9.4 多元函数的极值与最值

无条件极值

• $f(x,y)$ 的极值，应有 $\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=0$，称为驻点
• 要判断这是极大值还是极小值，需要求海森矩阵的行列式 $H=\left|\begin{array}{cc}{f}_{xx}& f_{xy}\\ f_{yx}& f_{yy}\end{array}\right|=f_{xx}{f}_{yy}-f_{xy}^2$。
  • 若 $H>0$ 一定是极值点
    • 若 $f_{xx}>0$ 则为极小值点
    • 若 $f_{xx}<0$ 则为极大值点
  • 若 $H<0$ 一定不是极值点
  • 若 $H=0$ 不能直接判断（考试一般不考）

例 1

求函数 $z=x^3+y^2-6x^2-4y+2$ 的极值。

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$$\{\begin{array}{l}{z}_x=3x^2-12x=0\\ z_y=2y-4=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ y=2\end{array}或\{\begin{array}{l}x=4\\ y=2\end{array}$$

又有

$$\{\begin{array}{l}{z}_{xx}=6x-12\\ z_{yy}=2\\ z_{xy}=0\end{array}\Rightarrow z_{xx}{z}_{yy}-z_{xy}^2=12(x-2)$$

• 对于驻点 $(0,2)$，$12(x-2)=-24<0$，不是极值点；
• 对于驻点 $(4,2)$，$12(4-2)=24>0$，是极值点，且 $z_{xx}=12>0$，是极小值。

综上，原函数有一个极小值点 $(4,2)$。

条件极值

要求函数 $f(x,y)$ 在条件 $\phi (x,y)=0$ 下的极值，使用拉格朗日乘数法。

设拉格朗日函数

$$L(x,y,\lambda )=f(x,y)-\lambda \phi (x,y)$$

则此时条件极值应满足

$$\frac{\partial f}{\partial x}=\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{\partial f}{\partial \lambda }=0$$

如有多个条件，继续加 ${\lambda }_2,{\lambda }_3\cdots$ 等即可。

此时求出的是极大还是极小值需根据具体问题的实际意义判断。

例 2

求椭圆 $x^2+4y^2=4$ 上的点到直线 $2x+3y-6=0$ 距离的最小值。

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对于一点 $(x,y)$，其到直线的距离为

$$d=\frac{|2x+3y-6|}{\sqrt{2^2+3^2}}=\frac{1}{\sqrt{13}}|2x+3y-6|$$

不妨设 $f(x,y)=(2x+3y-6{)}^2$，则 $f(x,y)$ 与 $d$ 同时取得最小值。

作拉格朗日函数

$$L=(2x+3y-6{)}^2-\lambda (x^2+4y^2-4)$$

则有

$$\{\begin{array}{rl}{L}_x& =4(2x+3y-6)-2x\lambda =0\\ L_y& =6(2x+3y-6)-8y\lambda =0\\ L_{\lambda }& =-x^2-4y^2+4=0\end{array}$$

解得 $x=\frac{8}{5}$，$y=\frac{3}{5}$ 或 $x=-\frac{8}{5}$，$y=-\frac{3}{5}$。

• 对于点 $\left(\frac{8}{5},\frac{3}{5}\right)$，代入得到 $d=\frac{1}{\sqrt{13}}$
• 对于点 $\left(-\frac{8}{5},-\frac{3}{5}\right)$，代入得到 $d=\frac{11}{\sqrt{13}}$

故在 $\left(\frac{8}{5},\frac{3}{5}\right)$ 处取到最小值 $d=\frac{1}{\sqrt{13}}$。

函数在闭区域上的最值

• 先求区域内的无条件极值
• 再求边界上的条件极值
• 最后综合比较得到最值

例 3

求 $f(x,y)=3x^2+3y^2-x^3$ 在闭区域 $D:x^2+y^2\le 16$ 上的最值。

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$$\begin{array}{rlrl}{f}_x& =6x-3x^2=0& \Rightarrow x& =0,2\\ f_y& =6y& \Rightarrow y& =0\end{array}$$

故得到区域内两个驻点 $(0,0)$ 与 $(2,0)$。

边界上作拉格朗日函数 $L=3x^2+3y^2-x^3-\lambda (x^2+y^2-16)$，有

$$\{\begin{array}{l}{L}_x=6x-3x^2-2\lambda x=0\\ L_y=6y-2\lambda y=0\\ L_{\lambda }=-(x^2+y^2-16)=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=0\\ y=\pm 4\end{array}或\{\begin{array}{l}x=\pm 4\\ y=0\end{array}$$

得到边界上四个条件极值点 $(0,4)$，$(0,-4)$，$(4,0)$，$(-4,0)$。代入 $f(x,y)$，有

$$\begin{array}{rl}f(0,0)& =0\\ f(2,0)& =12-8=4\\ f(4,0)& =3\times 16-64=-16\\ f(-4,0)& =3\times 16+64=112\\ f(0,\pm 4)& =3\times 16=48\end{array}$$

综上，$(4,0)$ 处取得最小值 $-16$，$(-4,0)$ 处取得最大值 $112$。