5 条件平差

建模

条件平差是「对观测值本身进行平差」的模型，核心是先建立观测值真值之间的函数关系。

基本计数关系

• 观测值个数：$n$
• 必要观测数：$t$
• 多余观测数：$r=n-t$
• 条件方程个数：$r$

条件方程的一般形式

$$\mathbf{A}\hat{\mathbf{L}}+{\mathbf{A}}_0=0$$

其中 $\mathbf{A}\in {\mathbb{R}}^{r\times n}$，且应满足 $\mathrm{rank}(\mathbf{A})=r$（即行满秩，条件方程之间相互独立）。

列式要求

条件方程应满足：

• 足数：个数等于 $r$
• 独立：线性无关
• 最简：尽量采用最短路线、最小闭合环，避免冗余组合

TIP

实务上常用 “先列附合条件，再列闭合条件” 的顺序，通常更容易保证独立与最简。

• 附合条件：例如两个已知控制点之间的路线
• 闭合条件：例如高程闭合环路

对于闭合环，优先列最简的小环。

求解

误差方程推导

由

$$\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}$$

并令闭合差

$$\mathbf{W}=-\left(\mathbf{A}\mathbf{L}+{\mathbf{A}}_0\right)$$

得到误差方程

$$\mathbf{A}\mathbf{V}-\mathbf{W}=0$$

随机模型记为

$$\mathbf{D}={\sigma }_0^2\mathbf{Q}={\sigma }_0^2{\mathbf{P}}^{-1}$$

因此，在约束 $\mathbf{A}\mathbf{V}-\mathbf{W}=0$ 下，要使

$${\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}=\min$$

根据 拉格朗日乘数法，要求函数 $f$ 在条件 $\phi =0$ 条件下的极值，则作拉格朗日函数 $L=f-\lambda \phi$。这里令 $\lambda =2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}$，其中 ${\mathbf{k}}_{n\times 1}$ 称为联系数向量，加个系数 $2$ 是便于计算。

构造

$$\mathbf{\Phi }={\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}(\mathbf{A}\mathbf{V}-\mathbf{W})$$

$\mathbf{\Phi }$ 对 $\mathbf{V}$ 求一阶导数并令为零可得

$$\begin{array}{c}\frac{\mathrm{d}\mathbf{\Phi }}{\mathrm{d}\mathbf{V}}=2{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}-2{\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}=0\\ \Rightarrow {\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}={\mathbf{k}}^{\mathrm{T}}\mathbf{A}\\ \Rightarrow {\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}\mathbf{V}={\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}\end{array}$$

由于权阵为对称阵，${\mathbf{P}}^{\mathrm{T}}=\mathbf{P}$，有

$$\mathbf{V}={\mathbf{P}}^{-1}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}=\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}$$

上式称为改正数方程。

代回约束，得到

$$\mathbf{N}\mathbf{k}-\mathbf{W}=0,\text{其中}\mathbf{N}=\mathbf{A}\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$$

上式称为法方程。

故

$$\mathbf{k}={\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{W},\mathbf{V}=\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{W}$$

最终平差值

$$\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}$$

最终公式

对于闭合差 $\mathbf{W}=-\left(\mathbf{A}\mathbf{L}+{\mathbf{A}}_0\right)$：

令 $\mathbf{N}=\mathbf{A}\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}$，则有改正数向量

$$\mathbf{V}=\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{W}$$

最终平差值

$$\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}$$

精度评定

单位权方差估值

$${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}}{n-t}=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}}{r}$$

改正数与平差值的协因数阵

$$\begin{array}{c}{\mathbf{Q}}_{VV}=\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}\\ {\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathbf{Q}-{\mathbf{Q}}_{VV}=\mathbf{Q}-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}\end{array}$$

对应协方差阵为

$${\mathbf{D}}_{\hat{L}\hat{L}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}$$

例

已知 $H_A=12.736m$，为求 $P_1$, $P_2$ 点的高程，进行了 4 条路线的水准测量，结果如下图，试用条件平差法求：

1. $P_1$, $P_2$ 点的高程平差值及中误差；
2. 平差后 $P_1$, $P_2$ 点间高差的中误差。

$$\begin{array}{rlrlrlrl}{h}_1& =4.250m& h_2& =8.537m& h_3& =12.784m& h_4& =8.537m\\ s_1& =1\mathrm{km}& s_2& =2\mathrm{km}& s_3& =1\mathrm{km}& s_4& =2\mathrm{km}\end{array}$$

---

依题意有 $n=4,t=2,r=2$，列立两个条件方程：

$$\{\begin{array}{l}{\hat{h}}_2-{\hat{h}}_4=0\\ {\hat{h}}_1+{\hat{h}}_2-{\hat{h}}_3=0\end{array}$$$$\mathbf{A}\hat{\mathbf{L}}+{\mathbf{A}}_0=0,\mathbf{A}=\left[\begin{array}{cccc}0& 1& 0& -1\\ 1& 1& -1& 0\end{array}\right]$$

故有

$$\mathbf{W}=-\mathbf{AL}=\left[\begin{array}{c}0\\ -0.003\end{array}\right]$$

水准网按距离倒数定权，有 $\mathbf{Q}=\mathrm{diag}(1,2,1,2)$，故有

$$\begin{array}{c}\mathbf{N}=\mathbf{A}\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}=\left[\begin{array}{cc}4& 2\\ 2& 4\end{array}\right]\\ \Rightarrow {\mathbf{N}}^{-1}=\frac{1}{6}\left[\begin{array}{cc}2& -1\\ -1& 2\end{array}\right]\end{array}$$$$\mathbf{V}=\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{W}=\left[\begin{array}{c}-0.001\\ -0.001\\ 0.001\\ -0.001\end{array}\right]$$

