6 条件平差的应用

测角网条件平差

以角度为观测值。

典型图形
- 单三角形
- 大地四边形
- 中点多边形
- 扇形
- 上述图形的组合图形
必要起算数据 $d = 4$
- 位置基准 2 个（一点的坐标）
- 方位基准 1 个（一边的方位角）
- 长度基准 1 个（一边的边长）
- 或：两点的坐标
必要观测数： $t = 2 p - q - 4$
- $p$ ：全部点个数
- $q$ ：多余起算数据个数

必要观测数不等于未知边数

未知边数可能多于必要观测数。假设我们不测角改测边，确定图形形状并不一定需要所有边的长度，例如下方的大地四边形，只需要定住 AD、AC、BD、BC 三条边即可定住图形，不需要同时知道 CD。亦即，边长不是相互独立的。因此不能通过未知变数判断必要观测数。

典型图形的多余观测数

类型	例图	例图的观测数
单三角形		$t r = 2 \times 3 - 4 = 2 = 3 - 2 = 1$
大地四边形		$t r = 2 \times 4 - 4 = 4 = 8 - 4 = 4$
扇形		$t r = 2 \times 5 - 4 = 6 = 11 - 6 = 5$
中点多边形		$t r = 2 \times 6 - 4 = 8 = 15 - 8 = 7$

典型图形的条件方程列立

图形条件（内角和条件）：三角形内角和为 $18 0^{\circ}$
圆周条件：一个周角为 $36 0^{\circ}$
边长条件（极条件）：由不同正弦定理推算路线得到的同一边的边长相等

单三角形

n = 3, t = 2, r = 1

有图形条件： $\hat{L}_{a} + \hat{L}_{b} + \hat{L}_{c} = 18 0^{\circ}$

中点多边形

n = 9, t = 4, r = 5

有图形条件 3 个、圆周条件 1 个、边长条件 1 个。

图形条件：
$⎩ ⎨ ⎧ \hat{L}_{1} + \hat{L}_{2} + \hat{L}_{3} = 18 0^{\circ} \hat{L}_{4} + \hat{L}_{6} + \hat{L}_{5} = 18 0^{\circ} \hat{L}_{7} + \hat{L}_{8} + \hat{L}_{9} = 18 0^{\circ}$
圆周条件：
$\hat{L}_{3} + \hat{L}_{6} + \hat{L}_{9} = 36 0^{\circ}$

下面介绍边长条件。

一种列立方式是，通过不同路径的三角形正弦定理表达两条边之间的关系。

通过 $△ ABD$ 和 $△ ACD$ 的正弦定理有
$\hat{S}_{A B} = \frac{sin L ^ _{3}}{sin L ^ _{2}} \hat{S}_{A D} = \frac{sin L ^ _{3} sin L ^ _{7}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{8}} \hat{S}_{C D}$
通过 $△ ABD$ 和 $△ BCD$ 的正弦定理有
$\hat{S}_{A B} = \frac{sin L ^ _{3}}{sin L ^ _{1}} \hat{S}_{B D} = \frac{sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{1} sin L ^ _{4}} \hat{S}_{C D}$
联立得到
$\frac{sin L ^ _{3} sin L ^ _{7}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{8}} = \frac{sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{1} sin L ^ _{4}} \Rightarrow \frac{sin L ^ _{1} sin L ^ _{4} sin L ^ _{7}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{5} sin L ^ _{8}} = 1$

另一种列立方式是，选择中心点为「极」，通过正弦定理从一条边出发绕行一圈回到原边。

选择点 D 为极，从边 DA 出发，有
$△ DAB △ DBC △ DCA : : : \frac{S ^ _{D A}}{S ^ _{D B}} \frac{S ^ _{D B}}{S ^ _{D C}} \frac{S ^ _{D C}}{S ^ _{D A}} = \frac{sin L ^ _{2}}{sin L ^ _{1}} = \frac{sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{4}} = \frac{sin L ^ _{8}}{sin L ^ _{7}}$
将三式相乘，边长全部约去：
$\frac{sin L ^ _{2}}{sin L ^ _{1}} \cdot \frac{sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{4}} \cdot \frac{sin L ^ _{8}}{sin L ^ _{7}} = \frac{S ^ _{D A}}{S ^ _{D B}} \cdot \frac{S ^ _{D B}}{S ^ _{D C}} \cdot \frac{S ^ _{D C}}{S ^ _{D A}} = 1 \Rightarrow \frac{sin L ^ _{1} sin L ^ _{4} sin L ^ _{7}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{5} sin L ^ _{8}} = 1$

