3 协因数阵与权阵

权与定权方法

权的概念

我们在 测量学 / 测量误差及处理方法 - 加权平均值及其中误差 中提到过：对于非等精度观测，我们通过加权平均的方法来综合这些结果：

对于不等精度观测，需要使用加权平均。定义权 $p$

$$p_i\propto \frac{1}{{\sigma }_i^2}$$

定义单位权中误差 ${\sigma }_0$，对应单位权方差 ${\sigma }_0^2$，使其对应的权为 $1$（即「单位权」），则有

$$p_i=\frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_i^2}$$

定义了权后，有加权平均值：

$$\overline{x}=\frac{\sum p_i{x}_i}{\sum p_i}$$

有加权平均值的中误差：

$${\sigma }_{\overline{x}}=\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{\sum p_i}}$$

加权平均值对应的权：

$$p_{\overline{x}}=\frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_0^2/\sum p_i}=\sum p_i$$

• 单位权方差 ${\sigma }_0^2$ 可以是某个实际量的方差，也可以是自行定义的虚构的值。
• 在同一平差计算中，单位权方差 ${\sigma }_0^2$ 可以任意选取，但必须唯一。
• 权的大小随单位权方差 ${\sigma }_0^2$ 而变化，但权比 $p_1:p_2:\cdots :p_n$ 不会变化。
• 测量条件好，则精度高、方差小、权大；反之则精度低、方差大、权小。

前面我们提到过中误差、平均误差、或然误差、极限误差属于绝对精度指标，相对误差属于相对精度指标。权也是相对精度指标。定义单位权方差 ${\sigma }_0^2$ 后，得到的权值与中误差的绝对数值解绑，可以自由决定二者的比例关系，便于计算。

常用定权方法

• 水准高差的权与高差的路线长度成反比
• 距离观测量的权与观测的路线长度成反比
• 等精度观测所有权相等，通常定为 1

协因数阵

前面提到我们定义权 $p_i={\displaystyle \frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_i^2}}$。现在我们也将其扩展到 $n$ 维：

$$\begin{array}{c}{p}_i=\frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_i^2}={\left(\frac{1}{{\sigma }_0^2}{\sigma }_i^2\right)}^{-1}\\ \Rightarrow {\mathit{P}}_{xx}={\left(\frac{1}{{\sigma }_0^2}{\mathit{D}}_{xx}\right)}^{-1}\end{array}$$

${\mathit{P}}_{xx}$ 称为权阵，${\mathit{Q}}_{xx}={\displaystyle \frac{1}{{\sigma }_0^2}}{\mathit{D}}_{xx}$ 称为协因数阵，也称权逆阵。权阵与协因数阵互为逆矩阵。

定义协因数阵中的元素为协因数 $Q_{ij}={\displaystyle \frac{{\sigma }_{ij}}{{\sigma }_0^2}}$。

$${\mathit{Q}}_{xx}=\frac{1}{{\sigma }_0^2}\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& \cdots & {\sigma }_{1n}\\ {\sigma }_{12}& {\sigma }_2^2& \cdots & {\sigma }_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{1n}& {\sigma }_{2n}& \cdots & {\sigma }_n^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_{11}& Q_{12}& \cdots & Q_{1n}\\ Q_{12}& Q_{22}& \cdots & Q_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ Q_{1n}& Q_{2n}& \cdots & Q_{nn}\end{array}\right]$$

可以看到协因数阵 ${\mathit{Q}}_{xx}$ 与协方差阵 ${\mathit{D}}_{xx}$ 只差一个常数 ${\sigma }_0^2$，因此协因数阵继承了协方差阵的性质，各概念的名称也与协方差阵类似。

一个观测值向量的协因数阵有如下特性：

• 是对称阵
• 主对角元为各变量的协因数
• 非主对角元为两两变量的互协因数
• 两两变量的互协因数为零，表明两变量不相关
• 若观测值两两不相关，则协因数阵为对角阵

协因数可以用作测量量的精度指标吗？

可以。方差是精度指标之一，协因数与其只差一个常数 ${\sigma }_0^2$。

两个观测值向量可以构成互协因数阵，也称相关权逆阵。例如观测向量 ${\mathit{x}}_{n\times 1}$ 与 ${\mathit{y}}_{m\times 1}$，有

$${\mathit{Q}}_{xy}=\frac{1}{{\sigma }_0^2}\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_{x_1{y}_1}& {\sigma }_{x_1{y}_2}& \cdots & {\sigma }_{x_1{y}_m}\\ {\sigma }_{x_2{y}_1}& {\sigma }_{x_2{y}_2}& \cdots & {\sigma }_{x_2{y}_m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{x_n{y}_1}& {\sigma }_{x_2{y}_2}& \cdots & {\sigma }_{x_n{y}_m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_{x_1{y}_1}& Q_{x_1{y}_2}& \cdots & Q_{x_1{y}_m}\\ Q_{x_2{y}_1}& Q_{x_2{y}_2}& \cdots & Q_{x_2{y}_m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ Q_{x_n{y}_1}& Q_{x_2{y}_2}& \cdots & Q_{x_n{y}_m}\end{array}\right]$$

