13 统计假设检验

基本思想

参数估计是由有限样本推断总体参数；假设检验是根据样本信息判断总体是否具有某种指定特征。

假设检验的依据是：小概率事件在一次试验中通常不会发生。

常见应用：

• 检验观测中是否存在系统误差
• 比较两组观测精度是否有显著差异
• 判断标称精度是否与观测数据相符
• 检验平差后验方差与先验方差是否一致

检验步骤

1. 根据问题建立原假设 $H_0$ 和备择假设 $H_1$
2. 选显著性水平 $\alpha$
3. 选检验统计量，并在 $H_0$ 成立时确定其分布
4. 由 $\alpha$ 查分位值，确定接受域和拒绝域
5. 将样本统计量代入判断：落入拒绝域则拒绝 $H_0$，否则接受 $H_0$

两类错误：

错误	含义	概率
第一类错误	$H_0$ 实际成立，却拒绝 $H_0$，即弃真	$\alpha$
第二类错误	$H_0$ 实际不成立，却接受 $H_0$，即纳伪	$\beta$

在样本容量一定时，$\alpha$ 和 $\beta$ 通常不能同时减小。

常用参数检验

下面用 $q_p(\cdot )$ 表示累计概率为 $p$ 的分位值。双侧检验接受域通常取中间 $1-\alpha$ 的概率区间。

u 检验

用于方差已知时的正态总体均值检验。

单个总体：

$$H_0:\mu ={\mu }_0,u=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{\sigma /\sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

双侧检验接受域：

$$|u|\le u_{\alpha /2}$$

这里 $u_{\alpha /2}$ 通常指标准正态分布的双侧临界值，如 $\alpha =0.05$ 时 $u_{\alpha /2}=1.96$。

两个总体，方差已知：

$$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2={\mathrm{\Delta }}_0$$$$u=\frac{(\overline{x}-\overline{y})-{\mathrm{\Delta }}_0}{\sqrt{{\displaystyle \frac{{\sigma }_1^2}{n_1}}+{\displaystyle \frac{{\sigma }_2^2}{n_2}}}}\sim N(0,1)$$

常用于已知仪器标称精度时，检验平均误差或闭合差均值是否显著偏离理论值。

t 检验

用于方差未知时的正态总体均值检验。

单个总体：

$$H_0:\mu ={\mu }_0,t=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

其中

$$s^2=\frac{1}{n-1}\sum _{i=1}^n(x_i-\overline{x}{)}^2$$

双侧检验接受域：

$$|t|\le t_{\alpha /2}(n-1)$$

两个总体，方差未知但可认为相等：

$$H_0:{\mu }_1-{\mu }_2={\mathrm{\Delta }}_0$$$$t=\frac{(\overline{x}-\overline{y})-{\mathrm{\Delta }}_0}{s_p\sqrt{{\displaystyle \frac{1}{n_1}}+{\displaystyle \frac{1}{n_2}}}}\sim t(n_1+n_2-2)$$$$s_p^2=\frac{(n_1-1)s_1^2+(n_2-1)s_2^2}{n_1+n_2-2}$$

常用于仪器精度未知时，检验一组观测是否存在显著系统误差。

${\chi }^2$ 检验

用于单个正态总体方差检验。

$$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$$$${\chi }^2=\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

双侧检验接受域：

$$q_{\alpha /2}({\chi }_{n-1}^2)\le {\chi }^2\le q_{1-\alpha /2}({\chi }_{n-1}^2)$$

常用于检验观测精度是否与标称精度一致。

F 检验

用于两个正态总体方差检验。

$$H_0:{\sigma }_1^2={\sigma }_2^2$$$$F=\frac{s_1^2}{s_2^2}\sim F(n_1-1,n_2-1)$$

双侧检验接受域：

$$q_{\alpha /2}(F_{n_1-1,n_2-1})\le F\le q_{1-\alpha /2}(F_{n_1-1,n_2-1})$$

实际计算时也常把较大的样本方差放在分子，使 $F\ge 1$，再按右侧临界值判断。

常用于比较两期观测、两台仪器或两种方案的精度是否有显著差异。

检验方法选择

检验目的	方差情况	检验方法
单个总体均值	方差已知	$u$ 检验
单个总体均值	方差未知	$t$ 检验
两个总体均值	方差已知	$u$ 检验
两个总体均值	方差未知且可认为相等	$t$ 检验
单个总体方差	与标称方差比较	${\chi }^2$ 检验
两个总体方差	比较两组精度	$F$ 检验