两种列立方式是等价的。实际上这里还可以通过不同路径列立边与边的关系、或选择不同的极列立，但最终只有一个独立边长方程，几种列立方式可以互相推出。

大地四边形

n = 8, t = 4, r = 4

有图形条件 3 个、边长条件 1 个。

图形条件取三个三角形内角和即可，此处不再列出。下面考虑边长条件。

可以以 O 点为极：

1 = \frac{S _{O A}}{S _{O B}} \frac{S _{O B}}{S _{O C}} \frac{S _{O C}}{S _{O D}} \frac{S _{O D}}{S _{O A}} = \frac{sin L ~ _{3}}{sin L ~ _{2}} \frac{sin L ~ _{5}}{sin L ~ _{4}} \frac{sin L ~ _{7}}{sin L ~ _{6}} \frac{sin L ~ _{1}}{sin L ~ _{8}}

也可以以 D 点为极：

1 = \frac{S _{D A}}{S _{D B}} \frac{S _{D B}}{S _{D C}} \frac{S _{D C}}{S _{D A}} = \frac{sin L ~ _{3}}{sin ( L ~ _{1} + L ~ _{2} )} \frac{sin ( L ~ _{5} + L ~ _{6} )}{sin L ~ _{4}} \frac{sin L ~ _{1}}{sin L ~ _{6}}

边长条件的线性化

条件平差列立需要将所有方程化为线性。边长条件含有正弦函数，因此需要进行线性化。

考虑边长条件方程

\frac{sin L ^ _{1} sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{4} sin L ^ _{6}} = 1

设多元函数 $G$ ，其自变量为 $\hat{L}_{i}$ ：

G = \frac{sin L ^ _{1} sin L ^ _{4} sin L ^ _{7}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{5} sin L ^ _{8}}

将其在 $\hat{L}_{i} = L_{i}$ 处展开。设 $\hat{L}_{i} = L_{i}$ 时的函数值为 $G_{0}$ ，有

G = G_{0} + i \sum (\frac{\partial G}{\partial L ^ _{i}})_{\hat{L}_{i} = L_{i}} \frac{L ^ _{i} - L _{i}}{ρ ^{''}} = G_{0} + i \sum (\frac{\partial G}{\partial L ^ _{i}})_{\hat{L}_{i} = L_{i}} \frac{v _{i}}{ρ ^{''}}

其中 $ρ^{''}$ 是角秒与弧度之间的转换比， $ρ^{''} = \frac{180 \times 60 \times 6 0 ^{''}}{π rad}$ 。

考虑 $\frac{\partial G}{\partial L ^ _{i}}$ 。对于分子上的项，例如 $\hat{L}_{1}$ ，有

\frac{\partial G}{\partial L ^ _{1}} = \frac{\partial}{\partial L ^ _{1}} \frac{sin L ^ _{1} sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{4} sin L ^ _{6}} = \frac{sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{4} sin L ^ _{6}} (\frac{\partial}{\partial L ^ _{1}} sin \hat{L}_{1}) = \frac{sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{4} sin L ^ _{6}} cos \hat{L}_{1} = \frac{sin L ^ _{1} sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{4} sin L ^ _{6}} \frac{cos L ^ _{1}}{sin L ^ _{1}} = G cot \hat{L}_{1}

故有 $(\frac{\partial G}{\partial L ^ _{1}})_{\hat{L}_{1} = L_{1}} = G_{0} cot L_{1}$ 。

对于分母上的项，例如 $\hat{L}_{2}$ ，有

\frac{\partial G}{\partial L ^ _{2}} = \frac{\partial}{\partial L ^ _{2}} \frac{sin L ^ _{1} sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{4} sin L ^ _{6}} = \frac{sin L ^ _{1} sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{4} sin L ^ _{6}} (\frac{\partial}{\partial L ^ _{2}} \frac{1}{sin L ^ _{2}}) = \frac{sin L ^ _{1} sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{4} sin L ^ _{6}} (- \frac{cos L ^ _{2}}{sin ^{2} L ^ _{2}}) = \frac{sin L ^ _{1} sin L ^ _{3} sin L ^ _{5}}{sin L ^ _{2} sin L ^ _{4} sin L ^ _{6}} (- \frac{cos L ^ _{2}}{sin L ^ _{2}}) = - G cot \hat{L}_{2}

