2.6* 补充：极坐标与常见图线

基本概念

我们在平面内取一个定点 $O$，叫做极点，引一条射线 $Ox$，叫做极轴，再选定一个长度单位和角度正方向（默认为逆时针方向），建立起一个坐标轴，称为极坐标。对于平面内任意一点 $M$，用 $\rho$ 表示 $OM$ 的长度，$\theta$ 表示 $Ox$ 到 $OM$ 转过的角，则称 $\rho$ 为 $M$ 的级径，$\theta$ 为 $M$ 的极角，有序对 $(\rho ,\theta )$ 称为 $M$ 的极坐标。

通常情况下，极径坐标单位为 $1$，极角坐标单位为 $\mathrm{rad}$。

表示含义

极坐标相对于直角坐标系，它只关心点到 $O$ 的距离 $\rho$，和 $OM$ 的偏转角 $\theta$，能够更好得描绘曲线，关注线段的长度与所构成的角度（这点在解析几何中作用显著），并能以一种更美观的形式表示直角坐标系所不能描绘的图样。

与笛卡尔坐标系互化

$$\{\begin{array}{l}x=\rho \cos \theta \\ y=\rho \sin \theta \end{array}$$

即

$$\{\begin{array}{l}{x}^2+y^2={\rho }^2\\ \frac{y}{x}=\tan \theta \end{array}$$

常见曲线

含两种坐标表示的

心形线

$$\begin{array}{c}{x}^2+y^2+ax=a\sqrt{x^2+y^2}\\ \rho =a(1-\cos \theta )\end{array}$$

$a=1$ 时的心形线

伯努利双纽线

$$\begin{array}{c}(x^2+y^2{)}^2=2a^{2}xy\\ {\rho }^2=a^2\sin 2\theta \end{array}$$

或者是

$$\begin{array}{c}(x^2+y^2{)}^2=a^2(x^2-y^2)\\ {\rho }^2=a^2\cos 2\theta \end{array}$$

$a=1$ 时的伯努利双纽线

极坐标表示

阿基米德螺线

$$\rho =a\theta$$

$a=1$ 时的阿基米德螺线

注：为便于观察，此图只绘出阿基米德螺线的一支，另一支与此图关于 y 轴对称。此图应向外无限延伸。出于性能考虑，只渲染 $-100<x<100$ 的图形。

对数螺线

$$\rho =e^{a\theta }$$

$a=\frac{1}{5}$ 时的对数螺线

注：此图应向内向外无限延伸。出于性能考虑，只渲染 $10^{-4}<|x|<10^4$ 的图形。

双曲螺线

$$\rho \theta =a$$

$a=1$ 时的双曲螺线

注：为便于观察，仅绘出双曲螺线的一支。另一只与此图线关于 y 轴对称。此图应向内向外无限延伸。出于性能考虑，只渲染 $10^{-2}<|x|<10^3$ 的图形。

三叶玫瑰线

$$\rho =a\cos 3\theta$$

或

$$\rho =a\sin 3\theta$$

$a=1$ 时的三叶玫瑰线

四叶玫瑰线

$$\rho =a\cos 2\theta$$

或

$$\rho =a\sin 2\theta$$

$a=1$ 时的四叶玫瑰线

参数方程表示

笛卡尔叶形线

$$\begin{array}{c}{x}^3+y^3-3axy=0\\ \{\begin{array}{l}x=\frac{3at}{1+t^3}\\ y=\frac{3a{t}^2}{1+t^3}\end{array}\end{array}$$

$a=1$ 时的笛卡尔叶形线

注：此图应向内向外无限延伸。出于性能考虑，只渲染 $-10^3<x<10^3$ 的图形。

星形线

$$\begin{array}{c}{x}^{\frac{2}{3}}+y^{\frac{2}{3}}=a^{\frac{2}{3}}\\ \{\begin{array}{l}x=a{\cos }^3\theta \\ y=a{\sin }^3\theta \end{array}\end{array}$$

$a=1$ 时的星形线

摆线

$$\{\begin{array}{l}x=a(\theta -\sin \theta )\\ y=a(1-\cos \theta )\end{array}$$

$a=1$ 时的摆线

注：此图应向左向右无限延伸。出于性能考虑，只渲染 $-100<x<100$ 的图形。

其他

概率曲线

$$y=e^{-x^2}$$

$a=1$ 时的概率曲线

箕舌线

$$y=\frac{8a^3}{x^2+4a^2}$$

$a=1$ 时的箕舌线

蔓叶线

$$y^2(2a-x)=x^3$$

$a=1$ 时的蔓叶线