6 条件平差的应用

测角网条件平差

以角度为观测值。

典型图形
- 单三角形
- 大地四边形
- 中点多边形
- 扇形
- 上述图形的组合图形
必要起算数据 $d = 4$
- 位置基准 2 个（一点的坐标）
- 方位基准 1 个（一边的方位角）
- 长度基准 1 个（一边的边长）
- 或：两点的坐标
必要观测数： $t = 2 p - q - 4$
- $p$ ：全部点个数
- $q$ ：多余起算数据个数

必要观测数不等于未知边数

未知边数可能多于必要观测数。假设我们不测角改测边，确定图形形状并不一定需要所有边的长度，例如下方的大地四边形，只需要定住 AD、AC、BD、BC 三条边即可定住图形，不需要同时知道 CD。亦即，边长不是相互独立的。因此不能通过未知变数判断必要观测数。

典型图形的多余观测数

类型	例图	例图的观测数
单三角形		$\begin{aligned} t & = 2 \times 3 - 4 = 2 \\ r & = 3 - 2 = 1 \end{aligned}$
大地四边形		$\begin{aligned} t & = 2 \times 4 - 4 = 4 \\ r & = 8 - 4 = 4 \end{aligned}$
扇形		$\begin{aligned} t & = 2 \times 5 - 4 = 6 \\ r & = 11 - 6 = 5 \end{aligned}$
中点多边形		$\begin{aligned} t & = 2 \times 6 - 4 = 8 \\ r & = 15 - 8 = 7 \end{aligned}$

典型图形的条件方程列立

图形条件（内角和条件）：三角形内角和为 $108^{\circ}$
圆周条件：一个周角为 $360^{\circ}$
边长条件（极条件）：由不同正弦定理推算路线得到的同一边的边长相等

单三角形

n = 3, t = 2, r = 1

有图形条件： ${\hat{L}}_{a} + {\hat{L}}_{b} + {\hat{L}}_{c} = 180^{\circ}$

中点多边形

n = 9, t = 4, r = 5

有图形条件 3 个、圆周条件 1 个、边长条件 1 个。

图形条件：
${\begin{cases} {\hat{L}}_{1} + {\hat{L}}_{2} + {\hat{L}}_{3} = 180^{\circ} \\ {\hat{L}}_{4} + {\hat{L}}_{6} + {\hat{L}}_{5} = 180^{\circ} \\ {\hat{L}}_{7} + {\hat{L}}_{8} + {\hat{L}}_{9} = 180^{\circ} \end{cases}$
圆周条件：
${\hat{L}}_{3} + {\hat{L}}_{6} + {\hat{L}}_{9} = 360^{\circ}$

下面介绍边长条件。

一种列立方式是，通过不同路径的三角形正弦定理表达两条边之间的关系。

通过 $△ ABD$ 和 $△ ACD$ 的正弦定理有
${\hat{S}}_{A B} = \frac{\sin {\hat{L}}_{3}}{\sin {\hat{L}}_{2}} {\hat{S}}_{A D} = \frac{\sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{7}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{8}} {\hat{S}}_{C D}$
通过 $△ ABD$ 和 $△ BCD$ 的正弦定理有
${\hat{S}}_{A B} = \frac{\sin {\hat{L}}_{3}}{\sin {\hat{L}}_{1}} {\hat{S}}_{B D} = \frac{\sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{4}} {\hat{S}}_{C D}$
联立得到
$\begin{matrix} \frac{\sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{7}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{8}} = \frac{\sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{4}} \\ \Rightarrow \frac{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{7}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{5} \sin {\hat{L}}_{8}} = 1 \end{matrix}$

