2.5 函数的微分

定义 对于函数 $y=f(x)$，若 $U(x_0,\mathrm{\Delta }x)\subset D_f$，且函数的增量 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$ 可表示为

$$\mathrm{\Delta }y=A\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$

其中 $A$ 是不依赖于 $\mathrm{\Delta }x$ 的常数，那么称函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处是可微的，而 $A\mathrm{\Delta }x$ 叫做函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 相应于自变量增量 $\mathrm{\Delta }x$ 的微分，记作 $\mathrm{d}y$，即

$$\mathrm{d}y=A\mathrm{\Delta }x$$

函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可微的充要条件是函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 处可导。且有

$$\mathrm{d}y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x$$

通常把自变量 $x$ 的增量 $\mathrm{\Delta }x$ 记作 $\mathrm{d}x$。从而有

$$\frac{\mathrm{d}y}{\mathrm{d}x}=f^{\prime }(x)$$

几何含义

$\mathrm{\Delta }y$ 是曲线上的点的纵坐标增量，$\mathrm{d}y$ 是曲线的切线上的点纵坐标的增量。

微分形式不变性

设 $y_x=f(x),x_t=g(t)$，有

$$\begin{array}{rl}\mathrm{d}y& =y_x^{\prime }{x}_t^{\prime }\mathrm{d}t\\ & =y_x^{\prime }\mathrm{d}x\end{array}$$

即微分的形式即使在变换自变量后任然保持不变，我们永远可以把 $\mathrm{d}y$ 写成 $\mathrm{d}y=y_x^{\prime }\mathrm{d}x$ 的形式。其差别仅在于，若选取 $t$ 为自变量，则 $\mathrm{d}x$ 并不表示任意增量 $\mathrm{\Delta }x$，而是表示 $x_t$ 的微分。这个性质被称为微分形式不变性。

微分形式不变性是微分的一个显著而重要的性质。

WARNING

微分形式不变性只是一阶微分的性质，高阶微分并不存在微分形式不变性。微分形式不变性使得对于一阶微分，函数的微分的字母可以用它的值的字母来替代并进行算数运算而不产生谬误，甚至能简化定理的运用。然而对于高阶微分，这是错误的。

微分的运算法则可完全参考导数的运算法则。此处不再赘述。

微分在近似计算中的应用

利用：

$$\mathrm{\Delta }y=f^{\prime }(x_0)\mathrm{\Delta }x+o(\mathrm{\Delta }x)$$

可将非线性函数局部线性化来近似计算 $y=f(x)$ 的增量。但此法精确度不高。我们将在 3.4 泰勒公式 中学习更加精确的近似计算方法。

例

求函数 $y=e^{x^2}\sin x$ 在 $x=1$ 处的微分。

$$\mathrm{d}y{|}_{x=1}=y^{\prime }(1)\mathrm{d}x=e(2\sin 1+\cos 1)\mathrm{d}x$$

WARNING

后面的 $\mathrm{d}x$ 不要漏掉！