互协因数阵有如下特性：

• ${\mathit{Q}}_{xy}={\mathit{Q}}_{yx}^{\mathrm{T}}$
• 通常不是方阵（$n=m$ 时是方阵）
• ${\mathit{Q}}_{xy}=\mathit{O}$ 时 $\mathit{x},\mathit{y}$ 不相关

权阵

前面提到权阵 ${\mathit{P}}_{xx}$ 是协因数阵 ${\mathit{Q}}_{xx}$ 的逆矩阵，因此有

$$\begin{array}{c}{\mathit{P}}_{xx}{\mathit{Q}}_{xx}={\mathit{P}}_{xx}{\mathit{Q}}_{xx}=\mathit{I}\\ {\mathit{D}}_{xx}={\sigma }_0^2{\mathit{Q}}_{xx}={\sigma }_0^2{\mathit{P}}_{xx}^{-1}\end{array}$$

观测向量 $\mathit{x}$ 的权阵

$${\mathit{P}}_{xx}=\left[\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1n}\\ p_{12}& p_{22}& \cdots & p_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ p_{1n}& p_{2n}& \cdots & p_{nn}\end{array}\right]={\mathit{Q}}_{xx}^{-1}$$

特别地，如果 $\mathit{x}$ 是独立观测向量，则其自协方差阵、协因数阵为对角阵，因此其权阵也是对角阵。在此情况下主对角元是相应观测值的权，即 $p_{ii}=p_i$。此性质仅在 $\mathit{x}$ 是独立观测向量时成立！

当 $\mathit{x}$ 不是独立观测向量时，权阵的元素没有实际意义。 在此情况下需要求解各元素的权时，需要求逆回到协因数阵 ${\mathit{Q}}_{xx}$。

辨析

• 权阵含有 0 元素，则对应的观测值独立？错误
• 权阵非 0 元素对应的观测值相关？错误
• 相关观测的权阵中的主对角元素是观测值的权？错误

当 $\mathit{x}$ 不是独立观测向量时，权阵的元素没有实际意义。

举个例子：

$$\mathit{P}=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow \mathit{Q}={\mathit{P}}^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 2& 4& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$$

可以看到权阵中为零的元，在协因数阵中并不为零。

例

已知二维观测向量 $\mathit{l}$ 的权阵 $\mathit{P}=\left[\begin{array}{cc}0.6& 0.2\\ 0.2& 0.4\end{array}\right]$，求观测值 $l_1,l_2$ 的权 $p_1,p_2$。

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$$\mathit{Q}={\mathit{P}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 3\end{array}\right]\Rightarrow \{\begin{array}{l}{Q}_{11}=2\\ Q_{22}=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{p}_1=1/2\\ p_2=1/3\end{array}$$

IMPORTANT

协因数 与 权 互为倒数， 协因数阵 与 权阵 互为逆矩阵

• 对于独立观测向量
  • ${\mathit{D}}_{xx},{\mathit{Q}}_{xx},{\mathit{P}}_{xx}$ 是对角阵
  • 各元素分别为相应观测值的方差、协因数、权
• 对于相关观测向量
  • ${\mathit{D}}_{xx},{\mathit{Q}}_{xx},{\mathit{P}}_{xx}$ 是 == 非 == 对角阵
  • 协因数阵对角元为各观测量的协因数
  • 权阵对角元 == 不是 == 各观测量的权
  • 应该在协因数阵中完成各元素协因数阵的分割、组合
  • == 不可以 == 在权阵中完成各元素权阵的分割

协因数传播律

协因数阵与协方差阵只差系数 ${\sigma }_0^2$，因此协因数阵与协方差阵的传播方式一致。

对于观测向量 ${\mathit{x}}_{n\times 1}$ 和 ${\mathit{y}}_{m\times 1}$，函数 $\mathit{f}=\mathit{A}\mathit{x}+{\mathit{a}}_0$，$\mathit{g}=\mathit{B}\mathit{x}+{\mathit{b}}_0$，$\mathit{w}=\mathit{C}\mathit{y}+{\mathit{c}}_0$，有

$$\begin{array}{l}{\mathit{Q}}_{ff}=\mathit{A}{\mathit{Q}}_{xx}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{Q}}_{gg}=\mathit{B}{\mathit{Q}}_{xx}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{Q}}_{ww}=\mathit{C}{\mathit{Q}}_{yy}{\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\end{array}\begin{array}{l}{\mathit{Q}}_{fg}=\mathit{A}{\mathit{Q}}_{xx}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{Q}}_{gf}=\mathit{B}{\mathit{Q}}_{xx}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}\begin{array}{l}{\mathit{Q}}_{fw}=\mathit{A}{\mathit{Q}}_{xy}{\mathit{C}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathit{Q}}_{wf}=\mathit{C}{\mathit{Q}}_{yx}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}$$