mathbf{c}}_0\right)$$

则线性化后为

$$\{\begin{array}{l}\mathbf{V}=\mathbf{B}\tilde{\mathbf{x}}-\mathbf{l}\\ \mathbf{C}\tilde{\mathbf{x}}-{\mathbf{W}}_x=0\end{array}$$

四类模型关系

• 条件平差：以条件方程为主，直接改正观测值
• 间接平差：以参数为主，通过参数改正观测值
• 带参数条件平差：在条件模型中引入部分参数
• 带约束间接平差：在参数模型中增加约束方程

TIP

四种模型本质上可互相转换。若函数模型与随机模型等价，最终平差值与精度评定结果应一致。

非线性模型的线性化

若函数模型为非线性，可在 $(\mathbf{L},{\mathbf{X}}^0)$ 处一阶展开：

$$\begin{array}{c}f(\tilde{\mathbf{L}},\tilde{\mathbf{X}})\approx {\frac{\partial f}{\partial \tilde{\mathbf{L}}}|}_{\mathbf{L},{\mathbf{X}}^0}\mathbf{\Delta }+{\frac{\partial f}{\partial \tilde{\mathbf{X}}}|}_{\mathbf{L},{\mathbf{X}}^0}\tilde{\mathbf{x}}+f(\mathbf{L},{\mathbf{X}}^0)=0\\ \Phi (\tilde{\mathbf{X}})=\Phi ({\mathbf{X}}^0+\tilde{x})={\frac{\partial f}{\partial \tilde{\mathbf{X}}}|}_{{\mathbf{X}}^0}\tilde{\mathbf{x}}+\Phi ({\mathbf{X}}^0)=0\end{array}$$

记作统一线性形式

$$\begin{array}{c}\mathbf{A}\mathbf{\Delta }+\mathbf{B}\tilde{\mathbf{x}}-\mathbf{W}=0\\ \mathbf{C}\tilde{\mathbf{x}}-{\mathbf{W}}_x=0\end{array}$$

平差估计

真值与估计

前面的函数模型使用：

• 真值 $\tilde{\mathbf{L}}$ 对应的真误差 $\mathbf{\Delta }$
• 参数真值 $\tilde{\mathbf{X}}$ 对应的改正数真值 $\tilde{\mathbf{x}}$

构建模型。但实际上通常真值不可知，平差的目标就是通过观测数据得到：

• $\mathbf{\Delta }$ 的估计值 $\mathbf{V}$，称 观测值改正数向量 或 残差
• $\tilde{\mathbf{x}}$ 的估计值 $\hat{\mathbf{x}}$，称 参数改正数

由此，四种平差模型改造为：

• 条件平差

  $$A_{r\times n}{V}_{n\times 1}-W_{r\times 1}=0_{r\times 1}$$

• 带参数的条件平差

  $$A_{c\times n}{V}_{n\times 1}+B_{c\times u}{\hat{\mathbf{x}}}_{u\times 1}-W_{c\times 1}=0_{c\times 1}$$

• 间接平差

  $$V_{n\times 1}=B_{n\times t}{\hat{\mathbf{x}}}_{t\times 1}-l_{n\times 1}$$

• 带约束的间接平差

  $$\{\begin{array}{l}{V}_{n\times 1}=B_{n\times t}{\hat{\mathbf{x}}}_{t\times 1}-l_{n\times 1}\\ C_{s\times u}{\tilde{\mathbf{x}}}_{u\times 1}-{{\mathbf{W}}_x}_{s\times 1}=0_{s\times 1}\end{array}$$

随机模型

随机模型用于描述观测量及误差的统计性质。常用形式：

$$E(\mathbf{\Delta })=0,{\mathbf{D}}_{\Delta \Delta }={\sigma }_0^2{\mathbf{Q}}_{\Delta \Delta }={\sigma }_0^2{\mathbf{P}}^{-1}$$

由于 $\tilde{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{\Delta }$，有

$${\mathbf{D}}_{LL}={\mathbf{D}}_{\Delta \Delta },{\mathbf{Q}}_{LL}={\mathbf{Q}}_{\Delta \Delta },{\mathbf{P}}_L={\mathbf{P}}_{\Delta }$$

IMPORTANT

• 平差前通常给定 $\mathbf{P}$（或 $\mathbf{Q}$）作为先验随机信息
• 平差后再估计单位权方差与后验协方差阵

参数估计与最优估值

测量平差本质是参数估计问题：用有限观测样本推断总体参数。

优良估值常用三条标准：

• 无偏性：$E(\tilde{\mathbf{x}})=\tilde{\mathbf{x}}$
• 一致性：$n\to \infty$ 时 $\tilde{\mathbf{x}}$ 依概率收敛到真值
• 有效性：在无偏估计类中方差最小（即 BLUE 思想）

最小二乘原理

基本准则

对线性模型

$$\mathbf{V}=\mathbf{B}\tilde{\mathbf{x}}-\mathbf{l}$$

按最小二乘准则取

$${\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}=\min$$

法方程写为

$${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}\tilde{\mathbf{x}}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}$$

解得

$$\tilde{\mathbf{x}}={\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}\right)}^{-1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}$$

等精度与不等精度

• 等精度观测：$\mathbf{P}=\mathbf{I}$，目标函数为 $\sum v_i^2=\min$
• 不等精度观测：$\mathbf{P}=\mathrm{diag}(p_1,\dots ,p_n)$，目标函数为 $\sum p_i{v}_i^2=\min$

例

对同一量 $x$ 做 $n$ 次独立不等精度观测，观测向量

$$\mathbf{l}=[l_1,l_2,\dots ,l_n{]}^{\mathrm{T}},\mathbf{P}=\mathrm{diag}(p_1,p_2,\dots ,p_n)$$

模型写成 $\mathbf{V}=\mathbf{B}\tilde{x}-\mathbf{l}$，其中 $\mathbf{B}=[1,1,\dots ,1{]}^{\mathrm{T}}$。

由最小二乘法方程

$${\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}\tilde{x}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}$$

得到

$$\tilde{x}=\frac{{\sum }_{i=1}^n{p}_i{l}_i}{{\sum }_{i=1}^n{p}_i}$$

即不等精度加权平均值。

最小二乘与极大似然

当观测向量服从正态分布时，极大似然估计与最小二乘估计等价。

因此在正态假设下，最大化似然函数等价于最小化二次型

$$(\mathbf{l}-\tilde{\mathbf{l}}{)}^{\mathrm{T}}{\mathbf{D}}_{ll}^{-1}(\mathbf{l}-\tilde{\mathbf{l}})⟺{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}$$

NOTE

• 极大似然依赖总体分布假设
• 最小二乘可作为更一般的估计准则使用

小结

• 几何模型中有 $r=n-t$ 个多余观测，就有 $r$ 个独立条件方程
• 平差数学模型由函数模型与随机模型共同构成
• 四类基本函数模型可统一到线性误差方程框架
• 最小二乘核心准则是 ${\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}=\min$
• 在线性模型下通过法方程求参数改正数，再求参数估值与观测平差值