12 误差椭圆

点位误差

设平面点 $P$ 的真坐标为 $({\tilde{x}}_p,{\tilde{y}}_p)$，平差坐标为 $({\hat{x}}_p,{\hat{y}}_p)$，则点位真误差为

$$\Delta x={\tilde{x}}_p-{\hat{x}}_p,\Delta y={\tilde{y}}_p-{\hat{y}}_p,\Delta P=\sqrt{\Delta x^2+\Delta y^2}$$

点位方差定义为

$${\sigma }_P^2=E(\Delta P^2)=E(\Delta x^2)+E(\Delta y^2)={\sigma }_x^2+{\sigma }_y^2$$

若单位权中误差为 ${\sigma }_0$，点 $P$ 的坐标协因数阵为

$${\mathbf{Q}}_{XX}=\left[\begin{array}{cc}{Q}_{xx}& Q_{xy}\\ Q_{xy}& Q_{yy}\end{array}\right]$$

则

$${\sigma }_P^2={\sigma }_0^2(Q_{xx}+Q_{yy}),{\sigma }_P={\sigma }_0\sqrt{Q_{xx}+Q_{yy}}$$

点位方差与坐标轴选取无关。任意两个互相垂直方向上的位差平方之和都等于点位方差。

任意方向上的位差

设方向 $\phi$ 从 $x$ 轴正向起算，点位误差在该方向上的投影为

$${\Delta }_{\phi }=\Delta x\cos \phi +\Delta y\sin \phi$$

其协因数和方差为

$$\begin{array}{rl}{Q}_{\phi \phi }& =\left[\begin{array}{cc}\cos \phi & \sin \phi \end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}{Q}_{xx}& Q_{xy}\\ Q_{xy}& Q_{yy}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\cos \phi \\ \sin \phi \end{array}\right]\\ & =Q_{xx}{\cos }^2\phi +Q_{yy}{\sin }^2\phi +Q_{xy}\sin 2\phi \end{array}$$$${\sigma }_{\phi }^2={\sigma }_0^2{Q}_{\phi \phi }$$

垂直方向 $\phi +90^{\circ }$ 上有

$$Q_{\phi +90^{\circ },\phi +90^{\circ }}=Q_{xx}{\sin }^2\phi +Q_{yy}{\cos }^2\phi -Q_{xy}\sin 2\phi$$

因此

$${\sigma }_{\phi }^2+{\sigma }_{\phi +90^{\circ }}^2={\sigma }_0^2(Q_{xx}+Q_{yy})={\sigma }_P^2$$

位差极值

任意方向位差的极值方向由

$$\frac{\mathrm{d}{Q}_{\phi \phi }}{\mathrm{d}\phi }=0$$

得到

$$\tan 2{\phi }_0=\frac{2Q_{xy}}{Q_{xx}-Q_{yy}}$$

这给出两个互相垂直的方向：一个为极大位差方向，一个为极小位差方向。

令

$$K=\sqrt{(Q_{xx}-Q_{yy}{)}^2+4Q_{xy}^2}$$

则最大、最小协因数为

$$Q_E=\frac{1}{2}(Q_{xx}+Q_{yy}+K),Q_F=\frac{1}{2}(Q_{xx}+Q_{yy}-K)$$

对应位差为

$$E={\sigma }_0\sqrt{Q_E},F={\sigma }_0\sqrt{Q_F}$$

其中 $E$ 称为误差椭圆长半轴，$F$ 称为误差椭圆短半轴。

极大方向 ${\phi }_E$ 可用特征向量公式确定：

$$\tan {\phi }_E=\frac{Q_{xy}}{Q_E-Q_{yy}}=\frac{Q_E-Q_{xx}}{Q_{xy}}$$

极小方向为

$${\phi }_F={\phi }_E+90^{\circ }$$

若 $Q_{xy}=0$，则坐标轴方向就是极值方向：

• $Q_{xx}>Q_{yy}$ 时，$x$ 方向为 $E$ 轴，$y$ 方向为 $F$ 轴
• $Q_{xx}<Q_{yy}$ 时，$y$ 方向为 $E$ 轴，$x$ 方向为 $F$ 轴