故有最终平差值

$$\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}=\left[\begin{array}{c}4.249\\ 8.536\\ 12.785\\ 8.536\end{array}\right]$$$$\{\begin{array}{l}{\hat{h}}_{P_1}=h_A-{\hat{h}}_2=12.736-8.536=4.200m\\ {\hat{h}}_{P_2}=h_A+{\hat{h}}_1=12.736+4.249=16.985m\end{array}$$

又有

$${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{P}\mathbf{V}}{r}=1.5\times 10^{-6}{\mathrm{m}}^2$$$${\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathbf{Q}-{\mathbf{Q}}_{VV}=\mathbf{Q}-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}=\frac{1}{3}\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 1& -1\\ -1& 2& 1& 2\\ 1& 1& 2& 1\\ -1& 2& 1& 2\end{array}\right]$$$${\mathbf{D}}_{\hat{L}\hat{L}}={\sigma }_0^2{\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\left[\begin{array}{cccc}2& -1& 1& -1\\ -1& 2& 1& 2\\ 1& 1& 2& 1\\ -1& 2& 1& 2\end{array}\right]\times 0.5\times 10^{-6}$$

故有

$$\begin{array}{c}{\sigma }_{{\hat{h}}_1}^2=2\times 0.5\times 10^{-6}=10^{-6}\Rightarrow {\sigma }_{{\hat{h}}_1}=10^{-3}m\\ {\sigma }_{{\hat{h}}_2}^2=2\times 0.5\times 10^{-6}=10^{-6}\Rightarrow {\sigma }_{{\hat{h}}_2}=10^{-3}m\\ {\sigma }_{{\hat{h}}_3}^2=2\times 0.5\times 10^{-6}=10^{-6}\Rightarrow {\sigma }_{{\hat{h}}_3}=10^{-3}m\end{array}$$

又有 ${\hat{h}}_{P_1}=H_A-{\hat{h}}_2$，${\hat{h}}_{P_2}=H_A-{\hat{h}}_1$，$\Delta {\hat{h}}_{P_1{P}_2}={\hat{h}}_3$，故有

$$\begin{array}{c}{\sigma }_{{\hat{h}}_{P1}}={\sigma }_{{\hat{h}}_2}=10^{-3}m\\ {\sigma }_{{\hat{h}}_{P2}}={\sigma }_{{\hat{h}}_1}=10^{-3}m\\ {\sigma }_{\Delta {\hat{h}}_{P_1{P}_2}}={\sigma }_{{\hat{h}}_3}=10^{-3}m\end{array}$$

平差结果的相关性

评定 $\hat{\mathbf{L}}$ 和 $\mathbf{V}$ 的相关性

$$\begin{array}{rl}\mathbf{V}& =\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}=\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{W}\\ & =-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}(\mathbf{A}\mathbf{L}+{\mathbf{A}}_0)\\ & =-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{L}-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}{\mathbf{A}}_0\end{array}$$$$\begin{array}{rl}\hat{\mathbf{L}}& =\mathbf{L}+\mathbf{V}\\ & =(\mathbf{I}-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A})\mathbf{L}-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}{\mathbf{A}}_0\end{array}$$$$\begin{array}{rl}{\mathbf{Q}}_{\hat{L}V}& =(\mathbf{I}-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A})\mathbf{Q}(-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A}{)}^{\mathrm{T}}\\ & =-(\mathbf{I}-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A})\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}\\ & =-\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{A}\mathbf{Q}+\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{N}}^{-1}\cancel{\mathbf{A}\mathbf{Q}{\mathbf{A}}^{\mathrm{T}}}\cancel{{\mathbf{N}}^{-1}}\mathbf{A}\mathbf{Q}\\ & =0\end{array}$$

故平差值 $\hat{\mathbf{L}}$ 与改正数 $\mathbf{V}$ 是不相关的，$\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}+{\mathbf{Q}}_{VV}$。

$\mathbf{L}=\hat{\mathbf{L}}-\mathbf{V}$，$\hat{\mathbf{L}}$ 和 $\mathbf{V}$ 不相关，因此有

$$\begin{array}{c}\mathbf{Q}={\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}+{\mathbf{Q}}_{VV}\\ \Rightarrow {\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathbf{Q}-{\mathbf{Q}}_{VV}\end{array}$$

公式总结

• 函数模型：$\mathbf{A}\mathbf{V}-\mathbf{W}=0$
• 随机模型：$\mathbf{D}={\sigma }_0^2\mathbf{Q}={\sigma }_0^2{\mathbf{P}}^{-1}$

平差步骤	公式
列条件方程	$f(\tilde{\mathbf{L}})=0$，$\mathbf{A}\tilde{\mathbf{L}}+{\mathbf{A}}_0=0$ $\mathbf{Nk}-\mathbf{W}=0$，$\mathbf{W}=-(\mathbf{AL}+{\mathbf{A}}_0)$
组成法方程	$\mathbf{Nk}-\mathbf{W}=0$，其中 $\mathbf{N}={\mathbf{AQA}}^{\mathrm{T}}$
法方程解	$\mathbf{k}={\mathbf{N}}^{-1}\mathbf{W}$
计算改正数	$\mathbf{V}={\mathbf{QA}}^{\mathrm{T}}\mathbf{k}$
观测量平差值	$\hat{\mathbf{L}}=\mathbf{L}+\mathbf{V}$
单位权方差估值	${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}}{n-t}=\frac{{\mathbf{V}}^{\mathrm{T}}\mathbf{PV}}{r}$
平差值函数的方差	${\mathbf{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}={\mathbf{F}}^{\mathrm{T}}{\mathbf{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}\mathbf{F}$ ${\mathbf{D}}_{\hat{F}\hat{F}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathbf{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}$