5 条件平差

建模

条件平差是「对观测值本身进行平差」的模型，核心是先建立观测值真值之间的函数关系。

基本计数关系

• 观测值个数：$n$
• 必要观测数：$t$
• 多余观测数：$r=n-t$
• 条件方程个数：$r$

条件方程的一般形式

$$\mathit{A}\hat{\mathit{L}}+{\mathit{A}}_0=\mathbf{0}$$

其中 $\mathit{A}\in {\mathbb{R}}^{r\times n}$，且应满足 $\mathrm{rank}(\mathit{A})=r$（即满秩，条件方程之间相互独立）。

列式要求

条件方程应满足：

• 足数：个数等于 $r$
• 独立：线性无关
• 最简：尽量采用最短路线、最小闭合环，避免冗余组合

TIP

实务上常用 “先列附合条件，再列闭合条件” 的顺序，通常更容易保证独立与最简。

• 附合条件：例如两个已知控制点之间的路线
• 闭合条件：例如高程闭合环路

对于闭合环，优先列最简的小环。

求解

误差方程推导

由

$$\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$$

并令闭合差

$$\mathit{W}=-(\mathit{A}\mathit{L}+{\mathit{A}}_0)$$

得到误差方程

$$\mathit{A}\mathit{V}-\mathit{W}=\mathbf{0}$$

随机模型记为

$$\mathit{D}={\sigma }_0^2\mathit{Q}={\sigma }_0^2{\mathit{P}}^{-1}$$

因此，在约束 $\mathit{A}\mathit{V}-\mathit{W}=0$ 下，要使

$${\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}=min$$

根据 拉格朗日乘数法，要求函数 $f$ 在条件 $\phi =0$ 条件下的极值，则作拉格朗日函数 $L=f-\lambda \phi$。这里令 $\lambda =2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}$，其中 ${\mathit{k}}_{n\times 1}$ 称为联系数向量，加个系数 $2$ 是便于计算。

构造

$$\mathit{\Phi }={\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}-2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}(\mathit{A}\mathit{V}-\mathit{W})$$

$\mathit{\Phi }$ 对 $\mathit{V}$ 求一阶导数并令为零可得

$$\begin{array}{c}{\displaystyle \frac{\mathrm{d}\mathit{\Phi }}{\mathrm{d}\mathit{V}}}=2{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}-2{\mathit{k}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}=\mathbf{0}\\ \Rightarrow {\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}={\mathit{k}}^{\mathrm{T}}\mathit{A}\\ \Rightarrow {\mathit{P}}^{\mathrm{T}}\mathit{V}={\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}\end{array}$$

由于权阵为对称阵，${\mathit{P}}^{\mathrm{T}}=\mathit{P}$，有

$$\mathit{V}={\mathit{P}}^{-1}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}$$

上式称为改正数方程。

代回约束，得到法方程

$$\mathit{N}\mathit{k}-\mathit{W}=\mathbf{0},\mathit{N}=\mathit{A}\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$$

故

$$\mathit{k}={\mathit{N}}^{-1}\mathit{W},\mathit{V}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{W}$$

最终平差值

$$\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$$

最终公式

对于闭合差 $\mathit{W}=-(\mathit{A}\mathit{L}+{\mathit{A}}_0)$：

令 $\mathit{N}=\mathit{A}\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$，则有改正数向量

$$\mathit{V}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{W}$$

最终平差值

$$\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$$

精度评定

单位权方差估值

$${\hat{\sigma }}_0^2=\frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{n-t}=\frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{r}$$

改正数与平差值的协因数阵

$${\mathit{Q}}_{VV}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{A}\mathit{Q}$$$${\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}=\mathit{Q}-{\mathit{Q}}_{VV}=\mathit{Q}-\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{A}\mathit{Q}$$

对应协方差阵为

$${\mathit{D}}_{\hat{L}\hat{L}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}$$

平差值函数精度

若参数平差值函数写为

$$\hat{\mathit{X}}=\mathit{M}\hat{\mathit{L}}+{\mathit{M}}_0$$

则

$${\mathit{Q}}_{\hat{X}\hat{X}}=\mathit{M}{\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}{\mathit{M}}^{\mathrm{T}},{\mathit{D}}_{\hat{X}\hat{X}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathit{Q}}_{\hat{X}\hat{X}}$$

附有参数的条件平差

误差方程推导

$$\mathit{A}\hat{\mathit{L}}+\mathit{B}\hat{\mathit{X}}+{\mathit{A}}_0=\mathbf{0}$$

令

$$\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V},\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}_0+\hat{\mathit{x}},\mathit{W}=-(\mathit{A}\mathit{L}+\mathit{B}{\mathit{X}}_0+{\mathit{A}}_0)$$

得到

$$\mathit{A}\mathit{V}+\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{W}=\mathbf{0}$$

仍取

$${\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}=min$$

由拉格朗日法可得基础方程

$$\mathit{V}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k},{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}=\mathbf{0}$$

联立得块法方程

$$\left[\begin{array}{cc}\mathit{N}& \mathit{B}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& \mathbf{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{k}\\ -\hat{\mathit{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathit{W}\\ \mathbf{0}\end{array}\right],\mathit{N}=\mathit{A}\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$$

