3.7 函数的极值与最大值最小值

定义 设函数 $f(x)$ 在点 $x_0$ 的某邻域 $U(x_0)$ 内有定义，如果对于去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 内的任意 $x$，有

$$f(x)<f(x_0)(或f(x)>f(x_0))$$

那么就称 $f(x_0)$ 是函数 $f(x)$ 的一个极大值（或极小值）。

极值不一定是最值。

根据 3.1 中提到的费马引理，我们有：

定理 1（必要条件）设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处可导，且在 $x_0$ 处取得极值，则 $f^{\prime }(x_0)=0$。

另外有高中学过的判定极值的充分条件：

定理 2（第一充要条件）设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处连续，且在 $x_0$ 的某去心邻域 $\mathring{U}(x_0)$ 内可导，

• 若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；
• 若 $x\in (x_0-\delta ,x_0)$ 时 $f^{\prime }(x)<0$，而 $x\in (x_0,x_0+\delta )$ 时 $f^{\prime }(x)>0$，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；
• 若 $x\in \mathring{U}(x_0)$ 时，$f^{\prime }(x)$ 的符号保持不变，则 $f(x)$ 在 $x_0$ 处没有极值。

因此可以按高中的步骤来求极值点与极值：

1. 求出导数 $f^{\prime }(x)$；
2. 求出 $f(x)$ 的全部驻点与不可导点；
3. 考察 $f^{\prime }(x)$ 的符号在每个驻点或不可导点的左、右邻近的情形，以确定该点是否为极值点；如果是极值点，进一步确定是极大值点还是极小值点；
4. 求出各极值点的函数值，就得函数 $f(x)$ 的全部极值。

当函数 $f(x)$ 在驻点处的二阶导数存在且不为零时，也可以利用下述定理来判定 $f(x)$ 在驻点处取得极大值还是极小值。

定理 3（第二充要条件）设函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处具有二阶导数且 $f^{\prime }(x)=0$，$f^{\prime \prime }(x)\ne 0$，则

• 当 $f^{\prime \prime }(x_0)<0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极大值；
• 当 $f^{\prime \prime }(x_0)>0$ 时，函数 $f(x)$ 在 $x_0$ 处取得极小值。

因此求最值的基本步骤为：

1. 求出 $f(x)$ 在 $(a,b)$ 内的驻点及不可导点；
2. 计算 $f(x)$ 在上述驻点、不可导点处的函数值及 $f(a)$、$f(b)$；
3. 比较 2. 中诸值的大小，其中最大的便是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最大值，最小的便是 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上的最小值。