1.13* 补充：常见不等式

非常好不等式，使我放缩旋转。

幂函数不等式

记一种幂函数如下表示式：

$$f(\alpha )={\left(\frac{x_1^{\alpha }+x_2^{\alpha }+\cdots +x_n^{\alpha }}{n}\right)}^{\frac{1}{\alpha }}$$

其中 $\alpha \in \mathbf{Z}$ 且 $x_1,x_2,\cdots ,x_n>0$，则当 ${\alpha }_1>{\alpha }_2$ 时，$f({\alpha }_1)\ge f({\alpha }_2)$，当且仅当 $x_1=x_2=\cdots =x_n$ 时等号成立。

证明：

以 $\alpha$ 为主元，其余当作参数，对 $f(\alpha )$ 进行求导判断单调性完成。（求导过程部分请各位自行探索，时刻注意主元为 $\alpha$）

NOTE

特殊地，当 $\alpha \to 0$ 时，$f(\alpha )=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}，$ 过程如下：

记

$$g(\alpha )=\ln (f(\alpha ))=\frac{\ln (\frac{x_1^{\alpha }+x_2^{\alpha }+\cdots +x_n^{\alpha }}{n})}{\alpha },$$

则

$$\begin{array}{rl}\underset{\alpha \to 0}{lim}g(\alpha )& =\frac{\underset{\alpha \to 0}{lim}\ln (\frac{x_1^{\alpha }+x_2^{\alpha }+\cdots +x_n^{\alpha }}{n})}{\underset{\alpha \to 0}{lim}\alpha }\\ & =\frac{\underset{\alpha \to 0}{lim}(\ln (\frac{x_1^{\alpha }+x_2^{\alpha }+\cdots +x_n^{\alpha }}{n}){)}^{\prime }}{\underset{\alpha \to 0}{lim}(\alpha {)}^{\prime }}\\ & =\frac{\underset{\alpha \to 0}{lim}(\frac{n}{x_1^{\alpha }+x_2^{\alpha }+\cdots +x_n^{\alpha }}\cdot \frac{\ln x_1\cdot x_1^{\alpha }+\ln x_2\cdot x_2^{\alpha }+\cdots +\ln x_n\cdot x_n^{\alpha }}{n})}{\underset{\alpha \to 0}{lim}1}\\ & =\frac{\ln x_1+\ln x_2+\cdots +\ln x_n}{n}\end{array}$$

故 $\underset{\alpha \to 0}{lim}f(\alpha )=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n}$。

而我们对于 $\alpha =-1,0,1,2$ 的情况，可以得到

均值不等式

当 $x_1,x_2,\cdots ,x_n>0$ 时，对于

$$\begin{array}{rl}& H(n)=\frac{n}{\frac{1}{x_1}+\frac{1}{x_2}+\cdots +\frac{1}{x_n}},G(n)=f(\alpha )=\sqrt[n]{x_1{x}_2\cdots x_n},\\ & A(n)=\frac{x_1+x_2+\cdots +x_n}{n},Q(n)=\sqrt{\frac{x_1^2+x_2^2+\cdots +x_n^2}{n}},\end{array}$$

$Q(n)\ge A(n)\ge G(n)\ge H(n)$ 恒成立，当且仅当 $x_1=x_2=\cdots =x_n$ 时等号成立。

其中 $Q(n)$ 为平方平均数，$A(n)$ 为算术平均数，$G(n)$ 为几何平均数，$H(n)$ 为调和平均数。

对数不等式

由高中的二级结论，我们有:

$$\sqrt{ab}<\frac{a-b}{\ln a-\ln b}<\frac{a+b}{2}(a\ne b,a>0,b>0)$$

证明思路：移项构造 $\frac{a}{b}$ 视为单一变量。

拟合与不等式

顾名思义，即利用函数的拟合与其在图像的关系找到一组不等式进行放缩变形。这也是大多数放缩的本质过程。而拟合越精确，放缩就越 “紧”。（较为简单的用法便是高中时采用的构造切线来放缩）

NOTE

此方法配合泰勒展开式食用更佳。

例如根据 $e^x$ 的泰勒展开式 $e^x=1+x+\frac{x^2}{2!}+\frac{x^3}{3!}+\cdots +\frac{x^n}{n!}$，可构造相应的不等式。