4.4* 不定积分中的三角

三道引例

先从三道例题开始。

例 1

$$\begin{array}{rl}\int {\cos }^{3}x\mathrm{d}x& =\int {\cos }^{2}x\cos x\mathrm{d}x\\ & =\int (1-{\sin }^{2}x)\mathrm{d}\sin x\\ & =\sin x-\frac{1}{3}{\sin }^{3}x+C\end{array}$$

例 2

$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{3+{\sin }^{2}x}\mathrm{d}x& =\int \frac{{\sec }^{2}x}{3{\sec }^{2}x+{\tan }^{2}x}\\ & =\int \frac{\mathrm{d}\tan x}{3({\tan }^{2}x+1)+{\tan }^{2}x}\\ & =\int \frac{1}{4{\tan }^{2}x+3}\mathrm{d}\tan x\end{array}$$

考虑使用公式

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{a^2+x^2}=\frac{1}{a}\arctan \frac{x}{a}+C$$

因此有

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{2}\int \frac{1}{(2\tan x{)}^2+(\sqrt{3}{)}^2}\mathrm{d}(2\tan x)\\ & =\frac{1}{2\sqrt{3}}\arctan \frac{2\tan x}{\sqrt{3}}+C\end{array}$$

例 3

$$\begin{array}{rl}\int \frac{1}{{\sin }^{3}x\cos x}\mathrm{d}x& =\int \frac{{\sec }^{4}x}{{\tan }^{3}x}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{{\sec }^{2}x\cdot {\sec }^{2}x}{{\tan }^{3}x}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{{\tan }^{2}x+1}{{\tan }^{3}x}\mathrm{d}(\tan x)\\ & =\int (\frac{1}{\tan x}+{\tan }^{-3}x)\mathrm{d}(\tan x)\\ & =\ln |\tan x|-\frac{1}{2}{\tan }^{-2}x+C\\ & =\ln |\tan x|-\frac{1}{2}{\cot }^{2}x+C\end{array}$$

方法总结

含有 ${\sin }^{m}x{\cos }^{n}x$ 的积分的凑微分思路

• $\sin x$ 奇数次，$\cos x$ 偶数次 $\to$ $\mathrm{d}(\cos x)$ 或 $\mathrm{d}(\sec x)$
• $\cos x$ 奇数次，$\sin x$ 偶数次 $\to$ $\mathrm{d}(\sin x)$ 或 $\mathrm{d}(\csc x)$
• $\cos x$ 与 $\sin x$ 同为偶次或奇次 $\to$ $\mathrm{d}(\tan x)$ 或 $\mathrm{d}(\cot x)$

思路：$\cos x$ 与 $\sin x$ 谁落单了（奇数次），就拿去凑微分，如果没落单或者都落单，就用 ${\sec }^{2}x$ 去乘分子分母，把多的 ${\sec }^2$ 拿去凑微分。

其目标其实就是把式子化成三角有理式。

下面再看三道例题。

例 4

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\ln \tan x}{\cos x\sin x}\mathrm{d}x& =\int \frac{{\sec }^{2}x\ln \tan x}{\tan x}\mathrm{d}x\\ & =\int \frac{\ln \tan x}{\tan x}\mathrm{d}(\tan x)\\ & =\int \ln \tan x\mathrm{d}[\ln (\tan x)]\\ & =\frac{1}{2}{\ln }^2(\tan x)+C\end{array}$$

例 5

$$\begin{array}{rl}\int {\tan }^{3}x\sec x\mathrm{d}x& =\int {\tan }^{2}x\cdot \tan x\sec x\mathrm{d}x\\ & =\int {\tan }^{2}x\mathrm{d}\sec x\\ & =\int ({\sec }^{2}x-1)\mathrm{d}\sec x\\ & =\frac{1}{3}{\sec }^{3}x-\sec x+C\end{array}$$

例 6

$$\begin{array}{rl}\int \frac{\mathrm{d}x}{{\sin }^{2}x-4{\cos }^{2}x}& =\int \frac{{\sec }^{2}x\mathrm{d}x}{{\tan }^{2}x-4}\\ & =\int \frac{\mathrm{d}(\tan x)}{{\tan }^{2}x-4}\end{array}$$

考虑套用公式

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{x^2-a^2}=\frac{1}{2a}\ln \left|\frac{x-a}{x+a}\right|+C$$

故有

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{4}\ln \left|\frac{\tan x-2}{\tan x+2}\right|+C\end{array}$$

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练习 1

$$\int {\tan }^{4}x\mathrm{d}x$$

解答

$$\begin{array}{rl}I& =\int {\tan }^{2}x({\sec }^{2}x-1)\mathrm{d}x\\ & =\int {\tan }^{2}x\mathrm{d}\tan x-\int {\tan }^{2}x\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{3}{\tan }^{3}x-\int ({\sec }^{2}x-1)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{3}{\tan }^{3}x-\tan x+x+C\end{array}$$

练习 2

$$\int \frac{\mathrm{d}x}{2+\sin x\cos x}$$

解答

$$\begin{array}{rl}I& =\int \frac{{\sec }^{2}x\mathrm{d}x}{2{\sec }^{2}x+\tan x}\\ & =\int \frac{\mathrm{d}(\tan x)}{2{\tan }^{2}x+\tan x+2}\end{array}$$

