3 协因数阵与权阵

权与定权方法

权的概念

我们在 测量学 / 测量误差及处理方法 - 加权平均值及其中误差 中提到过：对于非等精度观测，我们通过加权平均的方法来综合这些结果：

对于不等精度观测，需要使用加权平均。定义权 $p$

$$p_i\propto \frac{1}{{\sigma }_i^2}$$

定义单位权中误差 ${\sigma }_0$，对应单位权方差 ${\sigma }_0^2$，使其对应的权为 $1$（即「单位权」），则有

$$p_i=\frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_i^2}$$

定义了权后，有加权平均值：

$$\bar{x}=\frac{\sum p_i{x}_i}{\sum p_i}$$

有加权平均值的中误差：

$${\sigma }_{\bar{x}}=\frac{{\sigma }_0}{\sqrt{\sum p_i}}$$

加权平均值对应的权：

$$p_{\bar{x}}=\frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_0^2/\sum p_i}=\sum p_i$$

• 单位权方差 ${\sigma }_0^2$ 可以是某个实际量的方差，也可以是自行定义的虚构的值。
• 在同一平差计算中，单位权方差 ${\sigma }_0^2$ 可以任意选取，但必须唯一。
• 权的大小随单位权方差 ${\sigma }_0^2$ 而变化，但权比 $p_1:p_2:\cdots :p_n$ 不会变化。
• 测量条件好，则精度高、方差小、权大；反之则精度低、方差大、权小。

前面我们提到过中误差、平均误差、或然误差、极限误差属于绝对精度指标，相对误差属于相对精度指标。权也是相对精度指标。定义单位权方差 ${\sigma }_0^2$ 后，得到的权值与中误差的绝对数值解绑，可以自由决定二者的比例关系，便于计算。

常用定权方法

• 水准高差的权与高差的路线长度成反比
• 距离观测量的权与观测的路线长度成反比
• 等精度观测所有权相等，通常定为 1

权阵与协因数阵

前面提到我们定义权 $p_i=\frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_i^2}$。现在我们也将其扩展到 $n$ 维：

$$\begin{array}{c}{p}_i=\frac{{\sigma }_0^2}{{\sigma }_i^2}={\left(\frac{1}{{\sigma }_0^2}{\sigma }_i^2\right)}^{-1}\\ \Rightarrow {\mathbf{P}}_{xx}={\left(\frac{1}{{\sigma }_0^2}{\mathbf{D}}_{xx}\right)}^{-1}\end{array}$$

${\mathbf{P}}_{xx}$ 称为权阵，${\mathbf{Q}}_{xx}=\frac{1}{{\sigma }_0^2}{\mathbf{D}}_{xx}$ 称为协因数阵，也称权逆阵。权阵与协因数阵互为逆矩阵。

协因数阵

定义协因数阵中的元素为协因数 $Q_{ij}=\frac{{\sigma }_{ij}}{{\sigma }_0^2}$。

$${\mathbf{Q}}_{xx}=\frac{1}{{\sigma }_0^2}\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_1^2& {\sigma }_{12}& \cdots & {\sigma }_{1n}\\ {\sigma }_{12}& {\sigma }_2^2& \cdots & {\sigma }_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{1n}& {\sigma }_{2n}& \cdots & {\sigma }_n^2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_{11}& Q_{12}& \cdots & Q_{1n}\\ Q_{12}& Q_{22}& \cdots & Q_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ Q_{1n}& Q_{2n}& \cdots & Q_{nn}\end{array}\right]$$

可以看到协因数阵 ${\mathbf{Q}}_{xx}$ 与协方差阵 ${\mathbf{D}}_{xx}$ 只差一个常数 ${\sigma }_0^2$，因此协因数阵继承了协方差阵的性质，各概念的名称也与协方差阵类似。

一个观测值向量的协因数阵有如下特性：

• 是对称阵
• 主对角元为各变量的协因数
• 非主对角元为两两变量的互协因数
• 两两变量的互协因数为零，表明两变量不相关
• 若观测值两两不相关，则协因数阵为对角阵