设

$${\mathit{N}}_B={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{B}$$

则

$$\{\begin{array}{l}\hat{\mathit{x}}={\mathit{N}}_B^{-1}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{W}\\ \mathit{V}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}=-\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}(\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{W})\end{array}$$

最终公式

对于闭合差 $\mathit{W}=-(\mathit{A}\mathit{L}+\mathit{B}{\mathit{X}}_0+{\mathit{A}}_0)$：

令 $\mathit{N}=\mathit{A}\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$，${\mathit{N}}_B={\mathit{B}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{B}$，则有改正数向量

$$\{\begin{array}{l}\hat{\mathit{x}}={\mathit{N}}_B^{-1}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{W}\\ \mathit{V}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}=-\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}(\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{W})\end{array}$$

最终平差值

$$\{\begin{array}{l}\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}\\ \hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}^0+\hat{\mathit{x}}\end{array}$$

精度评定

• 单位权方差估值公式不变：${\hat{\sigma }}_0^2={\displaystyle \frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{n-t}}$，与参数改正数 $\hat{\mathit{x}}$ 无关
• 参数改正数协因数阵：${\mathit{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}={\mathit{N}}_B^{-1}$

公式总结

条件平差

• 函数模型：$\mathit{A}\mathit{V}-\mathit{W}=\mathbf{0}$
• 随机模型：$\mathit{D}={\sigma }_0^2\mathit{Q}={\sigma }_0^2{\mathit{P}}^{-1}$

平差步骤	公式
列条件方程	$f(\tilde{\mathit{L}})=\mathbf{0}$，$\mathit{A}\tilde{\mathit{L}}+{\mathit{A}}_0=\mathbf{0}$ $\mathit{N}\mathit{k}-\mathit{W}=\mathbf{0}$，$\mathit{W}=-(\mathit{A}\mathit{L}+{\mathit{A}}_0)$
组成法方程	$\mathit{N}\mathit{k}-\mathit{W}=\mathbf{0}$，$\mathit{N}=\mathit{A}\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$
法方程解	$\mathit{k}={\mathit{N}}^{-1}\mathit{W}$
计算改正数	$\mathit{V}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}$
观测量平差值	$\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$
单位权方差估值	${\hat{\sigma }}_0^2={\displaystyle \frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{n-t}}={\displaystyle \frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{r}}$
平差值函数的方差	${\mathit{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}={\mathit{F}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}\mathit{F}$ ${\mathit{D}}_{\hat{F}\hat{F}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathit{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}$

带参数的条件平差

• 函数模型：$\mathit{A}\mathit{V}+\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{W}=\mathbf{0}$
• 随机模型：$\mathit{D}={\sigma }_0^2\mathit{Q}={\sigma }_0^2{\mathit{P}}^{-1}$

平差步骤	公式
列条件方程	$\mathit{A}\mathit{V}+\mathit{B}\hat{\mathit{x}}-\mathit{W}=\mathbf{0}$
组成法方程	$\left[\begin{array}{cc}\mathit{N}& \mathit{B}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& \mathbf{0}\end{array}\right]\left[\begin{array}{c}\mathit{k}\\ -\hat{\mathit{x}}\end{array}\right]=\left[\begin{array}{c}\mathit{W}\\ \mathbf{0}\end{array}\right]$ $\mathit{N}=\mathit{A}\mathit{Q}\mathit{B}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}$
法方程解	$\left[\begin{array}{c}\mathit{k}\\ -\hat{\mathit{x}}\end{array}\right]={\left[\begin{array}{cc}\mathit{N}& \mathit{B}\\ {\mathit{B}}^{\mathrm{T}}& \mathbf{0}\end{array}\right]}^{-1}\left[\begin{array}{c}\mathit{W}\\ \mathbf{0}\end{array}\right]$
计算改正数	$\hat{\mathit{x}}={\mathit{N}}_B^{-1}{\mathit{B}}^{\mathrm{T}}{\mathit{N}}^{-1}\mathit{W}$ $\mathit{V}=\mathit{Q}{\mathit{A}}^{\mathrm{T}}\mathit{k}$
观测量平差值	$\hat{\mathit{X}}={\mathit{X}}^0+\hat{\mathit{x}}$ $\hat{\mathit{L}}=\mathit{L}+\mathit{V}$
单位权方差估值	${\hat{\sigma }}_0^2={\displaystyle \frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{n-t}}={\displaystyle \frac{{\mathit{V}}^{\mathrm{T}}\mathit{P}\mathit{V}}{r}}$ ${\mathit{Q}}_{\hat{x}\hat{x}}={\mathit{N}}_B^{-1}$
平差值函数的方差	${\mathit{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}={\mathit{F}}^{\mathrm{T}}{\mathit{Q}}_{\hat{L}\hat{L}}\mathit{F}$ ${\mathit{D}}_{\hat{F}\hat{F}}={\hat{\sigma }}_0^2{\mathit{Q}}_{\hat{F}\hat{F}}$