2.2 函数求导法则

常数和基本初等函数的导数公式

(C)^{'} = 0 (sin x)^{'} = cos x (tan x)^{'} = sec^{2} x (sec x)^{'} = sec x tan x (a^{x})^{'} = a^{x} ln a (lo g_{a} x)^{'} = \frac{1}{x l n a} (arcsin x)^{'} = \frac{1}{1 - x ^{2}} (arctan x)^{'} = \frac{1}{1 + x ^{2}} (x^{μ})^{'} = μ x^{μ - 1} (cos x)^{'} = - sin x (cot x)^{'} = - csc^{2} x (csc x)^{'} = - csc x cot x (e^{x})^{'} = e^{x} (ln x)^{'} = \frac{1}{x} (arccos x)^{'} = - \frac{1}{1 - x ^{2}} (arccot x)^{'} = - \frac{1}{1 + x ^{2}}

(u \pm v)^{'} (C u)^{'} (uv)^{'} (\frac{u}{v})^{'} = u^{'} \pm v^{'} = C u^{'} = u^{'} v + u v^{'} = \frac{u ^{'} v - u v ^{'}}{v ^{2}}

设 $x = f (y)$ 在 $I_{y}$ 内单调可导且 $f^{'} (y) \neq = 0$ ，则其反函数 $y = f^{- 1} (x)$ 在 $I_{x} = f (I_{y})$ 内也可导，且有

[f^{- 1} (x)]^{'} = \frac{1}{f ^{'} ( y )}

设 $y = f (u), u = g (x)$ ，则复合函数 $y = f [g (x)]$ 的导数为

y^{'} (x) = f^{'} (u) \cdot g^{'} (x)

证明见教材。