1.10 函数的连续性与间断点

函数的连续性

对于式子 $\mathrm{\Delta }y=f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)$，$\mathrm{\Delta }x$ 称为自变量的增量，$\mathrm{\Delta }y$ 称为函数的增量。如果 $\mathrm{\Delta }x\to 0$ 时对应有 $\mathrm{\Delta }y\to 0$，我们就称 $y=f(x)$ 在该点是连续的。

定义 设函数 $y=f(x)$ 在点 $x_0$ 有定义，则

$$y=f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{连}\mathrm{续}\iff \underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}\mathrm{\Delta }y=\underset{\mathrm{\Delta }x\to 0}{lim}[f(x_0+\mathrm{\Delta }x)-f(x_0)]=0$$

又有 $\mathrm{\Delta }y\to 0$ 就是 $f(x)\to f(x_0)$，$\mathrm{\Delta }x\to 0$ 就是 $x\to x_0$，所以上式也可以写为

$$y=f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{连}\mathrm{续}\iff \underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$$

函数在区间 $X$ 上连续可记作 $f\in C(X)$。其中，$C(X)$ 表示区间 $X$ 上的所有连续函数组成的集合。

另外，还有

$$\begin{array}{rl}y=f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{左}\mathrm{连}\mathrm{续}& \iff \underset{x\to x_0^{-}}{lim}f(x_0)=f(x_0)\\ y=f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{右}\mathrm{连}\mathrm{续}& \iff \underset{x\to x_0^{+}}{lim}f(x_0)=f(x_0)\\ y=f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{连}\mathrm{续}& \iff \{\begin{array}{c}y=f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{左}\mathrm{连}\mathrm{续}\\ y=f(x)\mathrm{在}{x}_0\mathrm{右}\mathrm{连}\mathrm{续}\end{array}\end{array}$$

在区间上每一点都连续的函数，称为该区间上的连续函数，或者说函数在该区间上连续。如果区间包括端点，那么函数在右端点连续指的是左连续，在左端点连续指的是右连续。

连续函数的图形是一条连续而不间断的曲线。

函数的间断点

间断点的定义

根据连续的定义 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=f(x_0)$，只要 $f(x_0)$、$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$、$=$ 有一个不成立，函数在此处就不连续，也就是说出现了不连续点或间断点。

间断点的定义：设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某去心邻域内有定义。在此前提下，如果函数 $f(x)$ 有下列三种情形之一：

• 在 $x=x_0$ 没有定义；
• $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 不存在；
• 在 $x=x_0$ 有定义，且 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)$ 存在，但 $\underset{x\to x_0}{lim}f(x)\ne f(x_0)$，

那么称 $f(x)$ 在点 $x_0$ 不连续，点 $x_0$ 称为函数 $f(x)$ 的不连续点或间断点。

间断点的分类

• 第一类间断点：左极限和右极限均存在
  • 可去间断点：左极限等于右极限，但在该处无定义 或 该点处函数值与极限不相等
  • 跳跃间断点：左极限不等于右极限
• 第二类间断点：左极限或右极限不存在
  • 无穷间断点：$\underset{x\to x_0}{lim}f(x)=\mathrm{\infty }$
  • 震荡间断点：在一个区间内变动无限多次