8 间接平差

引入

考虑下面的水准网。

$$n=9,t=5,r=4$$

网型复杂，条件方程较难列立。因此不妨转换思路，直接用各点高程表达测量值。设点 $i$ 的高程值为 $x_i$，则有：

$$\begin{array}{rlrlrl}{\hat{y}}_1& ={\hat{x}}_4-x_0& {\hat{y}}_2& ={\hat{x}}_1-{\hat{x}}_4& {\hat{y}}_3& =x_0-{\hat{x}}_1\\ {\hat{y}}_4& ={\hat{x}}_2-{\hat{x}}_1& {\hat{y}}_5& ={\hat{x}}_5-{\hat{x}}_2& {\hat{y}}_6& ={\hat{x}}_4-{\hat{x}}_5\\ {\hat{y}}_7& ={\hat{x}}_3-{\hat{x}}_4& {\hat{y}}_8& ={\hat{x}}_5-{\hat{x}}_3& {\hat{y}}_9& ={\hat{x}}_2-{\hat{x}}_3\end{array}$$

以矩阵方式表达为 $\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{X}}+\mathbf{d}$：

$$\left[\begin{array}{c}{\hat{y}}_1\\ {\hat{y}}_2\\ {\hat{y}}_3\\ {\hat{y}}_4\\ {\hat{y}}_5\\ {\hat{y}}_6\\ {\hat{y}}_7\\ {\hat{y}}_8\\ {\hat{y}}_9\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& -1& 0\\ -1& 0& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& -1& 0& 1\\ 0& 1& -1& 0& 0\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{\hat{x}}_1\\ {\hat{x}}_2\\ {\hat{x}}_3\\ {\hat{x}}_4\\ {\hat{x}}_5\end{array}\right]+\left[\begin{array}{c}-x_0\\ 0\\ x_0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\\ 0\end{array}\right]$$

间接平差的核心：将观测估值向量 $\hat{\mathbf{L}}$ 表达为参数估值向量 $\hat{\mathbf{X}}$ 和基准向量 $\mathbf{d}$ 的函数。

建模

基本计数关系

• 观测值个数：$n$
• 独立参数个数：$t$
• 多余观测数：$r=n-t$

线性函数模型

$$\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{X}}+\mathbf{d}$$

其中：

• $\mathbf{B}\in {\mathbb{R}}^{n\times t}$：设计矩阵，参数独立因此列满秩，$\mathrm{rank}(\mathbf{B})=t$
• $\mathbf{d}\in {\mathbb{R}}^{n\times 1}$：已知常向量（起算数据等）

令

$$\hat{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}_0+\hat{\mathbf{x}},\mathbf{l}=\mathbf{L}-\mathbf{B}{\mathbf{X}}_0-\mathbf{d}$$

得到误差方程

$$\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l}$$

随机模型为

$$\mathbf{D}={\sigma }_0^2\mathbf{Q}={\sigma }_0^2{\mathbf{P}}^{-1}$$

TIP

非线性模型（如边长、角度方程）先在近似值处一阶线性化，再按上式组建 $\mathbf{B},\mathbf{l}$，通常需迭代至改正数足够小。

求解

目标函数取最小：

$${\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}=\min$$

在约束 $\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l}$ 下，设联系数向量 ${\mathbf{k}}_{n\times 1}$，得拉格朗日条件极值函数：

$$\mathbf{\Phi }={\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{V}-\mathbf{l})=\min$$$$\begin{array}{rl}\frac{\mathrm{d}\mathbf{\Phi }}{\mathrm{d}\mathbf{V}}& =2{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}=0\Rightarrow \mathbf{k}=\mathbf{PV}\\ \frac{\mathrm{d}\mathbf{\Phi }}{\mathrm{d}\hat{\mathbf{x}}}& =2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}=0\Rightarrow {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}=0\end{array}\Rightarrow {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}=0$$$$\{\begin{array}{l}\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l}\Rightarrow \mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}=\mathbf{V}+\mathbf{l}\\ {\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}=0\end{array}\Rightarrow \begin{array}{rl}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PB}\hat{\mathbf{x}}& ={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}(\mathbf{V}+\mathbf{l})\\ & =\cancel{{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}}+{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Pl}\end{array}$$

令 ${\mathbf{N}}_{bb}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}$，$\mathbf{U}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}$，得法方程

$${\mathbf{N}}_{bb}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{U}=0$$

故

$$\hat{\mathbf{x}}={\mathbf{N}}_{bb}^{-1}\mathbf{U}={\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}\right)}^{-1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}$$

再求

$$\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l},\hat{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}_0+\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}$$

最终公式

令 $\mathbf{l}=\mathbf{L}-\mathbf{B}{\mathbf{X}}_0-\mathbf{d}$，有

$$\hat{\mathbf{x}}={\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}\right)}^{-1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}$$