协因数可以用作测量量的精度指标吗？

可以。方差是精度指标之一，协因数与其只差一个常数 ${\sigma }_0^2$。

两个观测值向量可以构成互协因数阵，也称相关权逆阵。例如观测向量 ${\mathbf{x}}_{n\times 1}$ 与 ${\mathbf{y}}_{m\times 1}$，有

$${\mathbf{Q}}_{xy}=\frac{1}{{\sigma }_0^2}\left[\begin{array}{cccc}{\sigma }_{x_1{y}_1}& {\sigma }_{x_1{y}_2}& \cdots & {\sigma }_{x_1{y}_m}\\ {\sigma }_{x_2{y}_1}& {\sigma }_{x_2{y}_2}& \cdots & {\sigma }_{x_2{y}_m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ {\sigma }_{x_n{y}_1}& {\sigma }_{x_2{y}_2}& \cdots & {\sigma }_{x_n{y}_m}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{cccc}{Q}_{x_1{y}_1}& Q_{x_1{y}_2}& \cdots & Q_{x_1{y}_m}\\ Q_{x_2{y}_1}& Q_{x_2{y}_2}& \cdots & Q_{x_2{y}_m}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ Q_{x_n{y}_1}& Q_{x_2{y}_2}& \cdots & Q_{x_n{y}_m}\end{array}\right]$$

互协因数阵有如下特性：

• ${\mathbf{Q}}_{xy}={\mathbf{Q}}_{yx}^{\mathrm{T}}$
• 通常不是方阵（$n=m$ 时是方阵）
• ${\mathbf{Q}}_{xy}=\mathbf{O}$ 时 $\mathbf{x},\mathbf{y}$ 不相关

权阵

前面提到权阵 ${\mathbf{P}}_{xx}$ 是协因数阵 ${\mathbf{Q}}_{xx}$ 的逆矩阵，因此有

$$\begin{array}{c}{\mathbf{P}}_{xx}{\mathbf{Q}}_{xx}={\mathbf{P}}_{xx}{\mathbf{Q}}_{xx}=\mathbf{I}\\ {\mathbf{D}}_{xx}={\sigma }_0^2{\mathbf{Q}}_{xx}={\sigma }_0^2{\mathbf{P}}_{xx}^{-1}\end{array}$$

观测向量 $\mathbf{x}$ 的权阵

$${\mathbf{P}}_{xx}=\left[\begin{array}{cccc}{p}_{11}& p_{12}& \cdots & p_{1n}\\ p_{12}& p_{22}& \cdots & p_{2n}\\ ⋮& ⋮& \ddots & ⋮\\ p_{1n}& p_{2n}& \cdots & p_{nn}\end{array}\right]={\mathbf{Q}}_{xx}^{-1}$$

特别地，如果 $\mathbf{x}$ 是独立观测向量，则其自协方差阵、协因数阵为对角阵，因此其权阵也是对角阵。在此情况下主对角元是相应观测值的权，即 $p_{ii}=p_i$。此性质仅在 $\mathbf{x}$ 是独立观测向量时成立！

当 $\mathbf{x}$ 不是独立观测向量时，权阵的元素没有实际意义。 在此情况下需要求解各元素的权时，需要求逆回到协因数阵 ${\mathbf{Q}}_{xx}$，在对角线上找到对应协因数，再求倒数。

辨析

• 权阵含有 0 元素，则对应的观测值独立？错误
• 权阵非 0 元素对应的观测值相关？错误
• 相关观测的权阵中的主对角元素是观测值的权？错误

当 $\mathbf{x}$ 不是独立观测向量时，权阵的元素没有实际意义。

举个例子：

$$\mathbf{P}=\left[\begin{array}{ccc}2& -1& 0\\ -1& 2& -1\\ 0& -1& 2\end{array}\right]\Rightarrow \mathbf{Q}={\mathbf{P}}^{-1}=\frac{1}{4}\left[\begin{array}{ccc}3& 2& 1\\ 2& 4& 2\\ 1& 2& 3\end{array}\right]$$

