240926 每日一题

题面

用 “$\epsilon -\delta$ 证明

$$\underset{x\to 1^{-}}{\lim }(\sqrt{\frac{1}{1-x}+1}-\sqrt{\frac{1}{1-x}-1})=0$$

思路

直接上手

$\forall \epsilon >0,\exists \delta >0$, 使 $0<1-x<\delta$ 时，使得

$$\sqrt{\frac{1}{1-x}+1}-\sqrt{\frac{1}{1-x}-1}<\epsilon$$

成立，

对左式进行放缩变换，

$$\begin{array}{rl}& \sqrt{\frac{1}{1-x}+1}-\sqrt{\frac{1}{1-x}-1}\\ =& \frac{2}{\sqrt{\frac{1}{1-x}+1}+\sqrt{\frac{1}{1-x}-1}}\\ <& \frac{1}{\sqrt{\sqrt{(\frac{1}{1-x}{)}^2-1}}}\end{array}$$

因此只要有

$$\frac{1}{\sqrt{\sqrt{(\frac{1}{1-x}{)}^2-1}}}<\epsilon$$

即

$$1-x<\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{\epsilon }{)}^4+1}}$$

命题得证，取

$$\delta =\frac{1}{\sqrt{(\frac{1}{\epsilon }{)}^4+1}}$$

即可。