1 坐标系统与测量

地球形状的表达

• 水准面：处于静止状态的水面，与铅垂线处处垂直
• 平均海水面：根据验潮站长期测量得到的平均海水高度所在的水准面
• 大地水准面：假想的，平均海水面向陆地延伸并且包围整个地球
  • 地球内部质量不均匀，大地水准面有起伏，封闭，不规则，无法用数学公式精确表达
  • 认为是地球真实轮廓，包围的形体成为大地体
  • 是外业测量的基准
• 地球椭球体：使用旋转椭球面拟合大地水准面得到的数学模型，与其垂直的称为法线
  • 可以用数学公式表达和计算
  • 不同国家采用自己的参考椭球体，尽量贴合全球地形或自己国家地形
  • 一般取半径 $R=\frac{1}{3}(2a+b)\approx 6371\mathrm{km}$
  • 是内业计算的基准

	大地水准面	地球椭球体
来源	平均海水面延伸	大地水准面拟合
数学表达式	无	有
垂直线	铅垂线	法线
基准	外业测量	内业计算

坐标系统

空间三维直角坐标系

以地球质心为原点建立的空间直角坐标系，$x,y,z$ 没有实际对应含义，尤其 $z$ 不是高程。一般用于卫星定位。了解即可。

球面基准大地坐标系

• 经度 $L$ 为所在子午面与 首子午面 的夹角
• 纬度 $B$ 为椭球面法线与赤道平面夹角（不是与地心连线）

高斯平面直角坐标系

高斯投影是一种将地球曲面投影到平面的手段。

先按经线等分投影带

• $6^{\circ }$ 带：全球分为 $\frac{360^{\circ }}{6^{\circ }}=60$ 带，$0^{\circ }\mathrm{E}\to 6^{\circ }\mathrm{E}$ 为 $1$ 号带
• $3^{\circ }$ 带：全球分为 $\frac{360^{\circ }}{3^{\circ }}=120$ 带，$1.5^{\circ }\mathrm{W}\to 1.5^{\circ }\mathrm{E}$ 为 $1$ 号带

$3^{\circ }$ 带的中央经线均为 $6^{\circ }$ 带的分割经线或中央经线。

各带对应经度建议画图现推。记住图形以及 $6^{\circ }$ 带从 $0^{\circ }$ 出发、$3^{\circ }$ 带第一带中心为 $0^{\circ }$ 即可。

带宽越窄，投影产生的长度变形就越小，精度就越高。

带内建立平面坐标系

• 将中央子午线西移 $500\mathrm{km}$ 作为 $x$ 轴
• 沿着赤道建立 $y$ 轴

注意南北为 $x$，东西为 $y$。

取得坐标后，在横坐标前冠带号。例如第 20 带内的点 $A(323512m,527680m)$，则最终横坐标为 $20527680m$。

$500\mathrm{km}$ 的来源

为了让 $y$ 坐标恒为正且保持三位数。

地球赤道长约 $40000\mathrm{km}$，则一个 $6^{\circ }$ 带内东西长 $\frac{40000\mathrm{km}}{60}\approx 666\mathrm{km}$，则最大可能的负数 $y$ 坐标约为 $-333\mathrm{km}$。

• 假设加 $400\mathrm{km}$，则最小 $y$ 坐标为 $67\mathrm{km}$，为两位数
• 加 $500\mathrm{km}$，则最小 $y$ 坐标为 $167\mathrm{km}$，保持三位数

在前冠带号时，稳定的位数不会导致混淆。

地区平面直角坐标系

• 南北为 $x$，东西为 $y$
• 角度顺时针为正
• 象限位置不同，但与 $x,y$ 坐标正负性的关系仍与一般一致
  • 第一象限：$+x,+y$
  • 第二象限：$-x,+y$
  • 第三象限：$-x,-y$
  • 第四象限：$+x,-y$

上海地方坐标系以国际饭店楼顶旗杆中心作为原点。

高程系统

定义高差

$$h_{AB}=H_B-H_A$$

下标始终遵循「后减前」。

全国高程基准来自青岛验潮站。

上海市地方采用吴淞高程零点。

小结

	空间坐标系	大地坐标系	平面高程系
定位方式	空间直角坐标系	大地坐标 + 大地高	平面直角坐标 + 高程
应用范围	全球	全球	仅局部
坐标变量	$x,y,z$ 无实际含义	经度 $L$ 纬度 $B$ 大地高 $H$	平面南北轴坐标 $X$ 平面东西轴坐标 $Y$ 高程 $H$