可以看到权阵中为零的元，在协因数阵中并不为零。

例 1

已知二维观测向量 $\mathbf{l}$ 的权阵 $\mathbf{P}=\left[\begin{array}{cc}0.6& 0.2\\ 0.2& 0.4\end{array}\right]$，求观测值 $l_1,l_2$ 的权 $p_1,p_2$。

---

$$\mathbf{Q}={\mathbf{P}}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 3\end{array}\right]\Rightarrow \{\begin{array}{l}{Q}_{11}=2\\ Q_{22}=3\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}{p}_1=1/2\\ p_2=1/3\end{array}$$

辨析

协因数 与 权 互为倒数， 协因数阵 与 权阵 互为逆矩阵

• 对于独立观测向量
  • ${\mathbf{D}}_{xx},{\mathbf{Q}}_{xx},{\mathbf{P}}_{xx}$ 是对角阵
  • 各元素分别为相应观测值的方差、协因数、权
• 对于相关观测向量
  • ${\mathbf{D}}_{xx},{\mathbf{Q}}_{xx},{\mathbf{P}}_{xx}$ 是 非 对角阵
  • 协因数阵对角元为各观测量的协因数
  • 权阵对角元 不是 各观测量的权
  • 应该在协因数阵中完成各元素协因数阵的分割、组合
  • 不可以 在权阵中完成各元素权阵的分割

协因数传播律

协因数阵与协方差阵只差系数 ${\sigma }_0^2$，因此协因数阵与协方差阵的传播方式一致。

对于观测向量 ${\mathbf{x}}_{n\times 1}$ 和 ${\mathbf{y}}_{m\times 1}$，函数 $\mathbf{f}=\mathbf{Ax}+{\mathbf{a}}_0$，$\mathbf{g}=\mathbf{Bx}+{\mathbf{b}}_0$，$\mathbf{w}=\mathbf{Cy}+{\mathbf{c}}_0$，有

$$\begin{array}{l}{\mathbf{Q}}_{ff}={\mathbf{AQ}}_{xx}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{Q}}_{gg}={\mathbf{BQ}}_{xx}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{Q}}_{ww}={\mathbf{CQ}}_{yy}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\end{array}\begin{array}{l}{\mathbf{Q}}_{fg}={\mathbf{AQ}}_{xx}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{Q}}_{gf}={\mathbf{BQ}}_{xx}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}\begin{array}{l}{\mathbf{Q}}_{fw}={\mathbf{AQ}}_{xy}{\mathbf{C}}^{\mathrm{T}}\\ {\mathbf{Q}}_{wf}={\mathbf{CQ}}_{yx}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\end{array}$$

例 2

已知观测值向量 $L=[L_1{L}_2{]}^{\mathrm{T}}$ 的权阵为

$$P_{LL}=\left[\begin{array}{cc}0.4& 0.2\\ 0.2& 0.6\end{array}\right]$$

观测值 $L_1$ 的中误差 ${\sigma }_{L_1}=3$，试求：

1. 函数 $x=L_1{L}_2-4$ 的方差；

2. 函数 $y=2L_1+L_2-4$ 与 $z=3L_2$，求函数 $y$ 和 $z$ 的方差，以及二者的协方差。

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1.

对权阵求逆得到协因数阵

$${\mathbf{Q}}_{LL}={\mathbf{P}}_{LL}^{-1}=\left[\begin{array}{cc}3& -1\\ -1& 2\end{array}\right]$$

则有

$${\sigma }_{L_1}^2=Q_{L_1}{\sigma }_0^2=3{\sigma }_0^2=9\Rightarrow {\sigma }_0=3$$$${\mathbf{D}}_{LL}={\sigma }_0^2{\mathbf{Q}}_{LL}=\left[\begin{array}{cc}9& -3\\ -3& 6\end{array}\right]$$

对函数 $x$ 线性化有

$$\mathrm{d}x=L_2\mathrm{d}{L}_1+L_1\mathrm{d}{L}_2=\left[\begin{array}{cc}{L}_2& L_1\end{array}\right]\mathrm{d}\left[\begin{array}{c}{L}_1\\ L_2\end{array}\right]$$