• 检验系统误差：多看均值，用 $u$ 或 $t$
• 检验精度：多看方差，用 ${\chi }^2$ 或 $F$

偶然误差特性的检验

偶然误差应满足有界性、趋向性、对称性、抵偿性。若误差列明显违背这些性质，可能存在系统误差、粗差或模型问题。

设误差列为

$${\mathrm{\Delta }}_1,{\mathrm{\Delta }}_2,\cdots ,{\mathrm{\Delta }}_n$$

正负误差个数检验

偶然误差正负号应大致相等。

令正误差个数为 $k$。在 $H_0$ 成立时，

$$k\sim B(n,\frac{1}{2})$$

当 $n$ 较大时，可用正态近似：

$$u=\frac{k-{\displaystyle \frac{n}{2}}}{\sqrt{n/4}}\sim N(0,1)$$

双侧检验：

$$|u|\le u_{\alpha /2}$$

若不满足，说明误差符号偏向某一侧，可能存在系统误差。

正负误差顺序检验

正负个数相近不代表误差没有系统趋势。若前一段多为正、后一段多为负，也可能有系统误差。

令相邻误差同号的对数为 $s$。共有 $n-1$ 对相邻误差，在 $H_0$ 成立时近似有

$$E(s)=\frac{n-1}{2},D(s)=\frac{n-1}{4}$$

检验统计量为

$$u=\frac{s-{\displaystyle \frac{n-1}{2}}}{\sqrt{(n-1)/4}}\sim N(0,1)$$

双侧检验：

$$|u|\le u_{\alpha /2}$$

若同号对数过多，说明误差有连续偏向；若同号对数过少，说明正负交替异常。

误差数值总和检验

偶然误差应具有抵偿性，误差和应接近 $0$。

若已知中误差 $\sigma$：

$$u=\frac{\sum _{i=1}^n{\mathrm{\Delta }}_i}{\sigma \sqrt{n}}\sim N(0,1)$$

若 $\sigma$ 未知，可用误差列估计中误差 $m$ 代替：

$$u\approx \frac{\sum _{i=1}^n{\mathrm{\Delta }}_i}{m\sqrt{n}}$$

双侧检验：

$$|u|\le u_{\alpha /2}$$

若不满足，说明误差总和偏离零较明显，可能存在系统误差。

单个误差超限检验

偶然误差具有有界性。通常用极限误差判断单个误差是否异常：

$$|{\mathrm{\Delta }}_i|\le km$$

常用 $k=3$，即

$$|{\mathrm{\Delta }}_i|\le 3m$$

若某个误差超过限值，应优先检查粗差、记录错误或观测条件异常。

后验方差检验

测量平差依赖函数模型和随机模型。若模型正确，则先验单位权方差 ${\sigma }_0^2$ 与后验单位权方差估值

$${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{r}$$

应统计一致。

建立假设

$$H_0:{\sigma }^2={\sigma }_0^2$$

检验统计量为

$${\chi }^2=\frac{r{\hat{\sigma }}_0^2}{{\sigma }_0^2}=\frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{{\sigma }_0^2}\sim {\chi }^2(r)$$

接受域为

$$q_{\alpha /2}({\chi }_r^2)\le \frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{{\sigma }_0^2}\le q_{1-\alpha /2}({\chi }_r^2)$$

若拒绝 $H_0$，说明后验方差与先验方差不一致，可能原因包括：

• 函数模型有偏差
• 起算数据不正确
• 观测值含系统误差或粗差
• 定权不正确
• 参数近似值太差，线性化误差明显

参数区间估计

区间估计给出参数真值可能出现的范围，以及该范围包含真值的可信程度。

总体均值的置信区间

方差已知：

$$\mu \in [\overline{x}-u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}},\overline{x}+u_{\alpha /2}\frac{\sigma }{\sqrt{n}}]$$

方差未知：

$$\mu \in [\overline{x}-t_{\alpha /2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}},\overline{x}+t_{\alpha /2}(n-1)\frac{s}{\sqrt{n}}]$$

置信度为 $1-\alpha$。

总体方差的置信区间

对正态总体，有

$$\frac{(n-1)s^2}{{\sigma }^2}\sim {\chi }^2(n-1)$$

因此总体方差的 $1-\alpha$ 置信区间为

$${\sigma }^2\in [\frac{(n-1)s^2}{q_{1-\alpha /2}({\chi }_{n-1}^2)},\frac{(n-1)s^2}{q_{\alpha /2}({\chi }_{n-1}^2)}]$$

解题模板

1. 写假设

   • $H_0$：无显著差异或无系统误差
   • $H_1$：有显著差异或有系统误差

2. 判断检验对象

   • 均值问题：$u$ 或 $t$

   • 方差问题：${\chi }^2$ 或 $F$

   • 后验方差问题：${\chi }^2(r)$

3. 写统计量和分布

   例：

   $$t=\frac{\overline{x}-{\mu }_0}{s/\sqrt{n}}\sim t(n-1)$$

4. 查临界值，写接受域

   例如双侧：

   $$|t|\le t_{\alpha /2}(n-1)$$

5. 代入样本值判断，解释结论

   • 接受 $H_0$：没有显著系统误差、精度无显著差异、标称精度基本一致
   • 拒绝 $H_0$：存在显著系统误差、精度有显著差异、随机模型或函数模型可能有问题