12 误差椭圆

点位误差

设平面点 $P$ 的真坐标为 $({\tilde{x}}_{p}, {\tilde{y}}_{p})$ ，平差坐标为 $({\hat{x}}_{p}, {\hat{y}}_{p})$ ，则点位真误差为

Δ x = {\tilde{x}}_{p} - {\hat{x}}_{p}, Δ y = {\tilde{y}}_{p} - {\hat{y}}_{p}, Δ P = \sqrt{Δ x^{2} + Δ y^{2}}

点位方差定义为

σ_{P}^{2} = E (Δ P^{2}) = E (Δ x^{2}) + E (Δ y^{2}) = σ_{x}^{2} + σ_{y}^{2}

若单位权中误差为 $σ_{0}$ ，点 $P$ 的坐标协因数阵为

Q_{X X} = [\begin{matrix} Q_{x x} & Q_{x y} \\ Q_{x y} & Q_{y y} \end{matrix}]

则

σ_{P}^{2} = σ_{0}^{2} (Q_{x x} + Q_{y y}), σ_{P} = σ_{0} \sqrt{Q_{x x} + Q_{y y}}

点位方差与坐标轴选取无关。任意两个互相垂直方向上的位差平方之和都等于点位方差。

任意方向上的位差

设方向 $φ$ 从 $x$ 轴正向起算，点位误差在该方向上的投影为

Δ_{φ} = Δ x \cos φ + Δ y \sin φ

其协因数和方差为

\begin{aligned} Q_{φ φ} & = [\begin{array}{c} \cos φ & \sin φ \end{array}] [\begin{array}{c} Q_{x x} & Q_{x y} \\ Q_{x y} & Q_{y y} \end{array}] [\begin{array}{c} \cos φ \\ \sin φ \end{array}] \\ = Q_{x x} \cos^{2} φ + Q_{y y} \sin^{2} φ + Q_{x y} \sin 2 φ \end{aligned}

σ_{φ}^{2} = σ_{0}^{2} Q_{φ φ}

垂直方向 $φ + 90^{\circ}$ 上有

Q_{φ + 90^{\circ}, φ + 90^{\circ}} = Q_{x x} \sin^{2} φ + Q_{y y} \cos^{2} φ - Q_{x y} \sin 2 φ

因此

σ_{φ}^{2} + σ_{φ + 90^{\circ}}^{2} = σ_{0}^{2} (Q_{x x} + Q_{y y}) = σ_{P}^{2}

位差极值

任意方向位差的极值方向由

\frac{d Q_{φ φ}}{d φ} = 0

得到

\tan 2 φ_{0} = \frac{2 Q_{x y}}{Q_{x x} - Q_{y y}}

这给出两个互相垂直的方向：一个为极大位差方向，一个为极小位差方向。

令

K = \sqrt{(Q_{x x} - Q_{y y})^{2} + 4 Q_{x y}^{2}}

则最大、最小协因数为

Q_{E} = \frac{1}{2} (Q_{x x} + Q_{y y} + K), Q_{F} = \frac{1}{2} (Q_{x x} + Q_{y y} - K)

对应位差为

E = σ_{0} \sqrt{Q_{E}}, F = σ_{0} \sqrt{Q_{F}}

其中 $E$ 称为误差椭圆长半轴， $F$ 称为误差椭圆短半轴。

极大方向 $φ_{E}$ 可用特征向量公式确定：

\tan φ_{E} = \frac{Q_{x y}}{Q_{E} - Q_{y y}} = \frac{Q_{E} - Q_{x x}}{Q_{x y}}

极小方向为

φ_{F} = φ_{E} + 90^{\circ}

若 $Q_{x y} = 0$ ，则坐标轴方向就是极值方向：

$Q_{x x} > Q_{y y}$ 时， $x$ 方向为 $E$ 轴， $y$ 方向为 $F$ 轴
$Q_{x x} < Q_{y y}$ 时， $y$ 方向为 $E$ 轴， $x$ 方向为 $F$ 轴