则令系数阵 $\mathbf{K}=\left[\begin{array}{cc}{L}_2& L_1\end{array}\right]$，有

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{D}}_{xx}& =\mathbf{K}{\mathbf{D}}_{LL}{\mathbf{K}}^{\mathrm{T}}\\ & =\left[\begin{array}{cc}{L}_2& L_1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}9& -3\\ -3& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}{L}_2\\ L_1\end{array}\right]\\ & =6L_1^2-6L_1{L}_2+9L_2^2\end{array}$$

2.

$$\begin{array}{c}y=2L_1+L_2-4\Rightarrow \mathbf{A}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right]\\ D_y=\mathbf{A}{\mathbf{D}}_{LL}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}9& -3\\ -3& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}2\\ 1\end{array}\right]=30\end{array}$$$$\begin{array}{c}z=3L_2\Rightarrow \mathbf{B}=\left[\begin{array}{cc}0& 3\end{array}\right]\\ D_z=3^{2}D(L_2)=9\times 6=54\end{array}$$$$D_{yz}=\mathbf{A}{\mathbf{D}}_{LL}{\mathbf{B}}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}2& 1\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}9& -3\\ -3& 6\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}0\\ 3\end{array}\right]=0$$

例 3

有函数

$$\begin{array}{rl}{\psi }_1& =3L_1-2L_3\\ {\psi }_2& =L_1{L}_2+L_3^2\end{array}$$

已知观测值的协因数阵为

$${\mathbf{Q}}_{LL}=\left[\begin{array}{ccc}6& -2& 1\\ -2& 4& 0\\ 1& 0& 3\end{array}\right]$$

单位权方差为 ${\sigma }_0^2=0.2$。当 $L_1=6,L_2=8,L_3=10$ 时，试求 ${\psi }_1,{\psi }_2$ 的方差 ${\sigma }_{{\psi }_1}^2,{\sigma }_{{\psi }_2}^2$ 以及 ${\psi }_1$ 对 ${\psi }_2$ 的协方差 ${\sigma }_{{\psi }_1{\psi }_2}$。

---

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}{\psi }_1& =3\mathrm{d}{L}_1-2\mathrm{d}{L}_3\\ \mathrm{d}{\psi }_2& =L_2\mathrm{d}{L}_1+L_1\mathrm{d}{L}_2+2L_3\mathrm{d}{L}_3\end{array}\Rightarrow \mathrm{d}\mathbf{\Psi }=\mathrm{d}\left[\begin{array}{c}{\psi }_1\\ {\psi }_2\end{array}\right]=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 1& 1& 2\end{array}\right]\mathrm{d}\mathbf{L}$$

不妨设 $\mathbf{K}=\left[\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 1& 1& 2\end{array}\right]$，则 $\mathrm{d}\mathbf{\Psi }=\mathbf{K}\mathrm{d}\mathbf{L}$，故有

$$\begin{array}{rl}{\mathbf{D}}_{\Psi \Psi }& =\mathbf{K}{\mathbf{D}}_{LL}{\mathbf{K}}^{\mathrm{T}}\\ & ={\sigma }_0^2\mathbf{K}{\mathbf{Q}}_{LL}{\mathbf{K}}^{\mathrm{T}}\\ & =\frac{1}{5}\left[\begin{array}{ccc}3& 0& -2\\ 1& 1& 2\end{array}\right]\left[\begin{array}{ccc}6& -2& 1\\ -2& 4& 0\\ 1& 0& 3\end{array}\right]\left[\begin{array}{cc}3& 1\\ 0& 1\\ -2& 2\end{array}\right]\\ & =\left[\begin{array}{cc}10.8& 0.8\\ 0.8& 4.4\end{array}\right]\end{array}$$

故有

$$\{\begin{array}{rl}& {\sigma }_{{\psi }_1}^2=10.8\\ & {\sigma }_{{\psi }_2}^2=4.4\\ & {\sigma }_{{\psi }_1{\psi }_2}=0.8\end{array}$$