5 条件平差

条件平差的建模方法

条件平差是「对观测值本身进行平差」的模型，核心是先建立观测值真值之间的函数关系。

基本计数关系

• 观测值个数：$n$
• 必要观测数：$t$
• 多余观测数：$r=n-t$
• 条件方程个数：$r$

条件方程的一般形式

$$\mathit{A}\hat{\mathit{L}}+{\mathit{A}}_0=\mathbf{0}$$

其中 $\mathit{A}\in {\mathbb{R}}^{r\times n}$，且应满足 $\mathrm{rank}(\mathit{A})=r$（即满秩，条件方程之间相互独立）。

列式要求

条件方程应满足：

• 足数：个数等于 $r$
• 独立：线性无关
• 最简：尽量采用最短路线、最小闭合环，避免冗余组合

TIP

实务上常用 “先列附合条件，再列闭合条件” 的顺序，通常更容易保证独立与最简。

• 附合条件：例如两个已知控制点之间的路线
• 闭合条件：例如高程闭合环路

对于闭合环，优先列最简的小环。

条件平差的求解方法

误差方程

由

$$\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$$

并令闭合差

$$\mathit{W}=-(\mathit{A}\mathit{L}+{\mathit{A}}_0)$$

得到误差方程

$$\mathit{A}\mathit{V}-\mathit{W}=\mathbf{0}$$

最小二乘准则

随机模型记为

$$\mathit{D}={\sigma }_0^2\mathit{Q}={\sigma }_0^2{\mathit{P}}^{-1}$$

在约束 $\mathit{A}\mathit{V}-\mathit{W}=0$ 下，使

$${\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}=min$$

拉格朗日解算

根据 拉格朗日乘数法，要求函数 $f$ 在条件 $\phi =0$ 条件下的极值，则作拉格朗日函数 $L=f-\lambda \phi$。这里令 $\lambda =2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}$，其中 $\mathit{k}$ 称为联系数向量，加个系数 $2$ 是便于计算。

构造

$$\mathit{\Phi }={\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}-2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}(\mathit{A}\mathit{V}-\mathit{W})$$

$\mathit{\Phi }$ 对 $\mathit{V}$ 求一阶导数并令为零可得

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathit{\Phi }}{\mathrm{d}\mathit{V}}}=2{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}-2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}=\mathbf{0}\\ \Rightarrow {\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}={\mathit{k}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\\ \Rightarrow {\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{V}={\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}\end{array}$$

由于权阵为对称阵，${\mathit{P}}^{\mathrm{T}}=\mathit{P}$，有

$$\mathit{V}={\mathit{P}}^{-1}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}$$

上式称为改正数方程。

代回约束，得到法方程

$$\mathit{N}\mathit{k}-\mathit{W}=\mathbf{0},\mathit{N}=\mathit{A}\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$$

故

$$\mathit{k}={\mathit{N}}^{-1}\mathit{W},\mathit{V}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{W}$$

最终平差值

$$\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$$

计算流程（七步）

1. 列平差值条件方程 $\mathit{A}\hat{\mathit{L}}+{\mathit{A}}_0=0$
2. 写误差方程 $\mathit{A}\mathit{V}-\mathit{W}=0$
3. 组法方程 $\mathit{N}\mathit{k}-\mathit{W}=0$
4. 解联系数 $\mathit{k}$
5. 求改正数 $\mathit{V}$
6. 求观测平差值 $\hat{\mathit{L}}$
7. 按需要计算参数平差值函数（如点高程、边长等）

条件平差的精度评定

单位权方差估值

$${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{n-t}=\frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{r}$$

改正数与平差值的协因数阵

$${\mathit{Q}}_{\hat{e}\hat{e}}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{A}\mathit{Q}$$$${\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathit{Q}-{\mathit{Q}}_{\hat{e}\hat{e}}=\mathit{Q}-\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{A}\mathit{Q}$$

对应协方差阵为

$${\mathit{D}}_{\hat{L}\hat{L}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}$$

平差值函数精度

若参数平差值函数写为

$$\hat{\mathit{X}}=\mathit{M}\hat{\mathit{L}}+{\mathit{m}}_0$$

则

$${\mathit{Q}}_{\hat{X}\hat{X}}=\mathit{M}{\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}{\mathit{M}}^{\mathrm{T}},{\mathit{D}}_{\hat{X}\hat{X}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathit{Q}}_{\hat{X}\hat{X}}$$

附有参数的条件平差

用于 “条件方程难直接列立” 或 “希望在条件平差中同步解某些关键参数” 的场景。

数学模型

$$\mathit{A}\hat{\mathit{L}}+\mathit{B}\hat{\mathit{X}}+{\mathit{A}}_0=\mathbf{0}$$

令

$$\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V},\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}},\mathit{W}=-(\mathit{A}\mathit{L}+\mathit{B}{\mathit{X}}_0+{\mathit{A}}_0)$$

得到

$$\mathit{A}\mathit{V}+\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{W}=\mathbf{0}$$

最小二乘与法方程

仍取

$${\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}=min$$

由拉格朗日法可得基础方程

$$\mathit{V}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k},{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}=\mathbf{0}$$

联立得块法方程

$$\left[\begin{array}{cc}\mathit{N}& \mathit{B}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& \mathbf{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{k}\\ -\hat{\mathit{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathit{W}\\ \mathbf{0}\end{array}\right],\mathit{N}=\mathit{A}\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$$

设

$${\mathit{N}}_B={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{B}$$

则

$$\hat{\mathit{x}}={\mathit{N}}_B^{-1}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{W},\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$$

精度公式要点

• 单位权方差估值公式不变：${\hat{\sigma }}_0^2={\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}/(n-t)$
• 参数改正数协因数阵：

$${\mathit{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}={\mathit{N}}_B^{-1}$$

条件平差应用要点

测角网

常见条件类型：

• 图形条件
• 圆周条件
• 边长（基线）条件

边长条件常含正弦函数，通常需线性化后再进入统一矩阵解算。

导线网（测边 / 边角）

常见条件类型：

• 方位角条件（1 个）
• 坐标条件（$X$、$Y$ 各 1 个）
• 复杂网型时再叠加圆周或附合条件

IMPORTANT

对所有网型，列条件方程都应始终检查三件事：足数、独立、最简。

本章小结

• 条件平差以观测值真值之间的独立条件方程为基础
• 采用最小二乘 + 拉格朗日乘子可统一得到法方程解
• 精度评定核心是 ${\hat{\sigma }}_0^2$、${\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}$ 和函数传播
• 附有参数条件平差是条件平差向 “参数同步估计” 的自然扩展