则可求得改正结果

$$\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l},\hat{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}_0+\hat{\mathbf{x}},\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}$$

例 1

在该水准网中，已知

$$\begin{array}{rlrl}{y}_1& =+2.362m& s_1& =1.3\mathrm{km}\\ y_2& =+1.352m& s_2& =2.5\mathrm{km}\\ y_3& =-3.717m& s_3& =3.1\mathrm{km}\\ y_4& =+0.582m& s_4& =2.7\mathrm{km}\\ y_5& =-1.132m& s_5& =0.9\mathrm{km}\\ y_6& =-0.799m& s_6& =1.1\mathrm{km}\\ y_7& =+1.874m& s_7& =1.5\mathrm{km}\\ y_8& =-1.074m& s_8& =0.8\mathrm{km}\\ y_9& =+0.060m& s_9& =1.2\mathrm{km}\end{array}$$

求解各观测值平差值与各点高程平差值。

---

依题意有观测值向量

$$\mathbf{y}=[+2.362,+1.352,-3.717,+0.582,-1.132,-0.799,+1.874,-1.074,+0.060{]}^{\mathrm{T}}m$$

有权阵

$$\mathbf{P}=\mathrm{diag}\left(\frac{1}{1.3},\frac{1}{2.5},\frac{1}{3.1},\frac{1}{2.7},\frac{1}{0.9},\frac{1}{1.1},\frac{1}{1.5},\frac{1}{0.8},\frac{1}{1.2}\right)$$

有设计矩阵

$$\mathbf{B}=\left[\begin{array}{ccccc}0& 0& 0& 1& 0\\ 1& 0& 0& -1& 0\\ -1& 0& 0& 0& 0\\ -1& 1& 0& 0& 0\\ 0& -1& 0& 0& 1\\ 0& 0& 0& 1& -1\\ 0& 0& 1& -1& 0\\ 0& 0& -1& 0& 1\\ 0& 1& -1& 0& 0\end{array}\right]$$

故有

$$\mathbf{U}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{Pl}=[-1.2,-9.2,+1.3,+1.2,+7.9{]}^{\mathrm{T}}\mathrm{mm}$$$${\mathbf{N}}_{bb}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PB}=\left[\begin{array}{ccccc}+1.0930& -0.3704& +0.0000& -0.4000& +0.0000\\ -0.3704& +2.3148& -0.8333& +0.0000& -1.1111\\ +0.0000& -0.8333& +2.7500& -0.6667& -1.2500\\ -0.4000& +0.0000& -0.6667& +2.7450& -0.9091\\ +0.0000& -1.1111& -1.2500& -0.9091& +3.2702\end{array}\right]$$

解得

$$\hat{\mathbf{x}}={\mathbf{N}}_{bb}^{-1}\mathbf{U}=[-1.9,-3.3,+0.4,+0.8,+1.7{]}^{\mathrm{T}}\mathrm{mm}$$

故有参数估值（各点高程平差值）：

$$\hat{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}^0+\hat{\mathbf{x}}=[5.083,5.664,5.604,3.731,4.531{]}^{\mathrm{T}}m$$

得到观测值误差估值

$$\begin{array}{rl}\mathbf{V}& =\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l}\\ & =[-0.8,-0.3,-1.9,+1.4,+1.0,+0.9,+0.4,-0.3,+0.7{]}^{\mathrm{T}}\mathrm{mm}\end{array}$$

有观测值估值：

$$\begin{array}{rl}\hat{\mathbf{L}}& =\mathbf{L}+\mathbf{V}\\ & =[+2.3612,+1.3517,-3.7189,+0.5834,-1.131,-0.7981,+1.8744,-1.0743,+0.0607]m\end{array}$$

例 2

$$\begin{array}{ccccc}x/\mathrm{cm}& 1& 2& 3& 4\\ y/\mathrm{cm}& 1.90& 2.70& 3.35& 4.32\end{array}$$

为确定某一抛物线方程 $y^2=ax$，观测了如上的 4 组数据，且 $x_i$ 无误差，$y_i$ 为相互独立的等精度观测值，试用间接平差求：

1. 该抛物线方程；
2. 待定系数 $\hat{a}$ 的中误差。

---

依题意，有 $n=4,t=1,r=n-t=3$。

令 $\Gamma =\sqrt{a}$，则

$${\hat{y}}_i=\hat{\Gamma }\sqrt{x_i}$$

有

$$\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{B}\hat{\Gamma }$$

其中

$$\mathbf{L}=\left[\begin{array}{c}1.90\\ 2.70\\ 3.35\\ 4.32\end{array}\right],\mathbf{B}=\left[\begin{array}{c}1\\ \sqrt{2}\\ \sqrt{3}\\ 2\end{array}\right]$$

