2.2 函数求导法则

常数和基本初等函数的导数公式

$$\begin{array}{ll}(C{)}^{\prime }=0& (x^{\mu }{)}^{\prime }=\mu x^{\mu -1}\\ (\sin x{)}^{\prime }=\cos x& (\cos x{)}^{\prime }=-\sin x\\ (\tan x{)}^{\prime }={\sec }^{2}x& (\cot x{)}^{\prime }=-{\csc }^{2}x\\ (\sec x{)}^{\prime }=\sec x\tan x& (\csc x{)}^{\prime }=-\csc x\cot x\\ (a^x{)}^{\prime }=a^x\ln a& (e^x{)}^{\prime }=e^x\\ ({\log }_{a}x{)}^{\prime }=\frac{1}{x\ln a}& (\ln x{)}^{\prime }=\frac{1}{x}\\ (\arcsin x{)}^{\prime }=\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}& (\arccos x{)}^{\prime }=-\frac{1}{\sqrt{1-x^2}}\\ (\arctan x{)}^{\prime }=\frac{1}{1+x^2}& (\mathrm{arccot}x{)}^{\prime }=-\frac{1}{1+x^2}\end{array}$$

函数的和、差、积、商的求导法则

$$\begin{array}{rl}(u\pm v{)}^{\prime }& =u^{\prime }\pm v^{\prime }\\ (Cu{)}^{\prime }& =C{u}^{\prime }\\ (uv{)}^{\prime }& =u^{\prime }v+u{v}^{\prime }\\ {\left(\frac{u}{v}\right)}^{\prime }& =\frac{u^{\prime }v-u{v}^{\prime }}{v^2}\end{array}$$

反函数的求导法则

设 $x=f(y)$ 在 $I_y$ 内单调可导且 $f^{\prime }(y)\ne 0$，则其反函数 $y=f^{-1}(x)$ 在 $I_x=f(I_y)$ 内也可导，且有

$$[f^{-1}(x){]}^{\prime }=\frac{1}{f^{\prime }(y)}$$

复合函数的求导法则

设 $y=f(u),u=g(x)$，则复合函数 $y=f[g(x)]$ 的导数为

$$y^{\prime }(x)=f^{\prime }(u)\cdot g^{\prime }(x)$$

证明见教材。