地面点位置确定与坐标变换

三北与方位角

方位角：从基准方向出发，顺时针转到目标方向走过的角度，取值范围为 $[0^{\circ },360^{\circ })$。

基准方向	真北	坐标北	磁北
来源	北极方向	坐标系 $x$ 轴方向	地磁场方向
与真北夹角	$0^{\circ }$	子午线收敛角 $\theta$	磁偏角 $\delta$
产出的方位角	真方位角 $A$	坐标方位角 $\alpha$	磁方位角 $A_{磁}$
地位	基准	最常用

子午线收敛角、磁偏角均是从真北出发，顺时针为正，逆时针为负。

磁方位角除 $A_{磁}$ 外也用 $A_{\mathrm{m}}$。

坐标变换

二维坐标变换需要 $3+1$ 个参数：

• 平移量 $x_0,y_0$
• 旋转量 $\alpha$
• (比例系数 $s$)

二维坐标变换公式：

$$\left(\begin{array}{c}{x}_P\\ y_P\end{array}\right)=s\left(\begin{array}{cc}\cos \alpha & -\sin \alpha \\ \sin \alpha & \cos \alpha \end{array}\right)\left(\begin{array}{c}{x}_P^{\prime }\\ y_P^{\prime }\end{array}\right)+\left(\begin{array}{c}{x}_0\\ y_0\end{array}\right)$$

三维坐标变换需要 $6+1$ 个参数：

• 平移量 $x_0,y_0,z_0$
• 绕三轴旋转量 $\alpha ,\beta ,\gamma$
• (比例系数 $s$)

三维坐标变换公式与二维形式类似。

NOTE

旋转变换矩阵

$$\begin{array}{rlr}逆时针& & \left(\begin{array}{cc}\cos & \sin \\ -\sin & \cos \end{array}\right)\\ 顺时针& & \left(\begin{array}{cc}\cos & -\sin \\ \sin & \cos \end{array}\right)\end{array}$$

将其拓展为三维：

$$\begin{array}{rlrl}绕& z& {\mathbf{R}}_Z& =\left(\begin{array}{ccc}\cos & \sin & 0\\ -\sin & \cos & 0\\ 0& 0& 1\end{array}\right)\\ 绕& y& {\mathbf{R}}_Y& =\left(\begin{array}{ccc}\cos & 0& \sin \\ 0& 1& 0\\ -\sin & 0& \cos \end{array}\right)\\ 绕& x& {\mathbf{R}}_X& =\left(\begin{array}{ccc}1& 0& 0\\ 0& \cos & \sin \\ 0& -\sin & \cos \end{array}\right)\end{array}$$

其余部分一样，绕哪个轴转，那个轴的行和列定位常数，交点为 $1$ 其余为 $0$。

旋转方向基于右手螺旋定则判定，大拇指指向旋转轴正方向，四指方向为旋转方向。

测量的基本原则

• 布局上，从整体到局部
• 次序上，先控制后细部
• 精度上，从高级到低级

基本观测量

基本观测量包括距离、角度、高差。

WARNING

是高差而不是高程。高程无法直接测量。

距离

• 倾斜距离（斜距，SD 或 $S$）：两点连成的线段的长度
• 水平距离（平距，HD 或 $D$）：两点在水平面投影之间的距离

角度

• 水平角是空间两相交直线在水平面的投影线之间的夹角，范围 $[0^{\circ },360^{\circ })$
• 垂直角
  • 高度角：目标与水平方向的夹角，范围 $[-90^{\circ },+90^{\circ }]$
  • 天顶距：目标与竖直向上方向的夹角，范围 $[0,180^{\circ }]$

高差

• 绝对高程：地面点到大地水准面的铅垂距离（又称为海拔）
• 相对高程：地面点到任意水准面的铅垂距离
• 高差：两点间高程之差，只要在同一个高程面起算就行，哪个面无所谓

水准面曲率对观测量的影响

将水准面当作平面处理的范围要求：

• 对水平距离：半径 $10\mathrm{km}$ 或面积 $300\mathrm{k}{\mathrm{m}}^2$ 内
• 对水平角度：面积 $10\mathrm{k}{\mathrm{m}}^2$ 内
• 对垂直距离：不可忽略
  • 低精度水准测量站距要求：$60\sim 80m$
  • 高精度水准测量站距要求：$30\sim 50m$