误差曲线与误差椭圆

误差曲线

误差曲线是以方向角 $\phi$ 和该方向位差 ${\sigma }_{\phi }$ 为极坐标的轨迹。

若从 $E$ 轴方向起算角度 $\psi$，则

$${\sigma }_{\psi }^2=E^2{\cos }^2\psi +F^2{\sin }^2\psi$$

误差曲线形如花生。

误差曲线能直接表示任意方向的位差，但不是标准曲线，作图和使用不方便。

误差椭圆

误差椭圆以 $E,F$ 为半轴，在主轴坐标系下方程为

$$\frac{x_E^2}{E^2}+\frac{y_F^2}{F^2}=1$$

误差曲线是误差椭圆的垂足曲线：从椭圆中心作某方向射线，再作垂直于该方向的椭圆切线，中心到切线的距离即为该方向的位差。

因此误差椭圆本身不表示点位误差的轨迹，而是用于图解各方向位差的工具。

相对误差椭圆

普通点位误差椭圆描述待定点相对于已知基准的点位精度；相对误差椭圆描述两个待定点之间的相对位置精度。

对待定点 $i,j$，令

$$\Delta x_{ij}={\hat{x}}_j-{\hat{x}}_i,\Delta y_{ij}={\hat{y}}_j-{\hat{y}}_i$$

则坐标差协因数为

$$\begin{array}{rl}{Q}_{\Delta x\Delta x}& =Q_{x_i{x}_i}+Q_{x_j{x}_j}-2Q_{x_i{x}_j}\\ Q_{\Delta y\Delta y}& =Q_{y_i{y}_i}+Q_{y_j{y}_j}-2Q_{y_i{y}_j}\\ Q_{\Delta x\Delta y}& =Q_{x_i{y}_i}-Q_{x_j{y}_i}-Q_{x_i{y}_j}+Q_{x_j{y}_j}\end{array}$$

将

$$Q_{xx},Q_{yy},Q_{xy}\text{替换为}{Q}_{\Delta x\Delta x},Q_{\Delta y\Delta y},Q_{\Delta x\Delta y}$$

即可按同样公式计算相对误差椭圆的 $E,F,{\phi }_E$。

若点 $i$ 为已知点，其坐标协因数为 $0$，相对误差椭圆退化为点 $j$ 的普通误差椭圆。

点位落入误差椭圆内的概率

以 $E,F$ 为标准半轴时，点位误差服从二维正态分布。若取 $\lambda$ 倍误差椭圆

$$B_{\lambda }:\frac{x_E^2}{(\lambda E{)}^2}+\frac{y_F^2}{(\lambda F{)}^2}\le 1$$

则点落入该椭圆内的概率为

$$P(B_{\lambda })=1-\exp \left(-\frac{{\lambda }^2}{2}\right)$$

常用值：

$\lambda$	$P(B_{\lambda })$
$1$	$0.3935$
$2$	$0.8647$
$3$	$0.9889$
$4$	$0.9997$

注意一维正态分布中 $\pm 1\sigma$ 的概率约为 $68.3\%$，但二维标准误差椭圆内的概率只有约 $39.35\%$。

解题流程

已知某点坐标协因数阵和单位权中误差，求误差椭圆：

1. 取出

$${\mathbf{Q}}_{XX}=\left[\begin{array}{cc}{Q}_{xx}& Q_{xy}\\ Q_{xy}& Q_{yy}\end{array}\right]$$

2. 计算

$$K=\sqrt{(Q_{xx}-Q_{yy}{)}^2+4Q_{xy}^2}$$

3. 求主轴协因数

$$Q_E=\frac{1}{2}(Q_{xx}+Q_{yy}+K),Q_F=\frac{1}{2}(Q_{xx}+Q_{yy}-K)$$

4. 求半轴长度

$$E={\sigma }_0\sqrt{Q_E},F={\sigma }_0\sqrt{Q_F}$$

5. 求主轴方向

$$\tan {\phi }_E=\frac{Q_{xy}}{Q_E-Q_{yy}}\text{或}\tan 2{\phi }_E=\frac{2Q_{xy}}{Q_{xx}-Q_{yy}}$$

6. 若要求任意方向位差，先将方向角化为从 $E$ 轴起算的角

$$\psi =\phi -{\phi }_E$$

再用

$${\sigma }_{\psi }=\sqrt{E^2{\cos }^2\psi +F^2{\sin }^2\psi }$$

相对误差椭圆题目则先由两点坐标协因数阵求出坐标差协因数阵。