令 $u=\tan x$，有

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{2}\int \frac{\mathrm{d}(u+\frac{1}{4})}{(u+\frac{1}{4}{)}^2+(\frac{\sqrt{15}}{4}{)}^2}\\ & =\frac{1}{2}\cdot \frac{4}{\sqrt{15}}\arctan \frac{u+\frac{1}{4}}{\frac{\sqrt{15}}{4}}+C\\ & =\frac{2}{\sqrt{15}}\arctan \left(\frac{4\tan x+1}{\sqrt{15}}\right)+C\end{array}$$

三角函数有理式积分法

三角函数有理式

定义 经 $\sin x,\cos x$ 以及常数经过有限次四则运算所构成的函数称为三角函数有理式。记为 $R(\sin x,\cos x)$，积分 $\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x$ 称为三角函数有理式的积分。

万能公式

令 $u=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$，则有

• $\sin x={\displaystyle \frac{2u}{1+u^2}}$
• $\cos x={\displaystyle \frac{1-u^2}{1+u^2}}$
• $\mathrm{d}x={\displaystyle \frac{2}{1+u^2}}\mathrm{d}u$

从而

$$\int R(\sin x,\cos x)\mathrm{d}x=\int R(\frac{2u}{1+u^2},\frac{1-u^2}{1+u^2}){\displaystyle \frac{2}{1+u^2}}\mathrm{d}u$$

其中 $\sin x$ 与 $\cos x$ 的万能公式代换是高中学过的。这里推一下 $\mathrm{d}x$ 的

$$\mathrm{d}u=\mathrm{d}\tan \frac{x}{2}=\frac{1}{2}{\sec }^2\frac{x}{2}\mathrm{d}x=\frac{1}{2}(1+{\tan }^2\frac{x}{2})\mathrm{d}x=\frac{1+u^2}{2}\mathrm{d}x$$

适用范围

$\sin x$，$\cos x$ 仅一次的情形。

例 7

$$\int \frac{1}{1+\sin x+\cos x}\mathrm{d}x$$

解：令 $u=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$。

$$\begin{array}{rl}I& =\int \frac{\frac{2}{1+u^2}}{1+\frac{2u}{1+u^2}+\frac{1-u^2}{1+u^2}}\mathrm{d}u\\ & =\int \frac{2}{(1+u^2)+2u+(1-u^2)}\mathrm{d}u\\ & =\int \frac{1}{u+1}\mathrm{d}(u+1)\\ & =\ln |u+1|+C\\ & =\ln |1+\tan \frac{x}{2}|+C\end{array}$$

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练习 3

$$\int \frac{1}{\sin x+\cos x}\mathrm{d}x$$

解答

法一：万能公式

令 $u=\tan {\displaystyle \frac{x}{2}}$。

$$\begin{array}{rl}I& =\int \frac{\frac{2}{1+u^2}}{\frac{2u}{1+u^2}+\frac{1-u^2}{1+u^2}}\mathrm{d}u\\ & =\int \frac{2}{2u+(1-u^2)}\mathrm{d}u\\ & =\int \frac{2}{(\sqrt{2}{)}^2-(u-1{)}^2}\mathrm{d}(u-1)\\ & =\frac{2}{2\sqrt{2}}\ln \left|\frac{\sqrt{2}+u-1}{\sqrt{2}-u+1}\right|+C\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\ln \left|\frac{\sqrt{2}-1+\tan \frac{x}{2}}{\sqrt{2}+1-\tan \frac{x}{2}}\right|+C\end{array}$$

法二：辅助角公式

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{\frac{1}{\sqrt{2}}\sin x+\frac{1}{\sqrt{2}}\cos x}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \frac{1}{\sin (x+\frac{\pi }{4})}\mathrm{d}(x+\frac{\pi }{4})\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\int \csc (x+\frac{\pi }{4})\mathrm{d}(x+\frac{\pi }{4})\\ & =\frac{1}{\sqrt{2}}\ln |\csc (x+\frac{\pi }{4})-\cot (x+\frac{\pi }{4})|+C\end{array}$$

利用积化和差公式

对于如下形式的不定积分

$$\begin{array}{r}\int \sin mx\cos nx\mathrm{d}x,\int \sin mx\sin nx\mathrm{d}x,\int \cos mx\cos nx\mathrm{d}x\end{array}$$

常用积化和差公式后再积分。

例 8

$$\begin{array}{r}\int {\cos }^{2}x\mathrm{d}x\end{array}$$

利用积化和差公式

$$\begin{array}{rl}I& =\int \frac{1+\cos 2x}{2}\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}(\int 1\mathrm{d}x+\int \cos 2x\mathrm{d}x)\\ & =\frac{1}{2}\int 1\mathrm{d}x+\frac{1}{4}\int \cos 2x\mathrm{d}(2x)\\ & =\frac{1}{2}x+\frac{1}{4}\sin 2x+C\end{array}$$

例 9

$$\int \cos 3x\cos 2x\mathrm{d}x$$

解：

$$\begin{array}{rl}I& =\frac{1}{2}\int (\cos x+\cos 5x)\mathrm{d}x\\ & =\frac{1}{2}\sin x+\frac{1}{10}\sin 5x+C\end{array}$$