故有 $(\frac{\partial G}{\partial L ^ _{2}})_{\hat{L}_{2} = L_{2}} = - G_{0} cot L_{2}$ 。因此有

G = G_{0} + \frac{G _{0}}{ρ ^{''}} i, 分子 \sum v_{i} cot L_{i} - \frac{G _{0}}{ρ ^{''}} j, 分母 \sum v_{j} cot L_{j} = 1 i, 分子 \sum v_{i} cot L_{i} - j, 分母 \sum v_{j} cot L_{j} = ρ^{''} (\frac{1}{G _{0}} - 1)

对于本例即有

v_{1} cot L_{1} - v_{2} cot L_{2} + v_{3} cot L_{3} - v_{4} cot L_{4} + v_{5} cot L_{5} - v_{6} cot L_{6} = ρ^{''} (\frac{1}{G _{0}} - 1)

写成矩阵形式为

f = [cot L_{1} - cot L_{2} cot L_{3} - cot L_{4} cot L_{5} - cot L_{6}]^{T}

f^{T} V = f^{T} (\hat{L} - L) = ρ^{''} (\frac{1}{G _{0}} - 1) \Rightarrow f^{T} \hat{L} = ρ^{''} (\frac{1}{G _{0}} - 1) + f^{T} L

附合测角网条件方程的列立

附合测角网提供了多余的起算数据，附合条件数 = 多余的起算数据个数

r = n - t = r_{1} + r_{2}

其中 $r_{1}$ 为独立网条件个数， $r_{2}$ 为附合条件数。

附合条件一般有三种形式：

边长条件（基线条件）：条件方程个数 = 多余已知边数
方位角条件（固定角条件）：条件方程个数 = 多余已知方位角个数
纵横坐标条件：条件方程个数 = 多余已知点组个数 $\times 2$

已知点组

用已知边和已知方位角连接在一起的已知点

例

列立下图中测角网的条件方程。

依题意 $n = 14$ ， $t = 2 \times 5 - 2 - 4 = 4$ ， $r = 14 - 4 = 10$ 。

有附合条件 $r_{2} = 3$ ：

⎩ ⎨ ⎧ \hat{L}_{1} + \hat{L}_{2} = α_{A B} - α_{A C} \hat{L}_{3} = 36 0^{\circ} - α_{B A} + α_{B C} \hat{L}_{5} = α_{C A} - α_{C B}

则有独立网条件 $r_{1} = r - r_{2} = 10 - 3 = 7$ 。其中有图形条件

⎩ ⎨ ⎧ \hat{L}_{1} + \hat{L}_{5} + \hat{L}_{6} + \hat{L}_{7} = 18 0^{\circ} \hat{L}_{2} + \hat{L}_{3} + \hat{L}_{4} + \hat{L}_{8} = 18 0^{\circ} \hat{L}_{10} + \hat{L}_{11} + \hat{L}_{12} = 18 0^{\circ} \hat{L}_{9} + \hat{L}_{13} + \hat{L}_{14} = 18 0^{\circ}

有圆周条件

\hat{L}_{7} + \hat{L}_{8} + \hat{L}_{9} + \hat{L}_{10} = 36 0^{\circ}

还有两个边长条件。注意到 BCDE 构成一个中点三角形，贡献一个极条件，例如以点 E 为极得到

1 = \frac{S _{E C}}{S _{E B}} \frac{S _{E B}}{S _{E D}} \frac{S _{E D}}{S _{E C}} = \frac{sin L ~ _{4}}{sin L ~ _{6}} \frac{sin L ~ _{13}}{sin L ~ _{14}} \frac{sin L ~ _{11}}{sin L ~ _{12}}

ABEC 构成大地四边形，贡献一个极条件，以 A 点为极得到

1 = \frac{S _{A C}}{S _{A E}} \frac{S _{A E}}{S _{A B}} \frac{S _{A B}}{S _{A C}} = \frac{sin L ~ _{7}}{sin ( L ~ _{5} + L ~ _{6} )} \frac{sin ( L ~ _{3} + L ~ _{4} )}{sin L ~ _{8}} \frac{sin L ~ _{5}}{sin L ~ _{3}}