另一种列立方式是，选择中心点为「极」，通过正弦定理从一条边出发绕行一圈回到原边。

选择点 D 为极，从边 DA 出发，有
$\begin{aligned} △ DAB & : & \frac{{\hat{S}}_{D A}}{{\hat{S}}_{D B}} & = \frac{\sin {\hat{L}}_{2}}{\sin {\hat{L}}_{1}} \\ △ DBC & : & \frac{{\hat{S}}_{D B}}{{\hat{S}}_{D C}} & = \frac{\sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{4}} \\ △ DCA & : & \frac{{\hat{S}}_{D C}}{{\hat{S}}_{D A}} & = \frac{\sin {\hat{L}}_{8}}{\sin {\hat{L}}_{7}} \end{aligned}$
将三式相乘，边长全部约去：
$\begin{matrix} \frac{\sin {\hat{L}}_{2}}{\sin {\hat{L}}_{1}} \cdot \frac{\sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{4}} \cdot \frac{\sin {\hat{L}}_{8}}{\sin {\hat{L}}_{7}} = \frac{{\hat{S}}_{D A}}{{\hat{S}}_{D B}} \cdot \frac{{\hat{S}}_{D B}}{{\hat{S}}_{D C}} \cdot \frac{{\hat{S}}_{D C}}{{\hat{S}}_{D A}} = 1 \\ \Rightarrow \frac{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{7}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{5} \sin {\hat{L}}_{8}} = 1 \end{matrix}$

两种列立方式是等价的。实际上这里还可以通过不同路径列立边与边的关系、或选择不同的极列立，但最终只有一个独立边长方程，几种列立方式可以互相推出。

大地四边形

n = 8, t = 4, r = 4

有图形条件 3 个、边长条件 1 个。

图形条件取三个三角形内角和即可，此处不再列出。下面考虑边长条件。

可以以 O 点为极：

1 = \frac{S_{O A}}{S_{O B}} \frac{S_{O B}}{S_{O C}} \frac{S_{O C}}{S_{O D}} \frac{S_{O D}}{S_{O A}} = \frac{\sin {\tilde{L}}_{3}}{\sin {\tilde{L}}_{2}} \frac{\sin {\tilde{L}}_{5}}{\sin {\tilde{L}}_{4}} \frac{\sin {\tilde{L}}_{7}}{\sin {\tilde{L}}_{6}} \frac{\sin {\tilde{L}}_{1}}{\sin {\tilde{L}}_{8}}

也可以以 D 点为极：

1 = \frac{S_{D A}}{S_{D B}} \frac{S_{D B}}{S_{D C}} \frac{S_{D C}}{S_{D A}} = \frac{\sin {\tilde{L}}_{3}}{\sin ({\tilde{L}}_{1} + {\tilde{L}}_{2})} \frac{\sin ({\tilde{L}}_{5} + {\tilde{L}}_{6})}{\sin {\tilde{L}}_{4}} \frac{\sin {\tilde{L}}_{1}}{\sin {\tilde{L}}_{6}}

边长条件的线性化

条件平差列立需要将所有方程化为线性。边长条件含有正弦函数，因此需要进行线性化。

考虑边长条件方程

\frac{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{6}} = 1

设多元函数 $G$ ，其自变量为 ${\hat{L}}_{i}$ ：

G = \frac{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{7}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{5} \sin {\hat{L}}_{8}}

将其在 ${\hat{L}}_{i} = L_{i}$ 处展开。设 ${\hat{L}}_{i} = L_{i}$ 时的函数值为 $G_{0}$ ，有

G = G_{0} + \sum_{i} {(\frac{\partial G}{\partial {\hat{L}}_{i}})}_{{\hat{L}}_{i} = L_{i}} \frac{{\hat{L}}_{i} - L_{i}}{ρ^{″}} = G_{0} + \sum_{i} {(\frac{\partial G}{\partial {\hat{L}}_{i}})}_{{\hat{L}}_{i} = L_{i}} \frac{v_{i}}{ρ^{″}}

