8.2 平面与直线

平面

平面的方程

• 点向式方程：过点 $O(x_0,y_0,z_0)$，由向量 ${\mathbf{a}}_1=(x_1,y_1,z_1)$ 和 ${\mathbf{a}}_2=(x_2,y_2,z_2)$ 确定的平面是

  $$\left|\begin{array}{ccc}x-x_0& y-y_0& z-z_0\\ x_1& y_1& z_1\\ x_2& y_2& z_2\end{array}\right|=0$$

• 点法式方程：过点 $O(x_0,y_0,z_0)$，与向量 $\mathbf{n}=(a,b,c)$ 垂直的平面是

  $$a(x-x_0)+b(y-y_0)+c(z-z_0)=0$$

• 一般式方程：

  $$Ax+By+Cz+D=0$$

  其中可看出法向量为 $(A,B,C)$。

结果通常采用一般式或点法式。

例 1

求点 $(1,1,-1)$, $(-2.-2,2)$, $(1,-1,2)$ 三点确定的平面方程。

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$$\begin{array}{c}\overrightarrow{AB}=(-3,-3,3),\overrightarrow{AC}=(0,-2,3)\\ \cancel{3}\left|\begin{array}{ccc}x-1& y-1& z+1\\ -1& -1& 1\\ 0& -2& 3\end{array}\right|=-x+3y+2z=0\end{array}$$

平面的位置关系

对于平面 ${\Pi }_1:A_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0$ 和 ${\Pi }_2:A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0$，可以看出法向量 ${\mathbf{n}}_1=(A_1,B_1,C_1)$, ${\mathbf{n}}_2=(A_2,B_2,C_2)$

• 若 ${\mathbf{n}}_1,{\mathbf{n}}_2$ 不平行，则两平面相交
• 若 ${\mathbf{n}}_1\parallel {\mathbf{n}}_2$
  • 若方程系数对应成比例，即 $\frac{A_1}{A_2}=\frac{B_1}{B_2}=\frac{C_1}{C_2}=\frac{D_1}{D_2}$，则两平面重合
  • 否则两平面平行

例 2

求经过点 $(2,-3,1)$ 且与平面 $3x-7y+5z=12$ 平行的平面方程。

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设所求平面为 $3x-7y+5z=D$（$D\ne 12$），代入得

$$6+21+5=D\Rightarrow D=32$$

故所求平面为 $3x-7y+5z=32$。

直线

直线的方程

• 点向式方程：过点 $O(x_0,y_0,z_0)$，与 $\mathbf{v}=(a,b,c)$ 平行的直线是

  $$\frac{x-x_0}{a}=\frac{y-y_0}{b}=\frac{z-z_0}{c}$$

• 参数式方程：过点 $O(x_0,y_0,z_0)$，与 $\mathbf{v}=(a,b,c)$ 平行的直线是

  $$\{\begin{array}{l}x=x_0+at\\ y=y_0+bt\\ z=z_0+ct\end{array}$$

• 一般式方程：用两个不平行平面的交线表示

  $$\{\begin{array}{l}{A}_{1}x+B_{1}y+C_{1}z+D_1=0\\ A_{2}x+B_{2}y+C_{2}z+D_2=0\end{array}$$

  解线性方程组即可得到点向式方程。

例 3

有平面 $x-y+2z=1$ 和 $2x+y+4=0$

1. 求两个平面的交线
2. 求包含这条交线，过点 $P(1,1,1)$ 的平面方程

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1. 联立两方程，令 $x=t$ 有

$$\{\begin{array}{l}x-y+2z=1\\ 2x+y+4=0\end{array}\Rightarrow \{\begin{array}{l}x=t\\ y=-4-2t\\ z=\frac{-3-3t}{2}\end{array}$$

故有直线方程

$$\frac{x}{2}=\frac{y+4}{-4}=\frac{z+\frac{3}{2}}{-3}$$

2. 令上面的 $t=0$，得直线过点 $A\left(0,-4,-\frac{3}{2}\right)$，故有所求平面上的两个向量

$$\overrightarrow{AP}=\left(1,5,\frac{5}{2}\right),\mathbf{v}=(2,-4,-3)$$

故可使用点向式方程：

$$\begin{array}{c}\left|\begin{array}{ccc}x-1& y-1& z-1\\ 1& -2& -\frac{3}{2}\\ 1& 5& \frac{5}{2}\end{array}\right|=0\\ \Rightarrow 5x-8y+14z-11=0\end{array}$$

直线与平面的位置关系

• 若 $\mathbf{v}\cdot \mathbf{n}\ne 0$，则二者相交
• 若 $\mathbf{v}\perp \mathbf{n}$，在直线上取一点：
  • 若点在平面上，则为包含关系
  • 若点不在平面上，则为平行关系