误差曲线与误差椭圆

误差曲线

误差曲线是以方向角 $φ$ 和该方向位差 $σ_{φ}$ 为极坐标的轨迹。

若从 $E$ 轴方向起算角度 $ψ$ ，则

σ_{ψ}^{2} = E^{2} \cos^{2} ψ + F^{2} \sin^{2} ψ

误差曲线形如花生。

误差曲线能直接表示任意方向的位差，但不是标准曲线，作图和使用不方便。

误差椭圆

误差椭圆以 $E, F$ 为半轴，在主轴坐标系下方程为

\frac{x_{E}^{2}}{E^{2}} + \frac{y_{F}^{2}}{F^{2}} = 1

误差曲线是误差椭圆的垂足曲线：从椭圆中心作某方向射线，再作垂直于该方向的椭圆切线，中心到切线的距离即为该方向的位差。

因此误差椭圆本身不表示点位误差的轨迹，而是用于图解各方向位差的工具。

相对误差椭圆

普通点位误差椭圆描述待定点相对于已知基准的点位精度；相对误差椭圆描述两个待定点之间的相对位置精度。

对待定点 $i, j$ ，令

Δ x_{i j} = {\hat{x}}_{j} - {\hat{x}}_{i}, Δ y_{i j} = {\hat{y}}_{j} - {\hat{y}}_{i}

则坐标差协因数为

\begin{aligned} Q_{Δ x Δ x} & = Q_{x_{i} x_{i}} + Q_{x_{j} x_{j}} - 2 Q_{x_{i} x_{j}} \\ Q_{Δ y Δ y} & = Q_{y_{i} y_{i}} + Q_{y_{j} y_{j}} - 2 Q_{y_{i} y_{j}} \\ Q_{Δ x Δ y} & = Q_{x_{i} y_{i}} - Q_{x_{j} y_{i}} - Q_{x_{i} y_{j}} + Q_{x_{j} y_{j}} \end{aligned}

将

Q_{x x}, Q_{y y}, Q_{x y} 替换为 Q_{Δ x Δ x}, Q_{Δ y Δ y}, Q_{Δ x Δ y}

即可按同样公式计算相对误差椭圆的 $E, F, φ_{E}$ 。

若点 $i$ 为已知点，其坐标协因数为 $0$ ，相对误差椭圆退化为点 $j$ 的普通误差椭圆。

点位落入误差椭圆内的概率

以 $E, F$ 为标准半轴时，点位误差服从二维正态分布。若取 $λ$ 倍误差椭圆

B_{λ} : \frac{x_{E}^{2}}{(λ E)^{2}} + \frac{y_{F}^{2}}{(λ F)^{2}} \leq 1

则点落入该椭圆内的概率为

P (B_{λ}) = 1 - \exp (- \frac{λ^{2}}{2})

常用值：

$λ$	$P (B_{λ})$
$1$	$0.3935$
$2$	$0.8647$
$3$	$0.9889$
$4$	$0.9997$

注意一维正态分布中 $\pm 1 σ$ 的概率约为 $68.3 %$ ，但二维标准误差椭圆内的概率只有约 $39.35 %$ 。

解题流程

已知某点坐标协因数阵和单位权中误差，求误差椭圆：

取出

Q_{X X} = [\begin{matrix} Q_{x x} & Q_{x y} \\ Q_{x y} & Q_{y y} \end{matrix}]

计算

K = \sqrt{(Q_{x x} - Q_{y y})^{2} + 4 Q_{x y}^{2}}

求主轴协因数

Q_{E} = \frac{1}{2} (Q_{x x} + Q_{y y} + K), Q_{F} = \frac{1}{2} (Q_{x x} + Q_{y y} - K)

求半轴长度

E = σ_{0} \sqrt{Q_{E}}, F = σ_{0} \sqrt{Q_{F}}

求主轴方向

\tan φ_{E} = \frac{Q_{x y}}{Q_{E} - Q_{y y}} 或 \tan 2 φ_{E} = \frac{2 Q_{x y}}{Q_{x x} - Q_{y y}}

若要求任意方向位差，先将方向角化为从 $E$ 轴起算的角

ψ = φ - φ_{E}

再用

σ_{ψ} = \sqrt{E^{2} \cos^{2} ψ + F^{2} \sin^{2} ψ}

相对误差椭圆题目则先由两点坐标协因数阵求出坐标差协因数阵。

12 误差椭圆 ​

点位误差 ​

任意方向上的位差 ​

位差极值 ​

误差曲线与误差椭圆 ​

误差曲线 ​

误差椭圆 ​

相对误差椭圆 ​

点位落入误差椭圆内的概率 ​

解题流程 ​