其中 $ρ^{″}$ 是角秒与弧度之间的转换比， $ρ^{″} = \frac{180 \times 60 \times 60^{″}}{π rad}$ 。

考虑 $\frac{\partial G}{\partial {\hat{L}}_{i}}$ 。对于分子上的项，例如 ${\hat{L}}_{1}$ ，有

\begin{aligned} \frac{\partial G}{\partial {\hat{L}}_{1}} & = \frac{\partial}{\partial {\hat{L}}_{1}} \frac{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{6}} \\ = \frac{\sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{6}} (\frac{\partial}{\partial {\hat{L}}_{1}} \sin {\hat{L}}_{1}) \\ = \frac{\sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{6}} \cos {\hat{L}}_{1} \\ = \frac{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{6}} \frac{\cos {\hat{L}}_{1}}{\sin {\hat{L}}_{1}} \\ = G \cot {\hat{L}}_{1} \end{aligned}

故有 ${(\frac{\partial G}{\partial {\hat{L}}_{1}})}_{{\hat{L}}_{1} = L_{1}} = G_{0} \cot L_{1}$ 。

对于分母上的项，例如 ${\hat{L}}_{2}$ ，有

\begin{aligned} \frac{\partial G}{\partial {\hat{L}}_{2}} & = \frac{\partial}{\partial {\hat{L}}_{2}} \frac{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{6}} \\ = \frac{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{6}} (\frac{\partial}{\partial {\hat{L}}_{2}} \frac{1}{\sin {\hat{L}}_{2}}) \\ = \frac{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{6}} (- \frac{\cos {\hat{L}}_{2}}{\sin^{2} {\hat{L}}_{2}}) \\ = \frac{\sin {\hat{L}}_{1} \sin {\hat{L}}_{3} \sin {\hat{L}}_{5}}{\sin {\hat{L}}_{2} \sin {\hat{L}}_{4} \sin {\hat{L}}_{6}} (- \frac{\cos {\hat{L}}_{2}}{\sin {\hat{L}}_{2}}) \\ = - G \cot {\hat{L}}_{2} \end{aligned}

故有 ${(\frac{\partial G}{\partial {\hat{L}}_{2}})}_{{\hat{L}}_{2} = L_{2}} = - G_{0} \cot L_{2}$ 。因此有

\begin{matrix} G = G_{0} + \frac{G_{0}}{ρ^{″}} \sum_{i, 分 子} v_{i} \cot L_{i} - \frac{G_{0}}{ρ^{″}} \sum_{j, 分 母} v_{j} \cot L_{j} = 1 \\ \sum_{i, 分 子} v_{i} \cot L_{i} - \sum_{j, 分 母} v_{j} \cot L_{j} = ρ^{″} (\frac{1}{G_{0}} - 1) \end{matrix}

对于本例即有

v_{1} \cot L_{1} - v_{2} \cot L_{2} + v_{3} \cot L_{3} - v_{4} \cot L_{4} + v_{5} \cot L_{5} - v_{6} \cot L_{6} = ρ^{″} (\frac{1}{G_{0}} - 1)

写成矩阵形式为

f = {[\begin{matrix} \cot L_{1} & - \cot L_{2} & \cot L_{3} & - \cot L_{4} & \cot L_{5} & - \cot L_{6} \end{matrix}]}^{T}

\begin{matrix} f^{T} V = f^{T} (\hat{L} - L) = ρ^{″} (\frac{1}{G_{0}} - 1) \\ \Rightarrow f^{T} \hat{L} = ρ^{″} (\frac{1}{G_{0}} - 1) + f^{T} L \end{matrix}

附合测角网条件方程的列立

附合测角网提供了多余的起算数据，附合条件数 = 多余的起算数据个数

r = n - t = r_{1} + r_{2}

其中 $r_{1}$ 为独立网条件个数， $r_{2}$ 为附合条件数。

附合条件一般有三种形式：

边长条件（基线条件）：条件方程个数 = 多余已知边数
方位角条件（固定角条件）：条件方程个数 = 多余已知方位角个数
纵横坐标条件：条件方程个数 = 多余已知点组个数 $\times 2$