例 4

有直线 $l_1:x-1=\frac{y+2}{2}=z-4$，$l_2:2-x=\frac{y-3}{2}=\frac{z}{2}$，求包含 $l_2$，且与 $l_1$ 平行的平面方程。

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有两直线的方向向量

$${\mathbf{v}}_1=(1,2,1),{\mathbf{v}}_2=(-1,2,2)$$

设平面的一个法向量为 $\mathbf{n}$，依题意有 $\{\begin{array}{l}\mathbf{n}\perp {\mathbf{v}}_1\\ \mathbf{n}\perp {\mathbf{v}}_2\end{array}$，不妨令 $\mathbf{n}={\mathbf{v}}_1\times {\mathbf{v}}_2$，即

$$\mathbf{n}=\left|\begin{array}{ccc}\mathbf{i}& \mathbf{j}& \mathbf{k}\\ 1& 2& 1\\ -1& 2& 2\end{array}\right|=(2,-3,4)$$

平面包含 $l_2$，取 $l_2$ 上一点 $(2,3,0)$，故有平面方程

$$2(x-2)-3(y-3)+4z=0$$

TIP

找同时垂直于某两个向量的直线 / 向量，优先考虑叉乘。

直线与直线的位置关系

在两条直线上分别取点 $P_1,P_2$，得 $\overrightarrow{P_1{P}_2}$

• 若 $[\overrightarrow{P_1{P}_2}{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2]\ne 0$，则两直线异面
• 若 $[\overrightarrow{P_1{P}_2}{\mathbf{v}}_1{\mathbf{v}}_2]=0$，
  • 若 ${\mathbf{v}}_1,{\mathbf{v}}_2$ 不平行，则直线相交
  • 若 ${\mathbf{v}}_1\parallel {\mathbf{v}}_2$，
    • 若 ${\mathbf{v}}_1\parallel {\mathbf{v}}_2\parallel \overrightarrow{P_1{P}_2}$，则两直线重合
    • 否则两直线平行

例 5

有直线 $l_1:\frac{x+2}{2}=\frac{y}{-3}=\frac{z-1}{4}$，$l_2:\frac{x-3}{m}=\frac{y-1}{4}=\frac{z-7}{2}$。当 $m$ 取何值时两条直线相交？并求出此时的交点。

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有两直线的方向向量 ${\mathbf{v}}_1=(2,-3,4)$，${\mathbf{v}}_2=(m,4,2)$。$l_1$ 上取点 $A(-2,0,1)$，在 $l_2$ 上取点 $B(3,1,7)$，则有 $\overrightarrow{AB}=(5,1,6)$。

两直线相交则不异面，有

$$\left|\begin{array}{ccc}2& -3& 4\\ m& 4& 2\\ 5& 1& 6\end{array}\right|=44+3(6m-10)+4(m-20)=22m+44-30-80=0$$

解得 $m=3$。

将 $l_1$ 改写成参数方程，代入 $l_2$ 得

$$\{\begin{array}{l}x=2t-2\\ y=-3t\\ z=1+4t\end{array}\Rightarrow \frac{(2t-2)-3}{3}=\frac{(-3t)-1}{4}=\frac{(1+4t)-7}{2}$$

解得 $t=1$，交点为 $(0,-3,5)$。

距离问题

点到平面的距离

• 向量法：取平面上一点与所求点连线，向平面法向量投影

• 公式法：设点 $P(x_0,y_0,z_0)$，平面 $Ax+By+Cz+D=0$，距离为

  $$d=\frac{|A{x}_0+B{y}_0+C{z}_0+D|}{\sqrt{A^2+B^2+C^2}}$$

  (可类比平面上的点到直线距离公式)

点到直线距离

• 向量法

• 公式法：取直线上一点 $M$，则有

  $$d=\frac{|\overrightarrow{PM}\times \mathbf{v}|}{|\mathbf{v}|}$$

  (可以从几何角度理解，分子为平行四边形面积，分母为底边，商为高)

例 6

求点 $M(2,-3,-1)$ 到直线 $\frac{x-1}{-2}=\frac{y+1}{-1}=z$ 与平面 $x+2y+2z-10=0$ 的距离和投影。

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• 点到直线的距离：取直线上点 $(1,-1,0)$，代公式
• 点到直线的投影：将直线化为参数方程，得到上面的动点 $Q(1-2t,-1-t,t)$，令 $\overrightarrow{MQ}\cdot \mathbf{v}=0$，则 $Q$ 即为投影点
• 点到平面的距离：代公式
• 点到平面的投影：平面法向量 + 点 $M$ 的点向式方程得到过点 $M$ 垂直于平面的方程，化为参数方程得到直线上动点 $P(2+t,-3+2t,-1+2t)$ 代入平面方程

TIP

求直线与某个图形（另一条直线 / 平面 / 曲面）的交点时，不要联立！将直线化为参数方程得到直线上动点的表达式（含 $t$），然后代入另一个图形的方程解 $t$ 即可。