取近似值

$${\Gamma }_0=\frac{1}{4}\sum \frac{y_i}{\sqrt{x_i}}=1.97583$$

设

$$\hat{\Gamma }={\Gamma }_0+\hat{\lambda }$$

因观测值等精度，故

$$\mathbf{P}=\mathbf{I}$$

误差方程为

$$\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\lambda }-\mathbf{l}$$

其中

$$\mathbf{l}=\mathbf{L}-\mathbf{B}{\Gamma }_0=\left[\begin{array}{c}-0.07583\\ -0.09455\\ -0.07224\\ +0.36834\end{array}\right]$$

法方程为

$${\mathbf{N}}_{bb}\hat{\lambda }-\mathbf{U}=0$$

其中

$$\begin{array}{c}{\mathbf{N}}_{bb}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{B}=10\\ \mathbf{U}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{l}=0.40245\end{array}$$

故

$$\hat{\lambda }={\mathbf{N}}_{bb}^{-1}\mathbf{U}=\frac{1}{10}\times 0.40245=0.04025$$

于是

$$\begin{array}{c}\hat{a}={\hat{\Gamma }}^2=4.06458\\ \hat{\Gamma }={\Gamma }_0+\hat{\lambda }=2.01608\end{array}$$

又有

$${\mathbf{Q}}_{\hat{\lambda }\hat{\lambda }}={\mathbf{N}}_{bb}^{-1}=\frac{1}{10}$$

改正数为

$$\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\lambda }-\mathbf{l}=\left[\begin{array}{c}+0.11608\\ +0.15117\\ +0.14195\\ -0.28784\end{array}\right]$$

单位权方差估值为

$${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}}{r}=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{V}}{3}=0.04644$$

由误差传播定律，

$${\mathbf{Q}}_{\hat{a}\hat{a}}=(2\hat{\Gamma }{)}^2{\mathbf{Q}}_{\hat{\lambda }\hat{\lambda }}=1.62583$$

故

$$D_{\hat{a}\hat{a}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathbf{Q}}_{\hat{a}\hat{a}}=0.07550={\sigma }_{\hat{a}}^2$$

因此

$${\sigma }_{\hat{a}}=\sqrt{{\sigma }_{\hat{a}}^2}=0.27478$$

综上，有

$$\hat{a}=4.065,{\sigma }_{\hat{a}}=0.275$$

抛物线方程近似为 $y^2=4.065x$。

精度评定

参数估值协因数阵

$$\begin{array}{c}{\mathbf{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}={\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}\right)}^{-1}\\ {\mathbf{D}}_{\hat{x}\hat{x}}={\sigma }_0^2{\mathbf{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}\end{array}$$

平差观测值协因数阵

由

$$\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{X}}+\mathbf{d}=\mathbf{B}\left({\mathbf{X}}_0+\hat{\mathbf{x}}\right)+\mathbf{d}$$

可得

$${\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathbf{B}{\mathbf{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{B}{\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}\right)}^{-1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$$$${\mathbf{D}}_{\hat{L}\hat{L}}={\sigma }_0^2{\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}$$

残差协因数阵

$${\mathbf{Q}}_{VV}=\mathbf{Q}-{\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathbf{Q}-\mathbf{B}{\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}\right)}^{-1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$$

类似条件平差，有

$${\mathbf{Q}}_{\hat{L}V}=0$$

即平差值与改正数不相关，$\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}+{\mathbf{Q}}_{VV}$。

单位权方差估值

$${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}}{n-t}=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}}{r}$$

参数函数精度

若

$$\hat{\mathbf{F}}=\mathbf{M}\hat{\mathbf{X}}+{\mathbf{M}}_0$$

则

$${\mathbf{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}=\mathbf{M}{\mathbf{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}{\mathbf{M}}^{\mathrm{T}},{\mathbf{D}}_{\hat{F}\hat{F}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathbf{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}$$

公式总结

平差步骤	公式
列参数方程	$\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l}$，$\mathbf{l}=\mathbf{L}-\mathbf{B}{\mathbf{X}}_0-\mathbf{d}$
组成法方程	${\mathbf{N}}_{bb}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{U}=0$，${\mathbf{N}}_{bb}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}$，$\mathbf{U}={\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}$
法方程解	$\hat{\mathbf{x}}={\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}\right)}^{-1}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{l}$
计算改正数	$\mathbf{V}=\mathbf{B}\hat{\mathbf{x}}-\mathbf{l}$
参数 / 观测平差值	$\hat{\mathbf{X}}={\mathbf{X}}_0+\hat{\mathbf{x}}$，$\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}$
单位权方差估值	${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}}{n-t}$
协因数阵	${\mathbf{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}={\left({\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{B}\right)}^{-1}$，${\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathbf{B}{\mathbf{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}$，${\mathbf{Q}}_{VV}=\mathbf{Q}-{\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}$