已知点组

用已知边和已知方位角连接在一起的已知点

例

列立下图中测角网的条件方程。

依题意 $n = 14$ ， $t = 2 \times 5 - 2 - 4 = 4$ ， $r = 14 - 4 = 10$ 。

有附合条件 $r_{2} = 3$ ：

{\begin{cases} {\hat{L}}_{1} + {\hat{L}}_{2} = α_{A B} - α_{A C} \\ {\hat{L}}_{3} = 360^{\circ} - α_{B A} + α_{B C} \\ {\hat{L}}_{5} = α_{C A} - α_{C B} \end{cases}

则有独立网条件 $r_{1} = r - r_{2} = 10 - 3 = 7$ 。其中有图形条件

{\begin{cases} {\hat{L}}_{1} + {\hat{L}}_{5} + {\hat{L}}_{6} + {\hat{L}}_{7} = 180^{\circ} \\ {\hat{L}}_{2} + {\hat{L}}_{3} + {\hat{L}}_{4} + {\hat{L}}_{8} = 180^{\circ} \\ {\hat{L}}_{10} + {\hat{L}}_{11} + {\hat{L}}_{12} = 180^{\circ} \\ {\hat{L}}_{9} + {\hat{L}}_{13} + {\hat{L}}_{14} = 180^{\circ} \end{cases}

有圆周条件

{\hat{L}}_{7} + {\hat{L}}_{8} + {\hat{L}}_{9} + {\hat{L}}_{10} = 360^{\circ}

还有两个边长条件。注意到 BCDE 构成一个中点三角形，贡献一个极条件，例如以点 E 为极得到

1 = \frac{S_{E C}}{S_{E B}} \frac{S_{E B}}{S_{E D}} \frac{S_{E D}}{S_{E C}} = \frac{\sin {\tilde{L}}_{4}}{\sin {\tilde{L}}_{6}} \frac{\sin {\tilde{L}}_{13}}{\sin {\tilde{L}}_{14}} \frac{\sin {\tilde{L}}_{11}}{\sin {\tilde{L}}_{12}}

ABEC 构成大地四边形，贡献一个极条件，以 A 点为极得到

1 = \frac{S_{A C}}{S_{A E}} \frac{S_{A E}}{S_{A B}} \frac{S_{A B}}{S_{A C}} = \frac{\sin {\tilde{L}}_{7}}{\sin ({\tilde{L}}_{5} + {\tilde{L}}_{6})} \frac{\sin ({\tilde{L}}_{3} + {\tilde{L}}_{4})}{\sin {\tilde{L}}_{8}} \frac{\sin {\tilde{L}}_{5}}{\sin {\tilde{L}}_{3}}

导线网条件平差

必要起算数据 $d = 3$
- 位置基准 2 个（一点的坐标）
- 方位基准 1 个（一边的方位角）
- 不再需要长度基准
必要观测数： $t = 2 p - q - 3 = 2 p^{'}$
- $p$ ：全部点个数
- $q$ ：多余起算数据个数
- $p^{'}$ ：待定点个数

单附合导线

待定点数： $m$
观测数 $n = 2 m + 3$
- 测角数 $n_{β} = m + 2$
- 测边数 $n_{S} = m + 1$
必要观测数 $t = 2 m$
多余观测数 $r = 3$

多余观测数由方位角条件贡献 1 个、纵横坐标条件贡献 2 个。

方位角条件

α_{B B^{'}} = α_{A A^{'}} + \sum_{i = 1}^{m + 2} {\hat{β}}_{i} - (m + 2) \times 180^{\circ}