导线网条件平差

必要起算数据 $d = 3$
- 位置基准 2 个（一点的坐标）
- 方位基准 1 个（一边的方位角）
- 不再需要长度基准
必要观测数： $t = 2 p - q - 3 = 2 p^{'}$
- $p$ ：全部点个数
- $q$ ：多余起算数据个数
- $p^{'}$ ：待定点个数

单附合导线

待定点数： $m$
观测数 $n = 2 m + 3$
- 测角数 $n_{β} = m + 2$
- 测边数 $n_{S} = m + 1$
必要观测数 $t = 2 m$
多余观测数 $r = 3$

多余观测数由方位角条件贡献 1 个、纵横坐标条件贡献 2 个。

方位角条件

α_{B B^{'}} = α_{A A^{'}} + i = 1 \sum m + 2 \hat{β}_{i} - (m + 2) \times 18 0^{\circ}

其中

\hat{β}_{i} = β_{i} - v_{i} i = 1 \sum m + 2 v_{i} - w_{α} = 0 w_{α} = i = 1 \sum m + 2 β_{i} + α_{A A^{'}} - α_{B B^{'}} - (m + 2) \times 18 0^{\circ}

方位角 $β_{i}$ 转折左角取正、转折右角取负。

纵横坐标条件

X_{A} + i = 1 \sum m + 1 Δ \hat{X}_{1} - X_{B} = 0

其中

Δ \hat{X}_{i} = \hat{S}_{i} cos \overset{α}{^}_{1}

\overset{α}{^}_{1} \overset{α}{^}_{2} \Rightarrow \overset{α}{^}_{i} = α_{A A^{'}} + \hat{β}_{1} - 18 0^{\circ} = α_{A A^{'}} + β_{1} - v_{1} - 18 0^{\circ} = α_{1}^{0} - v_{1} = \overset{α}{^}_{1} + \hat{β}_{2} - 18 0^{\circ} = α_{1}^{0} - v_{1} + β_{2} - v_{2} - 18 0^{\circ} = α_{2}^{0} - v_{1} - v_{2} \dots = α_{i}^{0} - v_{α_{i}} = α_{i}^{0} - j = 1 \sum i v_{j}

Δ \hat{X}_{i} = \hat{S}_{i} cos \overset{α}{^}_{i} = S_{i} cos α_{i}^{0} - v_{S_{i}} cos α_{i}^{0} + \frac{S _{i} sin α _{i}^{0}}{ρ ^{''}} j = 1 \sum i v_{j} = Δ X_{i}^{0} - v_{S_{i}} cos α_{i}^{0} + \frac{S _{i} sin α _{i}^{0}}{ρ ^{''}} v_{α_{i}} = Δ X_{i}^{0} - v_{S_{i}} cos α_{i}^{0} + \frac{Δ Y _{i}}{ρ ^{''}} v_{α_{i}}

定义

w_{x} = X_{A} + i = 1 \sum m + 1 Δ X_{i}^{0} - X_{B} = X_{B}^{0} - X_{B}

上面两式代入横坐标条件得到

i = 1 \sum m + 1 v_{S_{i}} cos α_{i}^{0} - \frac{1}{ρ ^{''}} i = 1 \sum m + 1 v_{i} (Y_{m}^{0} - Y_{i}^{0}) - w_{x} = 0 w_{x} = X_{A} + i = 1 \sum m + 1 Δ X_{i}^{0} - X_{B} = X_{B}^{0} - X_{B}

同理有纵坐标条件

i = 1 \sum m + 1 v_{S_{i}} sin α_{i}^{0} - \frac{1}{ρ ^{''}} i = 1 \sum m + 1 v_{i} (X_{m}^{0} - X_{i}^{0}) - w_{y} = 0 w_{y} = Y_{A} + i = 1 \sum m + 1 Δ Y_{i}^{0} - Y_{B} = Y_{B}^{0} - Y_{B}

单节点导线网

$n = n_{S} + n_{α} = 6 + 9 = 15$
$t = 2 p^{''} = 2 \times 4 = 8$
$r = 15 - 8 = 7$
- 方位角条件 2 个
- 纵横坐标条件 4 个
- 圆周条件 1 个

6 条件平差的应用 ​

测角网条件平差 ​

典型图形的多余观测数 ​

典型图形的条件方程列立 ​

单三角形 ​

中点多边形 ​

大地四边形 ​

边长条件的线性化 ​

附合测角网条件方程的列立 ​

导线网条件平差 ​

单附合导线 ​

方位角条件 ​

纵横坐标条件 ​

单节点导线网 ​