其中

\begin{matrix} {\hat{β}}_{i} = β_{i} - v_{i} \\ \sum_{i = 1}^{m + 2} v_{i} - w_{α} = 0 \\ w_{α} = \sum_{i = 1}^{m + 2} β_{i} + α_{A A^{'}} - α_{B B^{'}} - (m + 2) \times 180^{\circ} \end{matrix}

方位角 $β_{i}$ 转折左角取正、转折右角取负。

纵横坐标条件

X_{A} + \sum_{i = 1}^{m + 1} Δ {\hat{X}}_{1} - X_{B} = 0

其中

Δ {\hat{X}}_{i} = {\hat{S}}_{i} \cos {\hat{α}}_{1}

\begin{aligned} {\hat{α}}_{1} & = α_{A A^{'}} + {\hat{β}}_{1} - 180^{\circ} = α_{A A^{'}} + β_{1} - v_{1} - 180^{\circ} = α_{1}^{0} - v_{1} \\ {\hat{α}}_{2} & = {\hat{α}}_{1} + {\hat{β}}_{2} - 180^{\circ} = α_{1}^{0} - v_{1} + β_{2} - v_{2} - 180^{\circ} = α_{2}^{0} - v_{1} - v_{2} \\ \dots \\ \Rightarrow {\hat{α}}_{i} & = α_{i}^{0} - v_{α_{i}} = α_{i}^{0} - \sum_{j = 1}^{i} v_{j} \end{aligned}

\begin{aligned} Δ {\hat{X}}_{i} & = {\hat{S}}_{i} \cos {\hat{α}}_{i} \\ = S_{i} \cos α_{i}^{0} - v_{S_{i}} \cos α_{i}^{0} + \frac{S_{i} \sin α_{i}^{0}}{ρ^{″}} \sum_{j = 1}^{i} v_{j} \\ = Δ X_{i}^{0} - v_{S_{i}} \cos α_{i}^{0} + \frac{S_{i} \sin α_{i}^{0}}{ρ^{″}} v_{α_{i}} \\ = Δ X_{i}^{0} - v_{S_{i}} \cos α_{i}^{0} + \frac{Δ Y_{i}}{ρ^{″}} v_{α_{i}} \end{aligned}

定义

w_{x} = X_{A} + \sum_{i = 1}^{m + 1} Δ X_{i}^{0} - X_{B} = X_{B}^{0} - X_{B}

上面两式代入横坐标条件得到

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{m + 1} v_{S_{i}} \cos α_{i}^{0} - \frac{1}{ρ^{″}} \sum_{i = 1}^{m + 1} v_{i} (Y_{m}^{0} - Y_{i}^{0}) - w_{x} = 0 \\ w_{x} = X_{A} + \sum_{i = 1}^{m + 1} Δ X_{i}^{0} - X_{B} = X_{B}^{0} - X_{B} \end{matrix}

同理有纵坐标条件

\begin{matrix} \sum_{i = 1}^{m + 1} v_{S_{i}} \sin α_{i}^{0} - \frac{1}{ρ^{″}} \sum_{i = 1}^{m + 1} v_{i} (X_{m}^{0} - X_{i}^{0}) - w_{y} = 0 \\ w_{y} = Y_{A} + \sum_{i = 1}^{m + 1} Δ Y_{i}^{0} - Y_{B} = Y_{B}^{0} - Y_{B} \end{matrix}

单节点导线网

$n = n_{S} + n_{α} = 6 + 9 = 15$
$t = 2 p^{″} = 2 \times 4 = 8$
$r = 15 - 8 = 7$
- 方位角条件 2 个
- 纵横坐标条件 4 个
- 圆周条件 1 个

6 条件平差的应用 ​

测角网条件平差 ​

典型图形的多余观测数 ​

典型图形的条件方程列立 ​

单三角形 ​

中点多边形 ​

大地四边形 ​

边长条件的线性化 ​

附合测角网条件方程的列立 ​

导线网条件平差 ​

单附合导线 ​

方位角条件 ​

纵横坐标条件 ​

单节点导线网 ​